Zeitliche Ableitung des Zustandsvektors, ausgedrückt im abstrakten Hilbert-Raum vs. als Wellenfunktion

Ich gehe fortan davon aus$\hbar=1$. Die richtige Art, an die Schrödinger-Gleichung in einem Hilbert-Raum zu denken$\cal H$(bezieht sich auf einen selbstadjungierten Hamiltonoperator$H : D(H) \to \cal H$, mit$D(H)\subset \cal H$ein dichter Unterraum) ist derjenige, bei dem sich die Zeitableitung auf die Topologie des Hilbert-Raums bezieht (wie am Anfang der gestellten Frage richtig bemerkt):

$$\frac{d}{dt} \psi_t = -i H \psi_t\tag{1}\:.$$

Über$\psi_t := e^{-itH} \psi$und$\psi \in D(H)$. Diese letzte Anforderung garantiert dies$\psi_t \in D(H)$für jeden$t \in \mathbb R$und dass die$t$-Derivat$\frac{d}{dt} \psi_t$im Sinne der Topologie des Hilbertraums existiert, und schließlich gilt (1).

Eine naive Interpretation der Schrödinger-Gleichung geht jedoch davon aus, dass die$t$-Ableitung steht im üblichen Sinne für eine Wellenfunktion$\psi=\psi(t,x)$ausreichend glatt in beiden Variablen, und die Gleichung selbst wird im Sinne der Standard-PDE interpretiert, vorausgesetzt, dies$H$ist die (hoffentlich einzigartige) selbstadjungierte Erweiterung eines Differentialoperators$H_x = -\frac{1}{2m} \Delta_x + V(x)$mit$V$zumindest durchgehend:

$$\frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x) = -i H_x \psi(t,x)\tag{2}\:.$$

Diese zweite Interpretation ist im allgemeinen Fall aus verschiedenen Gründen nicht haltbar. Insbesondere ist es falsch, dass alle Lösungen von (1) (2) lösen, weil die Wellenfunktionen, die (1) lösen, Elemente von sind$D(H) \subset {\cal H} = L^2(\mathbb R^3, dx)$und daher (a) sind sie bis zum Nullmaßsatz definiert und (b) ist es im Allgemeinen nicht möglich, eine stetige Funktion zu erhalten, die die anfängliche auf einem Nullmaßsatz ändert. (Der Grund ist, dass die selbstadjungierte Erweiterung$H$von$H_x$hört auf, ein Differentialoperator zu sein.)

Es kann jedoch vorkommen, dass man eine Lösung von (2) findet$\psi=\psi(t,x)$was differenzierbar ist$t$für jeden$x$und ausreichend regelmäßig in$x$abhängig von der Regelmäßigkeit von$V$um dazu zu gehören$D(H_x)\subset D(H)$. Tut$\psi$(1) lösen?

Das einzige, was zu überprüfen ist, ist, ob fast überall in$x$und für gegeben$t \in \mathbb R$,

$$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)\:.\tag{3}$$

Wir haben ein paar elementare Fakten:

(A) Wenn beide Seiten von (3) existieren und die rechte Seite dazugehört$L^2(\mathbb R^3, dx)$, (3) gilt .

(B) Wenn es welche gibt$\epsilon>0$und$g_{t} \in L^2(\mathbb R^3, dx)$, mit

$$\left|\frac{\partial}{\partial \tau} \psi(\tau,x)\right| \leq |g_{t}(x)|\quad \mbox{almost everywhere in $x$, } \forall \tau \in (t-\epsilon, t+\epsilon)$$ dann existiert die linke Seite von (3) (und (3) gilt für (A)) .

NACHTRAG .

BEWEISSKIZZE

Bezüglich (A), da die$t$Ableitung im Sinne der Hilbertraumtopologie existiert, das wissen wir

$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) - \frac{d \psi_t(x)}{dt}\right|^2 dx=0$$ Ein bekanntes Ergebnis von $L^p$Raumtheorie besagt, dass wenn $f_n \to f$wie $n\to +\infty$in $L^p$, es gibt eine Folge mit $f_{n_k} \to f$ fast überall wie $k \to +\infty$. Daher gibt es eine Reihenfolge $h_k \to 0$wie $k\to +\infty$, so dass fast überall in $x$, $$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{d \psi_t(x)}{dt}\:.\tag{4}$$ Andererseits wissen wir das, einfach weil $\frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}$existiert, für jeden $x$wir haben auch $$\frac{1}{h}(\psi_{t+h}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $h\to 0$}.$$ Daher insbesondere nochmal für jeden $x$, $$\frac{1}{h_k}(\psi_{t+h_k}(x)-\psi_t(x)) \to \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\quad \mbox{if $k\to \infty$}\:.\tag{5}$$ Aus dem Vergleich von (4) und (5) schließen wir, dass (A) gilt: $$\left(\frac{d}{dt} \psi_t\right)(x) = \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,x)$$ fast überall drin $x$. Damit ist (A) wahr.

Zu (B) ist zu beweisen:

$$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2dx =0\:.\tag{6}$$ Der Satz von Lagrange erlaubt uns, das Integral umzuschreiben als: $$\int \left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 dx$$ wo $t_{x,h} \in [t-h,t+h]$. In unseren Hypothesen haben wir auch das: $$\left| \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau= t_{x,h}} - \frac{\partial \psi(\tau,x)}{\partial \tau}|_{\tau=t}\right|^2 \leq 2|g_t(x)|^2$$ fast überall drin $x$und für alle ausreichend klein $h$. Lebesgues Satz über die dominierte Konvergenz impliziert, dass das Symbol des Integrals und das des Grenzwerts in der rechten Seite von (6) vertauscht werden können, wodurch erhalten wird $$\lim_{h\to 0} \int \left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx$$ $$= \int \lim_{h\to 0}\left| \frac{1}{h}(\psi(t+h,x)-\psi(t,x)) - \frac{\partial \psi(t,x)}{\partial t}\right|^2 dx =0\:,$$ wie gewünscht.