Quantenmechanik am Cantor-Set?

Sie können die Quantenmechanik auf einem Cantor-Set definieren, aber damit sie nicht trivial ist, muss sie eine Levy-Quantenmechanik sein, keine Gaußsche Quantenmechanik, da sie das Quantenanalog eines Levy-Prozesses sein wird, kein Brownian Bewegung, wie es die gewöhnliche Schrödinger-Gleichung ist.

Um die Schrödinger-Quantenmechanik zu definieren, nehmen Sie die Kontinuumsgrenze einer Random Walk-Amplitude des nächsten Nachbarn. Um dies zu tun, werde ich Sie zunächst an die standardmäßige imaginäre Zeitkarte zwischen Random Walks und quantenmechanischen Systemen erinnern. Wenn Sie einen stochastischen Prozess auf einem diskreten Raum in diskreter Zeit haben, haben Sie einen Übergangsoperator:

wo$K_{i\rightarrow j} = K_{ij}$ist eine stochastische Matrix:

Diese stochastischen Matrizen haben im Allgemeinen eine stationäre Verteilung, die ich nennen werde$\rho^0$. Ich nehme an, dass diese stationäre Verteilung einem detaillierten Gleichgewicht gehorcht , oder im mathematischen Jargon, dass es das "Umkehrmaß" für K ist:

Dies besagt, dass sich die Übergänge zwischen den Zuständen i und j getrennt von allen anderen Übergängen im Gleichgewicht balancieren. Die stationäre Verteilung für Random Walk auf einem Diagramm gehorcht einem detaillierten Gleichgewicht, und das ist es auch${1\over D(i)}$wobei D der Grad des Scheitelpunkts ist.

Wenn Sie die kontinuierliche Zeitgrenze nehmen, machen Sie K gleich der Identität plus einer infinitesimalen Übergangsrate, und die stochastische Gleichung wird zu:

Und Sie haben immer noch eine stationäre Verteilung$\rho0$für den kontinuierlichen Fall. Jetzt können Sie ein symmetrisches H aus dem zeitkontinuierlichen Zufallsprozess definieren:

und die detaillierte Gleichgewichtsbedingung gibt Ihnen die Symmetrie von H. Sie können dann die imaginäre Zeitfortsetzung als eine standardmäßige quantenmechanische einheitliche Zeitentwicklung definieren, die von diesem Hamilton-Operator erzeugt wird. Dies ist die abstrakteste Form der Wick-Fortsetzung.

Wenn Sie diesen Vorgang auf einer Irrfahrt durchführen, deren Grenze eine Brownsche Bewegung ist, erhalten Sie die gewöhnliche Schrödinger-Quantenmechanik. Wenn Sie den gleichen Prozess bei einem Random Walk machen, der Schritte der Größe s gemäß einer Verteilung macht:

Wo$0<\alpha<2$, erhalten Sie die Levy-Quantenmechanik.

Um also die Quantenmechanik auf einer Cantor-Menge zu definieren, braucht man nur eine geeignete stochastische Bewegung. Die gewöhnliche Brownsche Bewegung hat keine Grenze, sie bleibt einfach auf dem Cantor-Set stehen – sie endet vollständig lokalisiert. Aber der Levy-Prozess lässt sich gut verallgemeinern.

Die Cantor-Menge kann definiert werden als alle Zahlen zur Basis 3 mit Ziffern, die alle 0 oder 2 sind. Eine diskrete Annäherung schneidet dies bei N Ziffern ab. Definieren Sie einen Random Walk in diesem Diagramm, indem Sie eine Ziffer zwischen 0 und 2 an der Ziffernposition k mit einer Rate umschalten, die wie folgt lautet:

wo$a>0$. Wenn Sie die Grenze der kontinuierlichen Zeit nehmen, Zeitschritte der Größe$\epsilon$, und$a= {A\over \epsilon}$, erhalten Sie einen Sprung, der ein Potenzgesetz in der Größe ist (da es sich um eine Exponentialverteilung bei exponentiell schrumpfenden Größen handelt, und dies ein Potenzgesetz in der Größe ist), und die Kontinuumsgrenze ist die Levy-Quantenmechanik, die auf die Cantor-Menge beschränkt ist.

Dies hängt mit der Frage der Lokalisierung von Dirac-Fermionen zusammen, da die |k| Dispersionsrelation ist Levy. Im Gegensatz zu normalen Schrödinger-Partikeln lokalisieren Sie keine Levy-Partikel mit einem lokalen Potential. Das war das Thema dieser Frage: Wie kann man die masselosen Fermionen in Dirac-Materialien lokalisieren? .

Es ist schwierig, ein klassisches System auf der Cantor-Menge (als Zielraum) zu entwickeln. Zum Beispiel ist die Menge vollständig getrennt, sodass jede kontinuierliche Abbildung von einem verbundenen Raum in sie konstant ist. Daher kann es keine sich ausbreitenden Objekte (auch nicht nur Partikel) geben.