Wie definiert man die Ableitung einer Operatorwertfunktion richtig?

Es kann einige Probleme geben, die Ableitung für beliebige unbegrenzte Operatoren richtig zu definieren. Dies liegt daran, dass es meines Wissens keine geeignete Definition der Topologie auf der Menge der unbeschränkten Operatoren gibt.

Beschränken wir uns auf abgeschlossene Operatoren (wie selbstadjungierte Operatoren), die auf einen Hilbert-Raum wirken$H$, dann ist es möglich, eine Metrik zu definieren. Die Menge der abgeschlossenen Operatoren wird dann zu einem (nicht vollständigen) metrischen Raum$\mathcal{C}(H)$. Bevor ich (kurz) erörtere, was die Metrik ist, lassen Sie mich das anmerken$\mathcal{C}(H)$ ist kein linearer Raum, da es im Allgemeinen nicht möglich ist, zwei abgeschlossene unbeschränkte Operatoren zu summieren. Der Abstand zwischen geschlossenen Operatoren$T$Und$S$ist grob definiert als die Lücke zwischen den Graphen$G(T)$Und$G(S)$. Der Graph eines Operators ist eine geschlossene lineare Mannigfaltigkeit in$H\times H$definiert von

$$G(T)=\{(\varphi,\psi) \in H\times H \;, \; \varphi\in D(T)\; , \; \psi=T\varphi \}\; .$$ Für alle Details der Definition siehe zB Katos Buch von 1966 über die Störungstheorie linearer Operatoren.

In$\mathcal{C}(H)$, haben wir also einen Konvergenzbegriff$T_n\to T$. Konvergenz in diesem Sinne (von Kato "verallgemeinerter Sinn" genannt) erweitert grob gesagt die Konvergenz in der Norm von beschränkten Operatoren. Wenn der Auflösungssatz$\varrho(T)$von$T$nicht leer ist, ist die verallgemeinerte Konvergenz äquivalent zur Konvergenz im Sinne der Normauflösung , dh sie ist äquivalent zur Normkonvergenz der Resolventen (als beschränkte Operatoren):

$$T_n\to_\mathrm{gen} T \Leftrightarrow (T_n-z)^{-1}\to_{\mathrm{norm}} (T-z)^{-1}\; ,\; \forall z\in \varrho(T)\; .$$ Genauer gesagt gibt es eine $n^*\in \mathbb{N}$so dass $z\in \varrho(T_n)$für alle $n\geq n^*$, und die Konvergenz der Resolventen gilt. Natürlich ist Konvergenz im verallgemeinerten Sinne gleichbedeutend mit Konvergenz in der Norm, wenn die Operatoren beschränkt sind.

Trotzdem hat man noch ein Problem bei der Definition der Ableitung, da es, wie ich bereits bemerkt habe, im Allgemeinen nicht möglich ist, zwei abgeschlossene Operatoren zu summieren und einen anderen abgeschlossenen Operator zu erhalten. Es ist möglich, abstrakte Bedingungen für (dicht definierte)$T$Und$S$damit sie einen geschlossenen Operator dicht definieren können$T+S$, siehe dieses Papier . Wie Sie jedoch vielleicht bemerken, werden die Dinge unordentlicher und unordentlicher. Wie auch immer, lass$T_0\in \mathcal{C}(H)$ein fester, dicht definierter geschlossener Operator sein. Wir bezeichnen mit$\mathcal{C}_{T_0}(H)$der Satz

$$\mathcal{C}_{T_0}(H)=\{T\in \mathcal{C}(H), T-T_0\in \mathcal{C}(H)\}\; .$$ Bemerke das $\mathcal{C}_{T_0}(H)$kann auch leer sein. Trotzdem lassen Sie jetzt $\alpha:\mathbb{R}\to \mathcal{C}_{T_0}(H)$für einige $T_0$, Und $\alpha(x)=T_0$. Dann die Ableitung $\alpha'(x)$kann in der üblichen Weise da definiert werden $h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)$ist ein abgeschlossener Operator: $$\alpha'(x)=\lim_{h\to 0}h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)\; ;$$ wobei die Grenze im verallgemeinerten Sinne gemeint ist (sofern sie existiert). Allerdings sind wir uns immer noch nicht sicher, ob die Ableitung in einem anderen Punkt Sinn macht $x'\neq x$, Wenn $\alpha(x')\neq T_0$!

Tatsächlich habe ich diese Konstruktion nie in einem konkreten physikalischen oder mathematischen Problem angewendet gesehen, und vielleicht wird sie nie verwendet.

Als letzte Bemerkung wird die Ableitung von Funktionen mit Werten in den stetigen (beschränkten) linearen Operatoren sehr oft verwendet. Dabei kann die Ableitung in einer beliebigen Topologie der beschränkten Operatoren beabsichtigt sein, wie z. B. der Normtopologie (das wäre äquivalent zu obiger Konstruktion und bereits erwähntem OP); sondern auch in der starken Topologie oder in der schwachen . Tatsächlich können Derivate manchmal im starken oder schwachen Sinn existieren, aber nicht im Normsinn.