Hilbertraum eines freien Teilchens: Zählbar oder Unzählbar?

Dies ist offensichtlich eine Folgefrage zum Phys.SE-Post -Hilbert-Raum des harmonischen Oszillators: Zählbar vs. Unzählbar?

Also dachte ich, dass der Hilbert-Raum eines gebundenen Elektrons abzählbar ist, aber der Hilbert-Raum eines freien Elektrons ist nicht abzählbar. Aber die Argumente zu Glätte und Deltafunktionen in den Antworten auf die vorherige Frage überzeugen mich vom Gegenteil. Warum ist der Hilbertraum eines freien Teilchens nicht auch abzählbar?

Ein freies Teilchen und ein harmonischer Oszillator haben beide denselben Hilbert-Raum L 2 ( R n ) .

Antworten (1)

Die Hilbert-Dimension des Hilbert-Raums eines freien Teilchens ist abzählbar. Um dies zu sehen, beachten Sie das

  1. Der Hilbert-Raum eines freien Teilchens in drei Dimensionen ist L 2 ( R 3 ) .

  2. Eine orthonormale Basis eines Hilbert-Raums H ist eine beliebige Teilmenge B ⊆ H dessen Spannweite dicht ist H .

  3. Alle orthornormalen Basen eines bestimmten nicht leeren Hilbert-Raums haben dieselbe Kardinalität, und die Kardinalität einer solchen Basis wird als Hilbert-Dimension des Raums bezeichnet.

  4. Der Hilbertraum L 2 ( R 3 ) ist trennbar ; es lässt eine zählbare, orthonormale Basis zu. Daher hat er nach Definition der Hilbert-Dimension eines Hilbert-Raums eine zählbare Dimension.

Nachtrag. 2014-10-19

Es gibt einen anderen Begriff der Basis, auf den normalerweise nicht Bezug genommen wird, wenn man über Hilbert-Räume spricht, nämlich eine Hamel-Basis (auch bekannt als algebraische Basis ). Es gibt einen entsprechenden Satz namens Dimensionssatz, der besagt, dass alle Hamel-Basen eines Vektorraums dieselbe Kardinalität haben und die Dimension des Vektorraums dann als Kardinalität jeder Hamel-Basis definiert ist.

Man kann zeigen, dass jede Hamel-Basis eines unendlichdimensionalen Hilbert-Raums überabzählbar ist .

Infolgedessen ist die Dimension (im Sinne von Hamel-Basen) des Hilbert-Raums freier Teilchen nicht abzählbar, aber dies ist normalerweise nicht der Sinn, in dem man den Begriff Dimension in diesem Zusammenhang verwendet, insbesondere in der Physik.

Das gesamte Universum oder zumindest die gesamte Quantenmechanik ist also zählbar? Das hat mir einmal ein sehr berühmter Physiker gesagt, aber ich dachte nicht, dass das die Mehrheitsposition ist.
Aber wozu sind dann manipulierte Hilbert-Räume gut? Ich dachte, ihr springender Punkt wäre, Zählbares und Unzählbares auf konsistente Weise zu mischen? Ein kurzer Blick auf Wikipedia stellt fest: „Sie können den ‚gebundenen Zustand‘ (Eigenvektor) und das ‚kontinuierliche Spektrum‘ an einem Ort zusammenbringen.“
@ Jim Ich (und keine andere Person, die ich kenne) kann mit einiger Sicherheit über den Hilbert-Raum des Universums sprechen. Was ich Ihnen sagen kann, ist, dass die meisten Physiker den Zustand eines freien Teilchens als Vektor in modellieren L 2 ( R 3 ) dessen Dimension abzählbar ist. Ich bin leider nicht ausreichend mit manipulierten Hilbert-Räumen vertraut, um etwas Intelligentes über ihren Nutzen zu sagen.
@Jim Wenn Sie den manipulierten Hilbert-Raum-Formalismus verwenden, ist Ihr Zustandsraum tatsächlich ein Unterraum eines zählbaren Hilbert-Raums. Siehe hier: physical.stackexchange.com/questions/43515/…
Eigenvektoren und kontinuierliches Spektrum sind Eigenschaften von Operatoren, nicht des Hilbert-Raums. Ein abgeschlossener Unterraum eines separierbaren Hilbert-Raums ist auch ein seperabler Hilbert-Raum, wenn seine Dimension unendlich ist. Alle separierbaren Hilbert-Räume sind unitär äquivalent, obwohl sie sehr unterschiedlich aussehen können.
@jjcale: Es ist nicht ganz klar, wen Sie ansprechen.
@user1504: Ich spreche dich und Jim Graber an.
@jjcale Der Unterraum, von dem ich spreche, ist nicht geschlossen.
@ user1504: ok, aber dann ist es kein Hilbert-Raum.
@jjcale: Niemand hat es gesagt. Es ist die Domäne der Algebra der Observablen.
@ user1504: Aber die Frage betrifft Hilbert-Räume.
@jjcale Jim stellte (in seinem Kommentar) eine zweite Frage zu manipulierten Hilbert-Räumen. In diesem Formalismus ist der Zustandsraum eigentlich kein Hilbert-Raum. Stattdessen ist es ein Vektorunterraum eines Hilbert-Raums. Dies reicht aus, um Jims Frage zu beantworten. Weitere Einzelheiten zum Formalismus finden Sie in der Antwort auf die Frage, auf die ich oben verlinkt habe.
@joshphysics- Wie kann ein freier Partikel-Hilbert-Raum sein? L 2 ( R 3 ) ? Die freien Teilchenzustände sind Impuls-Eigenzustände und daher von der Form ∼ e ich k → ⋅ r → , die nicht quadratintegrierbar sind . Gibt es im Fall der freien Teilchen eine zählbare Grundlage?
@Roopam Die Impuls-Eigenzustände sind streng genommen keine Elemente des Hilbert-Raums des freien Teilchens. Jede ehrliche Basis für den Hilbert-Raum des freien Teilchens ist zählbar. Ein Beispiel für eine solche Basis finden Sie hier en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Hermite_functions , wie in der Antwort erwähnt.
@joshphysics- Okay. Aber ich verstehe nicht, warum wir dieses Set wegwerfen { e ich k → ⋅ r → } aus dem Hilbert-Raum? Da diese nicht quadratintegrierbar sind, impliziert dies, dass sie nicht dazugehören L 2 . Das ist gut. Aber wir hätten den Hilbertraum aus verlängern können L 2 , zu etwas, das diese Funktionen ebenfalls enthält. Ist es nicht? Bedeutet dies, dass diese Lösungen physikalisch nicht akzeptabel sind? Aber bei Streuproblemen und anderen Fällen verwenden wir solche Funktionen? Was ist dort der Hilbertraum? Verwenden wir immer L 2 in der Quantenmechanik? Um Borns Wahrscheinlichkeitsinterpretation zu retten?
@Roopam Ich würde empfehlen, dass Sie manipulierte Hilbert-Räume untersuchen, die genau aus Versuchen resultieren, nicht quadratisch integrierbare Funktionen in den Zustandsraum aufzunehmen. Wenn wir Streuprobleme usw. lösen, ist es nützlich, ebene Wellen zu verwenden, um bestimmte Ergebnisse abzuleiten, aber letztendlich, wenn wir probabilistische Interpretationen der Quantenmechanik verwenden möchten, wie Sie angeben, müssen die physikalisch zulässigen Zustände sein L 2 .
@joshphysics-From Dirac's Principles of Quantum Mechanics "Der Raum von Bra- oder Ket-Vektoren, wenn die Vektoren auf eine endliche Länge und auf endliche Skalarprodukte beschränkt sind, wird von Mathematikern als Hilbert-Raum bezeichnet. Die Bra- und Ket-Vektoren, die wir jetzt verwenden bilden einen allgemeineren Raum als einen Hilbert-Raum ." Seite-40. Wenn wir nicht den Hilbert-Raum der Quantenmechanik aus erweitern L 2 , Streuzustände von H − Atome können dort nicht leben, aber glauben Sie nicht, dass es einen Grund gibt, sie als unphysisch zu betrachten.
@joshphysics- Vielmehr werde ich die Interpretation der absoluten Wahrscheinlichkeit aufgeben und nach der relativen Wahrscheinlichkeit suchen, wie Landau und Lifshitz sagen. Aber in der Tat hattest du recht, { e ich k x } -Zustände sind unphysikalisch, so sind { δ ( x − x 0 ) } . Aber alle Streuzustände sind nicht unphysikalisch wie die des H-Atoms. Diese müssen also im Hilbert-Raum enthalten sein. Habe ich recht?
Die @SRS-Beschreibung der Streuung erfordert nicht, dass wir den Hilbert-Raum verlassen. Die übliche Verwendung von e ich k x liegt an der Tatsache, dass es Berechnungen einfacher macht. Um es korrekter zu machen, sollte man die Streuungsberechnungen mit Wellenpaketen durchführen, die durch normalisierte Psi-Funktionen beschrieben werden. Anstatt also das einfallende Teilchen als unendlich breite Welle darzustellen (was offensichtlich nicht physikalisch ist), würde man es als eine in ihrer räumlichen Ausdehnung begrenzte Welle darstellen (die Breite des Pakets wird durch den experimentellen Aufbau bestimmt, z. B. wäre die Wellenbreite begrenzt durch Öffnungen in der Partikelquelle).
Hilbertraum eines freien Teilchens: Zählbar oder Unzählbar?
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