Was versteht man unter dem Begriff „Vollständigkeitsbeziehung“

Aus meiner bescheidenen (Physiker-)Mathematikausbildung habe ich eine vage Vorstellung davon, was ein Hilbert-Raum mathematisch eigentlich ist, dh ein innerer Produktraum, der vollständig ist , wobei Vollständigkeit in diesem Sinne heuristisch bedeutet, dass alle möglichen Folgen von Elementen innerhalb dieses Raums a haben gut definierte Grenze, die selbst ein Element dieses Raums ist (ich denke, das ist richtig?!). Dies ist eine nützliche Eigenschaft, da sie es einem ermöglicht, in diesem Raum zu rechnen.

Nun, in der Quantenmechanik spielen Hilbert-Räume insofern eine wichtige Rolle, als sie die Räume sind, in denen die (reinen) Zustände quantenmechanischer Systeme „leben“. Gegeben einen Satz von orthonormalen Basisvektoren, { | ϕ n ⟩ } für einen solchen Hilbert-Raum kann man einen gegebenen Zustandsvektor ausdrücken, | ψ ⟩ als Linearkombination dieser Basiszustände,

| ψ ⟩ = ∑ n c n | ϕ n ⟩
da die Basiszustände orthonormal sind, dh ⟨ ϕ n | ϕ m ⟩ = δ n m wir glauben, dass c n = ⟨ ϕ n | ψ ⟩ , und daher
| ψ ⟩ = ∑ n c n | ϕ n ⟩ = ∑ n ⟨ ϕ n | ψ ⟩ | ϕ n ⟩ = ( ∑ n | ϕ n ⟩ ⟨ ϕ n | ) | ψ ⟩
was das impliziert
∑ n | ϕ n ⟩ ⟨ ϕ n | = 1
Dies wird als Vollständigkeitsbeziehung bezeichnet , aber ich bin mir nicht sicher, worauf sich das bezieht? Ich habe auch gelesen, dass die Basis vollständig sein muss. Bezieht sich dies auf den Begriff der Vollständigkeit, der mit den Grenzen von Sequenzen verbunden ist, oder gibt es etwas anderes, das ich vermisse?

Antworten (3)

Ein Hilbertraum H vollständig ist , was bedeutet, dass jede Cauchy-Folge von Vektoren eine Grenze im Raum selbst zulässt.

Unter dieser Hypothese gibt es Hilbert-Basen, die auch als vollständige orthonormale Systeme von Vektoren bekannt sind H . Eine Reihe von Vektoren { ψ ich } ich ∈ ich ⊂ H heißt Orthonormalsystem, wenn ⟨ ψ ich | ψ j ⟩ = δ ich j . Es wird auch als vollständig bezeichnet, wenn eine bestimmte Menge äquivalenter Bedingungen erfüllt ist. Einer von ihnen ist

(1) ⟨ ψ | ϕ ⟩ = ∑ ich ∈ ich ⟨ ψ | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | ϕ ⟩ ∀ ψ , ϕ ∈ H .
(Diese Summe ist absolut konvergent und muss interpretiert werden, wenn ich ist nicht zählbar, aber auf diese Details gehe ich hier nicht ein.) Da ψ , ϕ sind willkürlich, (1) wird oft geschrieben
(2) ich = ∑ ich ∈ ich | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | .

Hat die Vollständigkeitsrelation etwas mit der Spannweite der Basisvektormenge zu tun? Oder muss einfach die Cauchy-Folge der Basisvektoren die Identität ergeben? Ich muss zugeben, ich bin mir immer noch nicht sicher, was mit dieser Bedingung gemeint ist? Ist das die Cauchy-Folge? ∑ n ⟨ ϕ n | ψ ⟩ | ϕ n ⟩ muss eine Summe konvergieren, die gleich dem Zustandsvektor ist | ψ ⟩ ?
Die Bedingung (1) ist tatsächlich äquivalent zu ψ = ∑ ich ∈ ich ⟨ ψ ich | ψ ⟩ ψ ich für alle ψ ∈ H . In dieser Situation besteht die relevante Cauchy-Folge aus allen Vektoren Ψ N := ∑ | ich | < N ⟨ ψ ich | ψ ⟩ ψ ich . Ja, die Vollständigkeitsrelation ist also äquivalent zu der Tatsache, dass die Basis den gesamten Raum überspannt, wenn alle unendlichen Folgen in der Hilbert-Raum-Topologie betrachtet werden.
Ah okay. Ich denke, ich finde es verwirrend, als ich dachte, dass per Definition ein Satz von Basisvektoren den Vektorraum überspannt?!
@ user35305 Hier spielen verschiedene Definitionen von "Basis" und "Spanne" eine Rolle. Diejenige, von der Sie vielleicht zuerst in einem Linearalgebra-Kurs gehört haben, ist eine "Hamel-Basis", bei der nur endliche Summen erlaubt sind. In diesem Zusammenhang haben wir es mit einer Schauder/Hilbert-Basis zu tun, bei der unendliche Summen erlaubt sind.
@MarkS. Wie unterscheiden sie sich in diesem Fall? Ist eine Schauder/Hilbert-Basis dann nicht unbedingt vollständig, dh sie überspannt nicht den gesamten Vektorraum?
@ user35305 Eine Schauder/Hilbert-Basis "überspannt" nicht in dem Sinne, dass nicht jeder Vektor eine endliche lineare Kombination von Dingen in der Basis ist. Es "überspannt" in dem Sinne, dass jeder Vektor eine Grenze endlicher linearer Kombinationen ist (eine "unendliche lineare Kombination").
@MarkS. Ist dies also mit der Vollständigkeitsrelation gemeint?
@ user35305 Die Vollständigkeitsbeziehung ist vermutlich das, was Valter Moretti gesagt hat. Intuitiv ist es eine Beziehung, die besagt: "Dieses orthonormale System haben Sie? Es ist tatsächlich eine Schauder/Hilbert-Basis. Sie müssen nicht mehr alles als unendliche lineare Kombination von Dingen im System schreiben."

Diese Vollständigkeitsrelation der Basis bedeutet, dass man alle möglichen Richtungen im Hilbertraum erreichen kann. Es bedeutet, dass jeder | ψ ⟩ können aus diesen Basisvektoren zusammengesetzt werden.

Wenn die Summe der Projektoren (der Ket-Bras) nicht die Einheitsmatrix wäre, wäre der Vektor | ψ ⟩ könnte Komponenten enthalten, die in Ihrer Basis nicht darstellbar sind.

Nehmen Sie ein dreidimensionales Beispiel. Nehmen Sie die drei kanonischen Basisvektoren als Ihre | ϕ n ⟩ , wie | ϕ 1 ⟩ = ( 1 , 0 , 0 ) T und so weiter, können Sie die Vollständigkeitsrelation sehen. Wenn einer von ihnen fehlt, würde Ihre Basis nicht das Ganze überspannen R 3 Platz.

Ich habe irgendwie den Beispielfall, den Sie zuvor gegeben haben, aber ich war mir nicht sicher, warum eine Basis vollständig ist, wenn ihre Außenproduktsummen zur Identitätsmatrix sind? Ich meine, überspannt eine Basis nicht per Definition den gesamten Vektorraum?!
Eine Menge von Vektoren muss die Vollständigkeitsrelation erfüllen, um Basis zu sein.
Ah ok, das ist also der Punkt, dass man zuerst einen Satz von Vektoren betrachtet, einen beliebigen Vektor in Bezug auf diesen Satz ausdrückt und dann feststellt, dass dieser Satz von Vektoren ein Basissatz ist und (in diesem Sinne) vollständig, müssen sie unbedingt die Vollständigkeitsrelation erfüllen?! Hat das etwas mit Cauchy-Folgen und dem Gefühl der Vollständigkeit zu tun, das einen Hilbert-Raum definiert?
Zu Ihrer ersten Frage denke ich, dass die Vollständigkeitsrelation der Forderung entspricht, dass eine Basis den gesamten Raum überspannt. Die Eigenschaft bei den Cauchy-Folgen ist wohl eher etwas bezüglich des zugrunde liegenden Feldes ( C ); Ich bin nicht sehr überzeugt von diesem Teil.

Dies ist nur ein mathematischer Trick, um einen Vektor in Komponenten des Raums zu zerlegen. betrachten wie ich , j , k des kartesischen Raums ∑ c = ich , j , k | c ⟩ ⟨ c | . Ein Vektor kann im kartesischen Raum zerlegt werden.

ψ = ∑ c = ich , j , k | c ⟩ ⟨ c | ψ
, wann wir uns bewerben | ich ⟩ ⟨ ich | an ψ . dh | ich ⟩ ⟨ ich | ψ ⟩ , das ⟨ ich | ψ ⟩ gibt uns den Wert des Vektors „ a ” und | ich ⟩ gibt Richtung. Dies ist nur für eine Komponente. ähnlich für j und k , Also ψ = a ich + b j + c k . Aber für ein unendlich dimensionales Problem brauchen wir einen unendlich dimensionalen Raum, dh den Hilbert-Raum. es wird unendlich viele Komponenten geben, ich , j , k , l , m , n , Ö … … . .

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