Das Problem der Existenz von Umkehroperationen von aaa und a†a†a^{\dagger}

Ich habe bei math.stackexchange eine Frage gestellt, die eine physikalische Bedeutung hat.

Meine Vermutung: Angenommen A Und A † ist hermitesch adjungierte Operatoren und [ A , A † ] = 1 . Ich möchte beweisen, dass es keine inversen Operatoren für gibt A Und A † .

Ich dachte, dass diese Annahme rein mathematisch ist, aber ich habe darauf keine Antworten. Vielleicht übersehe ich etwas?

Ich werde das klären A Und A † sind nur Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für den harmonischen Quantenoszillator.

Antworten (1)

Der Grundzustand des harmonischen Oszillators | 0 ⟩ gehorcht

A | 0 ⟩ = 0
was bedeutet, dass die Aktion von A kann nicht rückgängig gemacht werden: Sobald Sie damit auf einen Zustand einwirken, setzen Sie den Koeffizienten davor auf Null | 0 ⟩ bei der Zerlegung in Besetzungseigenzustände. Beliebiger inverser Kandidatenoperator A − 1 Wenn Sie auf Null reagieren, erhalten Sie wieder Null. wirst du nie bekommen 0 zurück, so dass es impliziert, dass es keinen Operator gibt A − 1 das würde genügen
A − 1 A = 1 .
Auf der anderen Seite gibt es eine Umkehrung von der gegenüberliegenden Seite, die gehorcht
A A − 1 = 1 .
Die Aktion davon A − 1 An | N ⟩ ist einfach definiert als | N + 1 ⟩ / N + 1 oder welcher Koeffizient auch immer benötigt wird, damit es invers ist. Diesen einseitigen Umkehroperator kann ich schreiben als A † ( A A † ) − 1 was gut definiert ist, weil A A † hat nur Eigenwerte ungleich Null.

Für A † , werden die Ansprüche selbstverständlich zurückgenommen. Es gibt eine Umkehrung, die gehorcht

( A † ) − 1 A † = 1
aber nicht das andere.

Das Problem der Existenz von Umkehroperationen von aaa und a†a†a^{\dagger}
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