Verteilungserweiterung eines Hilbert-Raums

Diese Frage stammt aus dem Abschnitt „Complexification“ von Thomas Thiemanns „ Modern Canonical Quantum General Relativity“ , aber ich glaube, sie befasst sich nur mit den Grundlagen der Quantenmechanik.

Die Grundidee ist, dass Sie Verteilungsmaße wie das Dirac-Delta in Ihren Hilbert-Raum aufnehmen möchten. Sie beginnen also mit einem Hilbert-Raum H = L 2 ( C , D μ ) als quadratisch integrierbare Funktionen auf einem Konfigurationsraum C in Bezug auf eine Maßnahme D μ . Wenn Sie nun versuchen möchten, die in Bezug auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß definierte Delta-Funktion einzubeziehen D μ ' über

∫ δ ( Q − Q ' ) F ( Q ' ) D μ ' = F ( Q ) ,

Sie benötigen eine Distributionserweiterung (seine genaue Bezeichnung dafür) des Konfigurationsraums, C ¯ . Er fährt fort zu sagen, dass Sie dann vielleicht in der Lage sein könnten, einen Verteilungszustand wie zu machen

ψ Q ' = exp ⁡ ( − ϕ ) δ Q '
für eine entsprechende Glättungsfunktion ϕ quadratintegrierbar sein, wenn Sie die Glättungsfunktion sorgfältig ausgewählt haben (das hat alles mit kohärenten Zuständen zu tun, was wiederum meiner Meinung nach nicht übermäßig wichtig ist).

Das Problem, das ich habe, ist, dass ich nicht verstehe, wie dies ein Hilbert-Raum sein kann. Speziell:

  1. Es sieht so aus, als hätten wir zwei Maßnahmen, D μ für die ursprüngliche Funktion ein C Und D μ ' für die Maßnahme an C ¯ . Ist das möglich, oder habe ich das falsch verstanden und wir verlängern gerade D μ gelten auch für Distributionen, so wie D μ ¯ ? Ist das immer möglich?
  2. Außerdem sollte dies immer noch ein Vektorraum sein, also wie soll ich die additive Eigenschaft verstehen? Die Verteilungen sind dual zu den Funktionen an C , also kann ich solche Duale einfach gerne zusammenzählen
    F ( Q ) + δ ( Q − Q ' )
    und erwarten, dass sie Sinn machen? Sicher, sie machen im inneren Produkt einen Sinn, aber sollte dies nicht im zugrunde liegenden Vektorraum wohldefiniert sein?
Die Erweiterung ist kein Hilbert-Raum, weil sie nicht selbstdual ist/kein inneres Produkt hat (was wäre das innere Produkt von δ mit sich selbst sein?). Diese Konstruktion ist als manipulierter Hilbert-Raum/Gel'fand-Dreier bekannt . Insbesondere definieren Sie die "Verteilungserweiterung" als Dual auf einem Unterraum Ihres Hilbert-Raums
Randbemerkung zu Frage 2: Addition von Verteilungen ist kein Problem, sie bilden auf jeden Fall einen Vektorraum (per Definition ist ein Dual eines Vektorraums ein Vektorraum).
@ACuriousMind: Ok, ich glaube, ich verstehe. Die Deltas sind Teil des Dualraums zu einem Unterraum des Hilbertraums, also mit einem eigenen Maß ausgestattet δ ∗ ( F ) =< δ , F > (oder eine korrekte Notation!). Es wird also nicht erwartet, dass die Verteilungen quadratintegrierbar sind, aber wenn Sie knifflig sind, können Sie möglicherweise quadratintegrierbare Funktionen konstruieren, die Deltas enthalten.

Antworten (1)

Ich bin überhaupt kein Experte der Quantengravitation, aber ich glaube, Sie haben den Punkt missverstanden.

So wie ich es verstehe, geht es nicht unbedingt darum, Verteilungen als Quanten-Hilbert-Raumvektoren zu haben, sondern einen verteilten "Konfigurationsraum", dh Verteilungen als Domäne der Funktion(en), die die Quantenvektoren sind.

Während in der QM (dh für Teilchen) der Konfigurationsraum (und damit der zugehörige Phasenraum) endlichdimensional ist, ist der Konfigurationsraum in der QFT meist ein reeller unendlichdimensionaler Hilbertraum. Es gibt ein Ergebnis von Segal , in dem bewiesen wird, dass der Fock-Raum über dem Ein-Teilchen-Raum konstruiert wurde H ist isomorph zu an L 2 ( H R , D μ G ) Raum quadratisch integrierbarer Funktionale Ψ ( F ) , wobei das Argument (das Objekt des Konfigurationsraums) ein Element ist F ∈ H R (der echte Hilbertraum mit den gleichen Elementen wie H und Skalarprodukt der Realteil des Skalarprodukts von H ); und das Maß μ G ist ein Gaußsches Maß über dem Raum H R . Das heißt, wenn Sie die funktionale integrieren Ψ ¯ Ψ über dem Maß D μ G ( F ) , tun Sie eine Integration über das Ganze möglich F ∈ H R :

∫ H R Ψ ¯ ( F ) Ψ ( F ) D μ G ( F ) .
Dies ist das Quantenfeld-Analogon des Üblichen L 2 ( R D , D X ) Raum quadratisch integrierbarer Funktionen mit Lebesgue-Maß, das üblicherweise in der QM von Partikeln verwendet wird (und isomorph zur üblicheren Fock-Raum-Formulierung für das Skalarfeld ist).

Nun der Konfigurationsraum H R ist bereits ein Verteilungsraum (wenn er wie üblich trennbar ist, dann ist er isomorph zu einigen L 2 ( R D , D X ) und das ist ein Unterraum von S ' ( R D ) ) und nicht nur von reibungslosen Funktionen. Ein ähnliches Vorgehen wird bei der Betrachtung des Konfigurationsraumes für das Gravitationsfeld versucht. Der Punkt ist, dass es nicht ausreicht, glatte Konfigurationen zu betrachten, es ist notwendig, ein Maß angemessen zu definieren μ , um den Abschluss (in einer geeigneten Topologie, die ich mir vorstelle) der glatten Konfigurationen zu nehmen und somit auch Verteilungsobjekte zu erhalten. Ich kenne die Details nicht, aber es scheint, dass dies in ausreichend strenger Weise geschehen kann. Wie auch immer, der Raum der Quantenzustände ist immer noch der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionale Ψ ( F ) dieser Konfigurationen F , einfach letzteres kann allgemeiner/singulärer sein als nur glatte Konfigurationen.

Ich denke, Sie haben es genau richtig - in LQG ist der Hilbert-Raum L 2 ( A ¯ , μ ) über den Raum der Verteilungsverbindungen A ¯ . Sie müssen hier etwas Ähnliches für die kohärenten Zustände tun, aber die allgemeine Sprache verwirrte mich. Danke!
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