Was genau ist ein kohärenter Zustand und warum ist er interessant?

Question

Was genau ist ein kohärenter Zustand und warum ist er interessant?

zo0x

Bitte beachten Sie, dass ich keinen physikalischen Hintergrund habe, also verzichten Sie bitte nach Möglichkeit auf eine Reihe von $|x\rangle$ Notationen, es sei denn, es wird klar angegeben, was es symbolisch bedeutet.

Also habe ich in letzter Zeit etwas über Darstellungstheorie gelernt, insbesondere habe ich quadratisch integrierbare irreduzible Darstellungen studiert, und ich interessiere mich für deren Anwendungen. Ich habe das verstanden, wenn eine quadratisch integrierbare irreduzible Darstellung gegeben ist $U$ einer lokal kompakten Gruppe $G$ auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ und ein zulässiger Vektor $g \in \mathcal{H}$ , dann die Umlaufbahn $\mathscr{O}_g := \{U(x)g\mid x\in G\}$ ist ein kohärenter Zustand . Außerdem, wenn die Gruppe $G$ die (Weyl-)Heisenberg-Gruppe ist, dann sind diese kohärenten Zustände "klassische kohärente Zustände"(?).

Daraus verstehe ich, dass kohärente Zustände durch diese Sammlungen von Vektoren / Funktionen in einem Hilbert-Raum beschrieben werden können und manchmal Rahmen und mögliche Wavelets (?) darstellen. Wie genau ist eine solche Ansammlung von Vektoren im Zusammenhang mit kohärenten Zuständen zu verstehen? Was beschreibt ein kohärenter Zustand? und warum sind sie interessant?

Wenn Sie mich auf Artikel oder Literatur verweisen können, die diese Fragen in verständlicher Weise für jemanden erklären, der hauptsächlich grundlegende Mechanik hatte, wäre dies sehr zu schätzen.

anna v

Ich nehme an, Sie kennen das klassische Beispiel für Kohärenz, Soldaten, die beim Überqueren einer Brücke den Schritt brechen? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Kohärenz bedeutet in der Physik, im Gleichschritt zu sein, und wenn Wellen in der Diskussion sind, sind sie kohärent, wenn die Phasen fest sind, vgl. Laser, kohärentes Licht, Absatz hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/optmod/qualig.html

zo0x

Kohärenz ist also, wenn etwas synchron ist, zum Beispiel Schwingungen? Was ich jedoch wirklich gerne hätte, wäre ein kleiner Einblick, wie diese kohärenten Zustände (wie in Sammlungen von Vektoren) in der Physik angewendet werden.

Garyp

Ich kann Ihnen ein Beispiel für einen kohärenten Zustand in der Quantenmechanik geben. Die Wellenfunktionen der Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators haben eine signifikante Amplitude über den gesamten "klassisch erlaubten" Raumbereich. Es ist schwer zu erkennen, wie sich dies auf eine Kugel und Feder bezieht, bei der die Kugel an einem bestimmten Ort existiert und schwingt. Es kann ein Zustand konstruiert werden (der kohärente Zustand), in dem die Wellenfunktion am klassischen Ort lokalisiert ist und oszilliert . Es ist auch die Wellenfunktion mit minimaler Unsicherheit. (Ich kann weder mit Ihrer Mathematik noch mit einem klassischen Beispiel helfen.)

anna v

Ich habe Ihnen ein Beispiel mit dem Lasern gegeben. Jedes Photon wird durch einen Ihrer Vektoren dargestellt, und sie sind kohärent, wenn sie eine feste Phase haben, wenn sie als Sinusfunktion dargestellt werden. lesen Sie die vorherigen Absätze

Antworten (1)

Was genau ist ein kohärenter Zustand und warum ist er interessant?

Ich nehme an, Sie kennen das klassische Beispiel für Kohärenz, Soldaten, die beim Überqueren einer Brücke den Schritt brechen? en.wikipedia.org/wiki/Broughton_Suspension_Bridge . Kohärenz bedeutet in der Physik, im Gleichschritt zu sein, und wenn Wellen in der Diskussion sind, sind sie kohärent, wenn die Phasen fest sind, vgl. Laser, kohärentes Licht, Absatz hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/optmod/qualig.html
Kohärenz ist also, wenn etwas synchron ist, zum Beispiel Schwingungen? Was ich jedoch wirklich gerne hätte, wäre ein kleiner Einblick, wie diese kohärenten Zustände (wie in Sammlungen von Vektoren) in der Physik angewendet werden.
Ich kann Ihnen ein Beispiel für einen kohärenten Zustand in der Quantenmechanik geben. Die Wellenfunktionen der Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators haben eine signifikante Amplitude über den gesamten "klassisch erlaubten" Raumbereich. Es ist schwer zu erkennen, wie sich dies auf eine Kugel und Feder bezieht, bei der die Kugel an einem bestimmten Ort existiert und schwingt. Es kann ein Zustand konstruiert werden (der kohärente Zustand), in dem die Wellenfunktion am klassischen Ort lokalisiert ist und oszilliert . Es ist auch die Wellenfunktion mit minimaler Unsicherheit. (Ich kann weder mit Ihrer Mathematik noch mit einem klassischen Beispiel helfen.)
Ich habe Ihnen ein Beispiel mit dem Lasern gegeben. Jedes Photon wird durch einen Ihrer Vektoren dargestellt, und sie sind kohärent, wenn sie eine feste Phase haben, wenn sie als Sinusfunktion dargestellt werden. lesen Sie die vorherigen Absätze

yuggib · Answer 1

Ich werde kohärente Zustände im Kontext von Fock-Räumen definieren (ich denke, es ist einfacher als sie in der Quantenmechanik zu definieren, und historisch genauer; für die qm siehe die Referenz am Ende). Gegeben sei ein trennbarer Hilbert-Raum $\mathscr{H}$ , können wir den symmetrischen Fockraum definieren $\Gamma_s(\mathscr{H})$ als:

Γ_{S} (H) = ⨁_{N = 0}^{\infty} H^{\otimes_{S} N}

$\Gamma_s(\mathscr{H})=\bigoplus_{n=0}^\infty \mathscr{H}^{\otimes_s n}$ Wo

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ Und

\otimes_{s}

$\otimes_s$ ist das symmetrische Tensorprodukt. Der antisymmetrische Fock-Raum ist derselbe, der symmetrische Produkte durch antisymmetrische ersetzt. Ich werde mich auf die symmetrische Situation konzentrieren, auch wenn kohärente Zustände auch für antisymmetrische Fockräume (mit Hilfe von Grassmann-Algebren) definiert werden können.

An $\Gamma_s(\mathscr{H})$ Die grundlegenden (unbeschränkten) Operatoren sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren $a^*(f)$ Und $a(f)$ , $f\in \mathscr{H}$ . Sie sind ein Adjoint des anderen und sind der Abschluss von

A (F) G^{\otimes N} = \sqrt{N} ⟨ F, G ⟩_{K} G^{\otimes (N - 1)}

$a(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n} \; \langle f , g\rangle_{\mathscr{K}} \; g^{\otimes (n-1)}$

A^{*} (F) G^{\otimes N} = \sqrt{N + 1} F \otimes_{S} G^{\otimes N}

$a^{*}(f)g^{\otimes n}=\sqrt{n+1} \; f\otimes_s g^{\otimes n}$ Eine gute Referenz, Definitionsbereich und weitere Informationen finden Sie im zweiten Band der Bücher von Reed und Simon "Methods of Modern Mathematical Physics" (Abschnitt über freie Quantenfelder). Anschließend können Sie die Weyl-Operatoren definieren

W (F) = \exp {ich (A^{*} (F) + A (F))}, F \in H .

$W(f)=\exp\{i(a^*(f)+a(f))\}\; ,\; f\in \mathscr{H}\; .$ Sie sind einheitlich und erfüllen die Weyl-Beziehungen

W (F) W (G) = W (F + G) e^{- ich ℑ ⟨ F, G ⟩_{H}} .

$W(f)W(g)=W(f+g)e^{-i\Im \langle f,g\rangle_{\mathscr{H}}}\; .$ Außerdem übersetzen sie die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren und haben viele andere nette Eigenschaften. Die kohärenten Zustände sind definiert als

W (F) Ω,

$W(f)\Omega\; ,$ Wo

Ω

$\Omega$ ist das Fock-Raum-Vakuum, dh der Zustand mit nur Nicht-Null-Komponente des Einheitsvektors

H^{\otimes_{s} 0} = C

$\mathscr{H}^{\otimes_s 0}=\mathbb{C}$ .

Die Weyl-Beziehungen sind eng mit der Darstellungstheorie verwandt (auch wenn ich darüber nicht viel weiß), und das könnte die Verbindung zu den Darstellungen Ihrer Weyl-Heisenberg-Gruppe sein.

Diese Vektoren sind in vielen Aspekten der Physik sehr relevant, zB in der semiklassischen Analysis. Aus experimenteller Sicht sind sie einfach herzustellen, insbesondere wenn es um Strahlung (Quantenoptik) geht.

Eine erschöpfende und neuere mathematische Übersicht über kohärente Zustände findet sich in diesem Buch .

Warum kohärente Zustände $W(f)\Omega$ gleich sind $e^{-\frac{1}{2}||f||^{2}_{\mathcal{K}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}$ ?
@GabrielPalau Es folgt aus einer direkten Berechnung, wobei das Exponential als Reihe geschrieben wird (dies ist im Vakuum möglich, da letzteres ein analytischer Vektor für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist).
Und wahrscheinlich, wenn ich mich recht erinnere, gilt die Formel für $W(\frac{f}{i})\Omega$ statt $W(f)\Omega$ .

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zo0x

anna v

zo0x

Garyp

anna v

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