Harmonischer Oszillator - Energiequantisierung

Das eindimensionale Quanten-HO kann in Schrödinger-Darstellung gelöst werden, indem die Hermite-Differentialgleichung erhalten wird

D 2 j D X 2 − 2 X D j D X + λ j = 0
mit Lösungen
j ( X ) = H N ( X )
was für ganzzahlige Werte von gilt λ . Bei nicht ganzzahligen Werten von λ die Lösungen sind durch hypergeometrische Funktionen gegeben

j ( X ) = C 1 H λ 2 ( X ) + C 2 1 F 1 ( − λ 4 ; 1 2 ; X 2 )
und es scheint, als wären diese Funktionen nicht quadratisch integrierbar und daher keine gültigen/physikalisch akzeptablen Wellenfunktionen.

Aus dieser Perspektive neige ich dazu zu verstehen, dass Quantisierung nur als Merkmal der Beschränkung der Lösungen auf ganzzahlige Werte auftaucht, die allein quadratisch integrierbar sind.

Ich freue mich auf Erläuterungen zu diesem Aspekt, da es so viele Fälle gibt, in denen die Polynomlösungen auftreten (die Lösungen für einen ganzzahligen Wert des Eigenwerts in einer Differentialgleichung sind). (Zum Beispiel die Lösungen des Wasserstoffatoms).

PS: Bei unendlichem quadratischem Wannenpotential scheint die Quantisierung der Energie aus den Randbedingungen zu stammen. Was ist also eine Analogie dazu im Fall von harmonischen Oszillatoren und Wasserstoffatomen?

Antworten (2)

Wenn eine Funktion eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, ist sie eine Lösung. Das Adjektiv „gültig“ scheint in einer solchen Situation nicht sehr hilfreich zu sein.

Das Wort "gültig" wird besser in "gültige Lösung des Eigenwertproblems" verwendet, das einige zusätzliche Anforderungen hat, um eine Lösung des Schr zu sein. Gleichung - meistens verlangt man, dass die Funktion im Unendlichen auf Null zerfällt oder dass sie integrierbar ist, um sie zum Beispiel für die Born-Interpretation von anfällig zu machen | ψ | 2 .

Auf diese Weise werden nur einige der Lösungen der Schr. Gleichung sind auch Lösungen des Eigenwertproblems; sie müssen auch vorgeschriebene Randbedingungen und Normierung erfüllen, die als Teil des Eigenwertproblems betrachtet werden. Die Situation ist etwas analog zur Situation in der Mechanik: nicht alle Lösungen der Bewegungsgleichungen sind interessant; nur diejenigen, die die vorgeschriebenen Anfangsbedingungen erfüllen, sind.

Das tut mir leid, ich meinte keine quantenmechanisch akzeptable Wellenfunktion !! Ich habe einige Änderungen vorgenommen. Danke !!
In diesem Fall beschränkt die Randbedingung also die Lösungen auf ganzzahlige Werte &agr;
@ user35952 ja. Ohne Randbedingungen haben Sie allgemeine Lösungen für alle λ , es hat zwei freie Parameter. Wenn Sie Randbedingungen auferlegen, wird einer dieser Parameter verwendet, um eine Randbedingung zu erfüllen, und ein anderer ist der Normalisierungskoeffizient. Um die zweite Randbedingung zu erfüllen, müssen Sie einschränken λ zu einem gewissen Spektrum von Werten.
Können wir also sagen, dass die Quantisierung eines Systems im Allgemeinen immer auf Randbedingungen zurückzuführen ist.
@user35952 Im Allgemeinen erscheint die Quantisierung als Eigenschaft des von Ihnen ausgewählten Operators. Wenn Sie einen Operator definieren, müssen Sie seinen Definitionsbereich und damit Randbedingungen definieren. Eigenvektoren dieses Operators sind die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. Wenn das Spektrum des Operators einen diskreten Teil hat, dann haben Sie einige quantisierte Zustände.
Eine diskrete Indizierung kann nur für einen Teil des Spektrums erfolgen. Für Wasserstoffatome ist das Spektrum nur für negative Energien diskret. Für positive Energien gibt es kontinuierlich indizierte positive Eigenwerte, die uneigentlichen Eigenfunktionen zugeordnet sind – Funktionen, die die Schrödinger-Gleichung, aber nicht die Normalisierungsbedingung erfüllen. Diese sind ebenfalls wichtig, um eine gute verallgemeinerte Grundlage zum Ausdrücken integrierbarer Funktionen zu erhalten.
@JánLalinský: Richtig, danke, dass du an diesen Teil erinnert hast, es scheint für jedes solche gebundene System zuzutreffen, das über eine gewisse Entfernung hinaus frei werden kann.

Im vorliegenden Fall ist es eher die quadratische Integrierbarkeit als Randbedingungen, die den Satz von Eigenwerten einschränkt.

Ist nicht die quadratische Integrierbarkeit selbst eine Möglichkeit der Randbedingung. dh | ψ ( X ) | 2 → 0 als X → ∞ .
Das glaub ich nicht. Quadratische Integrierbarkeit impliziert nicht unbedingt, dass |ψ(x)|^2→0 als x→∞ gilt. Stellen Sie sich eine Funktion vor, die überall verschwindet, außer bei den positiven ganzen Zahlen n und einem kleinen Intervall I_n um sie herum, wo sie den Wert 1 hat. Wenn die Länge von I_n schnell genug gegen 0 geht, da n→∞, dann ist die Funktion quadratintegrierbar, tut es aber nicht gegen 0 tendieren.
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