Wie kann man die Idee eines durchgehenden kompletten Satzes rigoros umsetzen?

In der Quantenmechanik ist bei Verwendung von Diracs Formalismus eines seiner Merkmale die Erweiterung von Zustandsvektoren in eine kontinuierliche Basis von Eigenvektoren unbegrenzter selbstadjungierter Operatoren. Lassen H sei der Zustandsraum eines Quantensystems und A irgendein unbeschränkter selbstadjungierter Operator.

Dann ist das Übliche, was man tut: Man geht davon aus A hat einen stetigen Satz von Eigenvektoren { | A ⟩ : A ∈ R } durch seine Eigenwerte indiziert A ∈ R und nimmt an, dass man jeden Zustandsvektor als "Linearkombination" dieser Eigenvektoren im Sinne des folgenden Integrals schreiben kann:

| ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ⟨ A | ψ ⟩ | A ⟩   D A .

Ein weiteres Merkmal ist die "Vollständigkeitsrelation", die als folgendes Integral geschrieben werden kann

∫ − ∞ ∞ | A ⟩ ⟨ A |   D A = ICH ,

Sein ICH der Identitätsoperator. Schließlich gibt es noch die Orthogonalitätsrelation, die lautet:

⟨ A | A ' ⟩ = δ ( A − A ' ) .

Diese drei Merkmale von Diracs Formalismus sind zwar sehr nützlich, aber nicht streng. Es gibt einige Punkte, die mir aufgefallen sind:

  1. Mir ist die Gültigkeit des Spektralsatzes für unbegrenzte Operatoren mit kontinuierlichen Spektren nicht bekannt. In diesem Fall weiß ich nicht, ob man sagen könnte, dass die Eigenvektoren eine Basis bilden. In Wahrheit ist nicht einmal klar, was in diesem Zusammenhang mit Basis gemeint ist.

  2. Auf der Entwicklungsgleichung haben wir das Integral einer Funktion F : R → H gegeben von F ( A ) = ⟨ A | ψ ⟩ | A ⟩ und es ist mir zunächst nicht klar, wie das Integral einer solchen Funktion definiert werden kann.

  3. Bei der Vollständigkeitsrelation haben wir noch ein weiteres seltsames Integral. Jetzt hat es eine Funktion G : R → L ( H , H ) Sein L ( H , H ) der Platz der Operatoren auf H . Diese Funktion G ist definiert durch G ( A ) = | A ⟩ ⟨ A | und es ist nicht klar, wie das Integral einer solchen Funktion wieder definiert wird.

  4. Die Orthogonalitätsbeziehung erscheint wirklich seltsam. Es ist keine übliche Orthogonalität, sondern beinhaltet das Diract-Delta, das eine Verteilung ist. In dem Fall allerdings ⟨ A | A ' ⟩ sollte eine komplexe Zahl sein, wird sie gleich einer Verteilung gesetzt, die eine Funktion über einen Raum von Testfunktionen ist.

Ich habe gehört, dass der Rigged-Hilbert-Space-Formalismus, auch bekannt als Gel'fand-Triple, all diese Probleme löst. Aber ich verstand noch nicht wie. In Wahrheit weiß ich über diese Konstruktion, dass wir uns einen dichten Unterraum aussuchen Ω des Hilbertraums H wobei alle relevanten Operatoren definiert werden können und invariant sind. Dann betrachten wir den Raum der antilinearen Funktionale und der linearen Funktionale. Dies gibt dem Raum von Kets und BHs eine Bedeutung, aber ich weiß nicht, wie es all diese Konstruktionen, über die ich oben gesprochen habe, sinnvoll macht.

Wie kann in diesem Fall dieser Teil des Dirac-Formalismus rigoros gemacht werden? Wie löst man diese vier Punkte? Wie ist es möglich, diese Integrale und die damit verbundenen Beziehungen zu verstehen? Und schließlich, wie kann das Gel'fand-Triple hier verwendet werden, um alles richtig zu machen?

Kommentar v1: Der Spektralsatz kann für jeden selbstadjungierten Operator (eigentlich für jeden normalen Operator) geschrieben werden.
Werfen Sie einen Blick in das Kapitel 13 (Hilbert-Räume) von Szekeres' Buch über mathematische Physik. Die meisten Antworten, die Sie wollen, sind da und in strenger Form.
Nach Ihrem Kommentar habe ich mir dieses Buch und Kapitel angesehen und finde es ziemlich klassisch und es scheint nichts über die Art der "verallgemeinerten Grundlage" zu sagen, um die es geht, dh beantwortet nicht 2. und 4. und nicht wirklich 1 Ich möchte nur auf das Gelfand-Pettis-Integral und das Bochner-Integral hinweisen, die man bei der Suche nach "vektorwertigen Integralen" findet. Obwohl ich sehr wenig darüber weiß, möchte ich nur sagen, dass ein Integral als eine Grenze definiert ist und dass man sich in unendlich dimensionalen Räumen um die mögliche unterschiedliche Bedeutung von Grenzen kümmern muss, daher die unterschiedlichen Vorstellungen von ..
Integrale. Nun zu 4. Was ich verstehe, ist, dass lhs eine "Funktion" der Indizes "a" und "a'" ist. Die "verallgemeinerte Basis" ist so, dass es sich nicht um eine Funktion, sondern um eine Verteilung handelt.
Es ist erwähnenswert, dass eine mathematisch fundierte Darstellung der Verallgemeinerung des Formalismus auf den Fall unbeschränkter Operatoren, die mit Familien von projektorwertigen Maßen arbeitet, bereits 1932 von von Neumann durchgeführt wurde. Sein Buch Mathematical Foundations of Quantum Mechanics ist ein kleines Juwel, das gleichzeitig eine solide mathematische Grundlage und einen sehr tiefen Einblick in die zugrunde liegende Physik enthält. Heutzutage existiert es in einer erneuerten Ausgabe, in der alle Formeln mit modernem TeX neu geschrieben wurden.

Antworten (1)

Es gibt keinen dem kontinuierlichen Spektrum entsprechenden Eigenvektor. Der Formalismus von Gel'fand-Tripeln hilft auch nicht viel bei der Lösung Ihrer Zweifel und hat meiner Erfahrung nach nur sehr wenige Anwendungen. Ein Grund dafür ist, dass sich diese „verallgemeinerten Eigenvektoren“ nicht im Hilbert-Raum befinden, sondern in einem größeren Raum, und was Sie mit ihnen tun können, ist streng genommen nicht viel (zum Beispiel können sie – durch topologische Dualität – nur auf a wirken Teilmenge der Vektoren des Hilbert-Raums; sie können nicht multipliziert werden; sie können nicht auf andere verallgemeinerte Eigenvektoren wirken;...).

Der Spektralsatz gilt stattdessen für jeden selbstadjungierten Operator. Noch wichtiger ist, dass es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen gibt A ∈ S e l F A D J Ö ich N T ( H ) und spezielle Familien von Projektionen, die als Spektralfamilien bezeichnet werden (oder projektionsbewertete Maße) { P Ω } Ω ∈ B Ö R e l ( R ) ⊂ L ( H ) .

Diese Projektoren sind die Verallgemeinerung von | ψ N ⟩ ⟨ ψ N | , Projektion auf den Unterraum mit Eigenwert N (angeblich von Multiplizität eins); Sie projizieren also grob gesagt auf den Unterraum von Vektoren, in denen der Operator nur Werte in der annimmt Ω Teil des Spektrums. In der Tat, wenn wir mit bezeichnen D P ( λ ) das Maß in Bezug auf die Spektralfamilie { P Ω } Ω ∈ B Ö R e l ( R ) (der streng definiert werden kann), kann der zugehörige Operator geschrieben werden als:

A = ∫ R λ D P ( λ ) ;
und die zugehörige Zerlegung der Identität kann geschrieben werden als:
1 = ∫ R D P ( λ ) = P R .
Die letzte Gleichung ist die korrekte mathematische Schreibweise der zweiten Gleichung des OP.

Die anderen Gleichungen hingegen haben kein strenges Gegenstück, da es keine Eigenvektoren von Operatoren mit kontinuierlichen Spektren gibt (natürlich können Sie schreiben ψ = ∫ R D P ( λ ) ( ψ ) , aber das ist nicht so nützlich).

Was ist mit dem Kernspektralsatz? Sollte dies nicht das geben, was benötigt wird? mathoverflow.net/questions/179932/… (Verallgemeinerte Eigenvektoren betrachten)
Wie kann man die Idee eines durchgehenden kompletten Satzes rigoros umsetzen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v