Harmonischer Oszillator: Hamiltonsche Eigenwertgleichung auf Koordinatenbasis

Question

Harmonischer Oszillator: Hamiltonsche Eigenwertgleichung auf Koordinatenbasis

Lukas

Viele Jahre nach meinem Physikstudium habe ich mich entschlossen, meine Kenntnisse im Bereich QM aufzufrischen. Beim Betrachten des harmonischen Oszillators war ich verwirrt über die Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und seiner Darstellung in der Koordinatenbasis.

Wenn ich die Eigenzustände finden will, muss ich lösen

\hat{H} | N ⟩ = E_{N} | N ⟩

$\hat H|n\rangle = E_n|n\rangle$ Mit der Koordinatenbasisdarstellung kann ich diese Gleichung in eine Differentialgleichung umwandeln:

H (X) ϕ_{N} (X) = E_{N} ϕ_{N} (X)

$H(x)\phi_n(x) = E_n\phi_n(x)$ wo jetzt

H (x)

$H(x)$ ist ein Differentialoperator.

Ich versuche, die Beziehung zwischen der ersten und der zweiten Gleichung zu verstehen.

Aus der ersten Gleichung kann ich schreiben:

\hat{H} | N ⟩ = \int D X D j | X ⟩ ⟨ X | \hat{H} | j ⟩ ⟨ j | N ⟩ \equiv \int D X D j H (X, j) ϕ_{N} (j) | X ⟩ = \int D j E_{N} ϕ_{N} (j) | j ⟩ \equiv E_{N} | N ⟩

H (x, y) = ⟨ x | \hat{H} | y ⟩

$H(x,y)=\langle x|\hat H|y\rangle$ ist die Darstellung von

\hat{H}

$\hat H$ in der Koordinatenbasis.

Ab hier kann ich sagen

\int D X D j H (X, j) ϕ_{N} (j) | X ⟩ = \int D j E_{N} ϕ_{N} (j) | j ⟩ = \int D X D j δ (X - j) E_{N} ϕ_{N} (j) | X ⟩

$\int dx dy H(x, y)\phi_n(y)|x\rangle = \int dy E_n\phi_n(y)|y\rangle = \int dx dy \delta(x-y)E_n\phi_n(y)|x\rangle$ was impliziert

H (X, j) ϕ_{N} (j) = δ (X - j) E_{N} ϕ_{N} (j)

$H(x, y)\phi_n(y) = \delta(x-y)E_n\phi_n(y)$

Dies entspricht $H(x)\phi_n(x) = E_n\phi_n(x)$ nur wenn ich das vermute $H(x,y)$ ist diagonal, dh $H(x,y)=H(x)\delta(x-y)$ . Aber das weiß ich $\hat H$ ist auf der Koordinatenbasis nicht diagonal, weil die Eigenzustände der Positionen keine Eigenzustände der Energie sind.

Ich weiß, dass ich das Problem falsch angehe, aber ich verstehe nicht genau, wo ich falsch liege.

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Harmonischer Oszillator: Hamiltonsche Eigenwertgleichung auf Koordinatenbasis

Lukas Baldo · Answer 1

Ihre Beobachtung ist eigentlich richtig, in folgendem Sinne. Betrachten Sie die Matrixelemente des Impulsoperators:

\begin{aligned} ⟨ X | \hat{P} | j ⟩ & = \int D P ⟨ X | \hat{P} | P ⟩ ⟨ P | j ⟩ \\ = \int D P P ⟨ X | P ⟩ ⟨ P | j ⟩ \\ = \int \frac{D P}{2 π} P e^{ich P (X - j)} \\ = ich δ^{'} (X - j), \end{aligned}

$\begin{align} \langle x \vert \hat{P} \vert y \rangle &= \int dp \langle x \vert \hat{P} \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int dp ~ p~ \langle x \vert p \rangle \langle p \vert y \rangle \\ &= \int \frac{dp}{2\pi} ~ p~ e^{ip(x-y)} \\ &= i \delta'(x-y), \end{align}$

Wo $\delta'(x-y)$ ist die verallgemeinerte Ableitung des Dirac-Deltas. Sie sehen dann, dass dieser Operator fast diagonal ist, aber es gibt diese lästige Ableitung auf dem Diarc-Delta. Wenn Sie dies jedoch mit einer Wellenfunktion multiplizieren und integrieren, werden Sie feststellen, dass Sie die Ableitung an die Wellenfunktion übergeben und ein einfaches Dirac-Delta wiederherstellen können.

Die Elemente der Hamilton-Matrix gehen dann als

\begin{aligned} ⟨ X | \hat{H} | j ⟩ & \propto ⟨ X | {\hat{P}}^{2} | j ⟩ \\ \propto \int \frac{D P}{2 π} P^{2} e^{ich P (X - j)} \\ \propto {ich}^{2} δ^{″} (X - j) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle x \vert \hat{H} \vert y \rangle &\propto \langle x \vert \hat{P}^2 \vert y \rangle \\ &\propto \int \frac{dp}{2\pi} ~ p^2~ e^{ip(x-y)} \\ &\propto i^2 \delta''(x-y). \end{align}$

Verwenden Sie dies in Ihrem letzten Ausdruck:

\begin{aligned} δ (X - j) E_{N} ϕ_{N} (j) & = H (X, j) ϕ_{N} (j) \\ = (\frac{- δ^{″} (X - j)}{2 M} + \frac{M ω^{2}}{2} j^{2} δ (X - j)) ϕ_{N} (j) \end{aligned}

$\begin{align} \delta(x-y)E_n\phi_n(y) &= H(x, y)\phi_n(y)\\ &= \left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \end{align}$

Integrieren über die lose Variable ( $x$ ):

\begin{aligned} E_{N} ϕ_{N} (j) & = \int D X δ (X - j) E_{N} ϕ_{N} (j) \\ = \int D X (\frac{- δ^{″} (X - j)}{2 M} + \frac{M ω^{2}}{2} j^{2} δ (X - j)) ϕ_{N} (j) \\ = (\int D X \frac{- δ^{″} (X - j)}{2 M} ϕ_{N} (j)) + \frac{M ω^{2}}{2} j^{2} ϕ_{N} (j) \\ = (\int D X \frac{δ^{'} (X - j)}{2 M} ϕ_{N}^{'} (j)) + \frac{M ω^{2}}{2} j^{2} ϕ_{N} (j) \\ = (\int D X \frac{- δ (X - j)}{2 M} ϕ_{N}^{″} (j)) + \frac{M ω^{2}}{2} j^{2} ϕ_{N} (j) \\ = (\frac{- \partial_{j}^{2}}{2 M} + \frac{M ω^{2} j^{2}}{2}) ϕ_{N} (j) \end{aligned}

$\begin{align} E_n\phi_n(y) &= \int dx \delta(x-y)E_n\phi_n(y) \\ &= \int dx\left(\frac{-\delta''(x-y)}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \delta(x-y)\right) \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta''(x-y)}{2m} \phi_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{\delta'(x-y)}{2m} \phi'_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\int dx \frac{-\delta(x-y)}{2m} \phi''_n(y) \right) + \frac{m\omega^2}{2} y^2 \phi_n(y) \\ &= \left(\frac{-\partial^2_y}{2m} + \frac{m\omega^2 y^2}{2}\right) \phi_n(y) \end{align}$

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Lukas

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Lukas Baldo

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