Warum werden kohärente Zustände von harmonischen Oszillatoren "kohärent" genannt?

Kohärente Zustände sind Eigenvektoren für den (bosonischen) Vernichter,

$$\hat a ~|\alpha\rangle = \alpha~|\alpha\rangle,$$ und wenn wir die Orts- und Impulsquadraturen definieren als $\hat x = \hat a^\dagger + \hat a,$ $\hat p = i \hat a^\dagger - i \hat a,$wir haben $[\hat x, \hat p] = 2i$und der dimensionslose Hamiltonoperator $\hbar\omega ~ \hat a^\dagger \hat a = \frac12 \hbar\omega~x^2 + \frac12 \hbar\omega~p^2 + \text{const.}$um uns zu führen. Wir können das sofort in dem kohärenten Zustand sehen, den wir haben $\langle x \rangle = \alpha^* + \alpha = 2 ~\Re~{\alpha}$wohingegen $\langle p \rangle = i~\alpha^* - i ~ \alpha = 2 ~\Im~\alpha,$Die Positions- und Impulsebene ist also im Grunde nur die komplexe Ebene $\mathbb C$Das $\alpha$lebt weiter.

Nun hat dieser Hamiltonoperator natürlich eine Eigenbasis$\hat a^\dagger \hat a ~ |n\rangle = n ~|n\rangle$und in Bezug auf diese Basis sehen wir eine Wiederholung, dass wenn$|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle$dann können wir das klären$\alpha |\alpha\rangle = \hat a |\alpha\rangle$impliziert

$$c_n \sqrt{n} = \alpha c_{n-1},\text { so } c_n = c_0 \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}.$$ Dann trainieren $1 = \langle \alpha|\alpha\rangle = c_0\sum_n \big(|\alpha|^2\big)^n/n! = c_0 \exp\big(|\alpha|^2\big)$gibt die Normalisierungskonstante an $c_0.$

Beachten Sie jedoch, dass unter diesem Hamilton-Operator$|n\rangle \mapsto e^{-in\omega t} |n\rangle$und deshalb,

$$|\alpha\rangle \mapsto \exp\left(-|\alpha|^2\right) \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} ~ e^{-i~\omega t~n} |n\rangle,$$ die wir auf der rechten Seite sehen kombiniert nach normalen Exponentenregeln zu bilden $(\alpha e^{-i\omega t})^n.$Mit anderen Worten, die Zeitentwicklung ist das $|\alpha(t)\rangle = |\alpha_0 e^{-i\omega t}\rangle,$und unser kohärenter Zustand bildet einfach einen Kreis auf der komplexen Ebene, während er sich entwickelt.

Genau in diesem Sinne verstehe ich das Wort „kohärent“, es ist die Bedeutung „es bleibt auf seiner Reise perfekt zusammen“. Genauso würde ich sagen: „Laser sind ein kohärentes Phänomen; Licht will sich von Natur aus in a ausbreiten$1/r^2$Gesetz, aber in einem Laser sind die verschiedenen Wellenpakete alle mit genau den richtigen Phasenunterschieden angeordnet, so dass sie die Wellen, die versuchen, aus dem eigentlichen Strahl herauszukommen, destruktiv interferieren und an der nächsten Position des Strahls konstruktiv interferieren.

Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators sind quantenmechanische Zustände, die eine bestimmte Phase und eine minimale Unsicherheit haben. Die quantenmechanischen Zustände des harmonischen Oszillators haben keine bestimmte Phase (d. h. ein Photon, das mit einem anderen Photon in Phase ist, ist in der Quantenmechanik nicht gültig), daher brauchen wir einen quantenmechanischen Zustand, um ein kohärentes Laserlicht zu modellieren (was an viele Licht gedacht ist). Quellen in Phase zueinander).

Der kohärente Zustand des harmonischen Oszillators kann durch einen Verschiebungsoperator erhalten werden, der auf den Vakuumzustand einwirkt

$$D|0\rangle=|\alpha\rangle$$ Wo $$D=e^{(\alpha{a}^{\dagger}-\alpha^*a)}$$ Der kohärente Zustand ist definiert als $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-|\alpha|^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle$$ Wo $\alpha=|\alpha|e^{i\theta}$ist eine komplexe Zahl mit ' $\theta$' die Phase des kohärenten Zustands.

Der kohärente Zustand gehorcht der Unsicherheitsbeziehung,

$$\Delta{x}\Delta{y}=\frac{\hbar}{2}$$

Der Grundzustand von HO hat keine bestimmte Phase, daher ist die Gaußsche im Phasenraum am Ursprung zentriert. Aber der kohärente Zustand hat eine bestimmte Phase, so dass die Gaußsche nicht unbedingt am Ursprung zentriert ist.

Im Kontext der Quantenoptik '$x$' Und '$y$' hängen mit elektrischen und magnetischen Feldern zusammen. Die Idee des kohärenten Zustands wird in der Quantenoptik ausgiebig verwendet.

Meiner Meinung nach ist die intuitivste Art, die Bedeutung des kohärenten Zustands des harmonischen Oszillators zu erklären, die folgende:

Ein Harmonic Oscillator Coherent State (AOCS) ist eine Lösung der zeitabhängigen Schodinger-Gleichung für den harmonischen Quantenoszillator. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung$|\psi|^2(x,t)$entwickelt sich mit der Zeit, dh es ist kein stationärer Zustand. Erinnern Sie sich an den Grundzustand eines harmonischen Oszillators?! Die Berühmten$|0\rangle$Zustand entspricht einer Gaußschen Wahrscheinlichkeitsdichte, zentriert im Ursprung. Das Besondere an diesem Zustand ist, dass die Unsicherheit über die Position,$\Delta x$und die Ungewissheit über das Momentum$\Delta p$Minimieren Sie die Heisembergsche Unschärferelation. Eigenzustand$|0\rangle$ist ein stationärer Zustand und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte$|\psi|^2(x)$hängt nicht von der Zeit ab.

Nun, ein kohärenter Zustand eines harmonischen Oszillators kann als "oszillierend" visualisiert werden.$|0\rangle$Zustand. Mit anderen Worten, ein AOCS ist eine Gaußsche Wellenfunktion, die um die Position hin und her oszilliert$x=0$. Aber zu jedem Zeitpunkt ist die Form des Gaußschen immer gleich (und minimiert das Unschärfeprinzip). Also, einige Mengen wie$\langle x \rangle$(was der Spitze der Gaußschen Wellenfunktion entspricht),$\langle p \rangle$, (die der Geschwindigkeit der Gaußschen Spitze zugeordnet werden können) haben eine sinusförmige Zeitentwicklung. Deshalb werden sie oft als halbklassische Quantenzustände bezeichnet! Mit anderen Worten: wenn die Amplitude schwingt$\gg$ $\Delta x$erhält man wieder die klassischen Bewegungsgleichungen für ein punktförmiges massives Teilchen, das einer elastischen Kraft ausgesetzt ist.

Natürlich gibt es viele mögliche kohärente Zustände. Genauer gesagt bilden kohärente Zustände eine zweidimensionale planare Mannigfaltigkeit. Das bedeutet, dass Sie zum Aufbau eines AOCS 2 Freiheitsgrade haben: Amplitude und Phase der Schwingung des Gaußschen Wellenpakets.

Sie sind kohärent in dem Sinne, dass die Phase der verschiedenen chromatischen Komponenten so angeordnet ist, dass sie dieses oszillierende Verhalten reproduzieren.