"Vollständige" Verwirrung

Das Wort "vollständig" scheint auf verschiedene Weise verwendet zu werden. Vielleicht ist meine Verwirrung sowohl sprachlicher als auch mathematischer Natur?

  1. Eine Basis überspannt per Definition den Raum; einige Bücher nennen dies "vollständig" - obwohl dann der Ausdruck "vollständige Basis" überflüssig ist.

  2. In der Physik/Ingenieurwissenschaften scheint „vollständig“ für orthogonale/orthonormale Basen reserviert zu sein – was notwendigerweise nicht nur einen Vektorraum, sondern insbesondere einen inneren Produktraum bedeutet. Eine vollständige Basis in diesem QM-Sinne überspannt nicht nur den Raum: Das Konzept der Orthogonalität ermöglicht Parsevals Beziehung, nicht überlappende Projektionen, Gram-Schmidt usw. Ist es überhaupt möglich, eine vollständige Basis (in diesem QM-Sinne) zu haben? das ist NICHT orthogonal?

  3. Obwohl vollständig im Sinne des Hilbert-Raums und Cauchy-Folgen eine andere Verwendung des Begriffs zu sein scheinen, scheint die Konvergenz von Folgen innerhalb des Raums konzeptionell nicht so weit von Parseval entfernt zu sein. Also ist es wirklich so anders?

Ja, es gibt nicht äquivalente Verwendungen des Wortes „vollständig“. Damit müssen wir leben.
2.) stimmt meiner Meinung nach nicht. Wir verwenden „vollständig“ in genau demselben Sinne wie Mathematiker. Eines der ersten Dinge, die sie uns in meinem ersten Mathematikunterricht für Physiker beigebracht haben, war tatsächlich die Gram-Schmidt-Diagonalisierung. Es kann nicht anders sein, da viele physikalische Probleme keine orthogonalen/orthonormalen Basen enthalten und in vielen Systemen (Kristallgittern) nicht einmal eine gute natürliche Wahl wären. Außerdem ist mir als Physiker immer wieder bewusst, dass die Existenz innerer Produkte und im Falle von Hilberträumen Vollständigkeit für unendliche Reihen von Elementen eine besondere Eigenschaft sind.
Ja, innere Produkte sind in der Physik reichlich vorhanden. Dies ist jedoch eine zusätzliche Struktur, die für Vektorräume oder ihre Basen nicht erforderlich ist.
Lassen Sie es mich so sagen: Was ist die Vollständigkeitsrelation für eine nicht-orthogonale Basis?

Antworten (3)

Wie bereits erwähnt, verwenden viele Leute „vollständig“, wo sie vielleicht „vollständig und orthogonal und orthonormal“ oder ähnliches sagen sollten. Ich bin mir nicht sicher, was ich Ihnen sagen kann, außer zu bestätigen, dass die Verwendung nicht immer ideal ist. Ich werde eine Frage beantworten, die Sie aufgeworfen haben, aber ich mache mir Sorgen, dass ich mich selbst verwirrt habe, was für eine Art "vollständig" Sie meinten:

Ist es überhaupt möglich, eine vollständige Basis (in diesem QM-Sinne) zu haben, die NICHT orthogonal ist?

Ja! Betrachten wir zum Beispiel die kohärenten Zustände . Sie sind nicht orthogonal, da ⟨ a | β ⟩ ist nicht null für a ≠ β . Aber sie sind vollständig – tatsächlich „übervollständig“.

Mit vollständig im „QM-Sinne“ meine ich, dass Summe/Integral über Ket-Bra Einheit ist.
Ah. Das Integral über alle zusammenhängenden Zustände ist π ICH . Ich werde dann über Ihre eigentliche Frage nachdenken, vielleicht komme ich auf einen seltsamen degenerierten Fall (oder einen Gegenbeweis).
Könnten Sie nicht einfach einen Faktor von 1/sqrt(pi) zu einem der Zustände hinzufügen? die Zustände wären dann vollständig und immer noch nicht orthogonal?
Sie wären vollständig – aber dann wären sie weder orthogonal noch normalisiert!
Eine übervollständige Menge ist eine aufspannende Menge. Aber es scheint mir immer noch, dass (über)vollständig im QM-Sinne einen inneren Produktraum benötigt
@gilonik Das Wort vollständig erfordert eine Metrik (also würde ein inneres Produkt ausreichen). Wenn Sie sagen, dass etwas übervollständig ist, meinen Sie, dass Sie Dinge daraus entfernen können und es immer noch vollständig ist. Dasselbe passiert mit Spanning-Sets, Sie möchten vielleicht mehr Vektoren hinzufügen, um einen Frame zu erhalten, der sich überspannt, und dann einige, vielleicht für Redundanz. Manchmal magst du Redundanz, manchmal magst du einzigartige lineare Kombinationen, manchmal magst du einzigartige endliche lineare Kombinationen. Richten Sie Ihr System so ein, dass es Ihnen das gibt, was Sie wollen. Ich versuche, Sie auf die Optionen aufmerksam zu machen, ohne über Terminologie zu streiten.
Ich entschuldige mich, wenn ich kämpferisch geklungen habe – ich versuche, die Terminologie zu verstehen, nicht darum zu streiten! Aber ich denke, Sie (und Yuugib) haben den Hauptunterschied getroffen: Vollständigkeit ist ein metrisches Raumkonzept und daher nicht so "primitiv" wie eine Basis oder ein Spannsatz.

Sie müssen mit dem Wort Spanne vorsichtig sein. Ein Mathematiker wird sagen, dass die Spannweite einer Menge von Vektoren die Menge der endlichen Linearkombinationen ist, sodass Sie nur endlich viele Linearkombinationen auf einmal hinzufügen können, um etwas in der Spannweite zu erhalten. Es gibt also Mengen, die zueinander orthogonal und alle normalisiert sind, aber nicht genug, um den Raum mit endlichen Linearkombinationen zu überspannen. Aber wir nennen sie vollständig, wenn die Spannweite groß genug ist, so dass ihre Vollendung (durch Füllen irgendwelcher Löcher) der gesamte Raum ist. In gewissem Sinne nennen wir also einen orthonormalen Satz von Vektoren vollständig, wenn die unendlichen Linearkombinationen den gesamten Raum ausmachen.

Aber für unendliche Linearkombinationen brauchen wir eine Metrik, wie die aus einem Skalarprodukt. Der ganze Begriff macht also in einem beliebigen Vektorraum keinen Sinn, kann aber in einem Hilbert-Raum Sinn machen. In einem Hilbert-Raum gibt es nicht nur ein inneres Produkt (und damit eine Metrik), so dass wir über den Grenzwert sprechen können, sondern Cauchy-Folgen haben Dinge, zu denen sie konvergieren können, also gibt es etwas, das der Grenzwert Ihrer Summe sein kann.

Wenn Sie also vollständig für eine orthonormale Basis sagen, sprechen Sie von unendlichen Summen. Und zu sagen, dass die Sonne, wenn die Projektionen die Identität sind, ist normalerweise, wie Sie es ausdrücken, aber das erfordert Grenzen von Operatoren, nicht nur Vektoren, also müssen Sie technisch gesehen eine Metrik auf Ihren Operatorraum setzen, wenn Sie es so charakterisieren wollen , also hängt die Vollständigkeit einer orthonormalen Basis jetzt davon ab, wie Sie Abstände definieren und Grenzen von Operatoren nehmen. Aber Sie müssen das definieren, wenn Sie über die Exponentialfunktion eines Operators sprechen wollen.

Und solange wir Vollständigkeit und Operatoren angesprochen haben. Ich sollte Sie warnen, dass ein Mathematiker, wenn er Zustand sagt, wie im Quantenzustand, einen Operator wie einen Dichteoperator meinen könnte.

Dies ist nun eine Frage der Terminologie, aber das Wort vollständig ist normalerweise als Definitionssache orthonormalen Vektoren vorbehalten. Und als Definition hat es nichts Tiefes.

Wenn Sie immer denken, dass vollständig genug ist, dann ist alles in Ordnung. Wenn Sie einen Satz orthonormaler Vektoren haben, der so groß ist, dass Sie keinen weiteren orthonormalen Vektor hinzufügen können, ist er vollständig. Wenn Sie so viele Lücken gefüllt haben, dass jede Cauchy-Folge jetzt etwas hat, zu dem sie zusammenlaufen kann, dann ist Ihr Raum vollständig.

Aber dieser vollständige Satz orthonormaler Vektoren ist nicht so groß, wie er sein könnte, wenn Sie aufgeben, orthonormal zu sein. Als Menge linear unabhängiger Vektoren gibt es potenziell mehr Vektoren, die der Menge hinzugefügt werden könnten, die nicht als endliche Linearkombinationen der bereits vorhandenen Vektoren geschrieben werden können. Sie reichen also nicht im algebraischen Sinne aus, sondern nur im metrischen Sinne. Und das ist der moralische Grund, warum Sie auf Orthogonalität bestehen. Erst als Sie auf Orthogonalität bestanden, hatten Sie das Gefühl, dass Sie nicht mehr hinzufügen konnten.

Oh, und eine Basis soll sich gerade so überspannen, also nicht zu viele haben. Die kohärenten Zustände aus einer anderen Antwort sind übervollständig und haben zu viele Vektoren.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dir folge. Wollen Sie zB sagen, dass eine Spin-j-Basis aufspannt, aber nicht vollständig ist? Das mag eine gute mathematische Terminologie sein, aber die Unterscheidung ist nicht konsequent genug, um im QM gemacht zu werden.
@gilonik Ich bin mir nicht sicher, ob ich dir folge. In einem endlichdimensionalen Raum müssen Sie sich keine Sorgen um Vollständigkeit machen, da Ihr innerer Produktraum bereits vollständig ist und Ihre orthonormale Basis bereits vollständig ist. Ein endlichdimensionaler innerer Produktraum ist immer ein Hilbert-Raum, aber ein unendlichdimensionaler ip-Raum ist dies möglicherweise nicht, und daher müssen Sie die Vollständigkeit hervorheben. Ich sage, dass Spannweite endliche lineare Kombination bedeutet, und daher ist Ihre Nr. 1 technisch nicht wahr: Eine vollständige Basis ist technisch möglicherweise keine Basis, da sie den Raum technisch möglicherweise nicht überspannt. Es ist eine verwirrende Terminologie

Vollständigkeit in der Mathematik ist im Wesentlichen ein metrisches Konzept (das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge im metrischen Raum gegen ein Element des Raums konvergiert).

Manchmal (aber ich denke eher aus physikalischer Sicht, und ich stimme zu, dass es eine Art Wiederholung und nicht so häufig ist) wird es verwendet, um Basen in Vektorräumen zu charakterisieren, in dem Sinne, dass eine Basis vollständig ist, wenn ihre lineare Spanne der gesamte Vektor ist Raum. Das Auswahlaxiom impliziert, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.

Die orthonormale Basis auf einem Hilbert-Raum ist eigentlich anders: Der Raum hat eine solche zusätzliche Struktur, dass wir es uns leisten können, unendliche lineare Kombinationen von Vektoren zu machen, vorausgesetzt, sie konvergieren in der Norm. Es sei jedoch gewarnt, dass eine (vollständige) Basis orthogonaler Vektoren in einem Vektorraum mit innerem Produkt liegt v (im Sinne endlicher Linearkombinationen) ist es im Allgemeinen keine (vollständige) Basis des metrischen (Hilbert-) Raums, der als Vervollständigung von erhalten wird v in Bezug auf die durch das Skalarprodukt induzierte Metrik. Es kann jedoch vorkommen, dass es sich um eine Basis im Sinne des Hilbertraums handelt, dh wenn unendlich viele Linearkombinationen erlaubt sind.

Abgesehen davon und der mathematischen Logik, die wahrscheinlich ziemlich weit von dem entfernt ist, was hier beabsichtigt ist, fallen mir keine anderen Instanzen des Wortes vollständig in der Mathematik ein (aber vielleicht habe ich etwas vergessen).

Da "vollständig" jedoch in einem Fall mit einem (metrischen) Raum und im anderen mit Basen in Vektorräumen verbunden ist (möglicherweise mit zusätzlicher Sorgfalt, um anzugeben, ob wir endliche oder unendliche Kombinationen zulassen), halte ich es für relativ einfach zu vermeiden Verwirrtheit.

Vollständig zu sagen bedeutet, dass die Spannweite der Raum falsch ist, eine Basis bereits überspannt, und wenn wir vollständige Basis sagen, überspannt sie technisch gesehen nicht. Eine Basis ist entweder eine minimale aufspannende Menge oder eine maximale linear unabhängige Menge. Es überspannt immer das Set. Wenn wir jedoch etwas eine orthogonale Basis nennen, meinen wir nicht eine zufällig orthogonale Basis, sondern eine maximale orthogonale, linear unabhängige Menge, die dann überhaupt keine aufspannende Menge sein kann und stattdessen etwas Dichtes aufspannt, etwas aufspannt dessen Vollendung der Raum ist. Wir meinen also, die Vollendung der Spannweite ist der Raum.
@Timaeus Jeder Vektorraum hat eine Basis (es ist ein bewiesener Satz), die per Definition den Raum überspannt. Diese Grundlage ist "vollständig" (ich sagte, es war keine so gute und überflüssige Terminologie). Und bei gegebenem Vektorraum Vv mit innerer Produktstruktur, selbst wenn es eine orthogonale Basis gibt (kann vorhanden sein oder nicht), die den gesamten Raum überspannt (sicherlich gibt es zumindest eine Basis, die den gesamten Raum überspannt und möglicherweise paarweise orthogonale Vektoren enthält), dann wäre dies der Fall im Allgemeinen keine Basis des metrischen Raums, der als Vervollständigung des Skalarprodukt-Vektorraums erhalten wird. Ich bleibe dabei, dass es richtig ist
Ich stimme jedoch zu, dass das Konzept orthogonaler Basen in Hilbert-Räumen anders ist, da es unendliche Linearkombinationen zulässt, vorausgesetzt, sie konvergieren in der Norm. Das ist aber eine andere Basisdefinition, die bei Hilbert- und Banachräumen (Schauder-Basis) üblich ist. Ich stimme auch zu, dass vollständig in diesem Sinne keine so gute Terminologie ist, jedoch völlig unabhängig von der, die sich auf vollständige metrische Räume bezieht.
@Timaeus Als Ergänzung bemerke ich, dass eine Basis auf dem Vektorraumsinn (endliche Kombinationen) eines trennbaren Hilbert-Raums zwar existiert, aber möglicherweise (und wahrscheinlich) unzählbar ist. Dagegen ist die Basis im Schauder-Sinne, also mit unendlichen Linearkombinationen, abzählbar.
Sie sagen, es ist ein Theorem, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, aber es ist kein Theorem in irgendeiner nützlichen Definition des Wortes. Es ist eine unbegründete Annahme. ZF plus C und bestimmte Ableitungsmethoden ergeben als Theorem "jeder Vektorraum hat eine Basis", aber andererseits ergibt ZF plus "jeder Vektorraum hat eine Basis" und die exakt gleichen Ableitungsmethoden C als Theorem. Das sogenannte Theorem ist also äquivalent zu einem Axiom, das keine Grundlage hat. Ich denke, dass Hamel-Basen aus genau diesem Grund nichts mit Physik zu tun haben.
Was Ihre Behauptung betrifft, dass Schauder-Basen nicht verwandte metrische Vollständigkeit sind, liegen Sie definitiv falsch in dem einzigen Fall, der von Bedeutung ist, dem eindeutig trennbaren Hilbert-Raum, bei dem der metrische Abschluss der Spannweite einer maximalen orthogonalen Menge tatsächlich der gesamte Hilbert-Raum ist. In endlichdimensionalen Vektorräumen brauchen Sie das Wort vollständig nicht und es gibt nur einen trennbaren Hilbert-Raum, und wie können Sie einen nicht trennbaren Hilbert-Raum verwenden, um Wissenschaft zu betreiben?
@Timaeus Ein Theorem ist eine wahre Aussage in einer logischen Theorie mit Inferenzregeln, Axiomen und Schemata. Und so ist in ZFC "jeder Vektorraum hat eine Basis" ein Theorem (in der einzigen mathematischen Definition des Wortes). Es ist wahr, dass das vollständige Auswahlaxiom und "jeder Vektor hat eine Basis" äquivalent sind, aber es ist keine große Sache, wir verwenden viele Sätze, die Neuformulierungen des Wahlaxioms in der Physik sind. Außerdem kann man mit schwächeren Wahlformen immer noch beweisen, dass viele Vektorräume Basen haben.
@Timaeus Und ich habe nicht gesagt, dass Schauder-Basen nichts mit der Vollständigkeit des Raums zu tun haben, ich habe nur gesagt, dass der Begriff der "vollständigen Basis", der als Basis gedacht ist, die einen Raum entweder "endlich überspannt" oder "unendlich überspannt", nichts damit zu tun hat der Begriff der Vollständigkeit eines metrischen Raums. Und schließlich nicht trennbare Räume, die in der Physik wichtig sind: Ein Beispiel für einen relevanten nicht trennbaren Banach-Raum ist die Algebra von Operatoren, die die kanonischen Kommutierungsbeziehungen erfüllen. Darüber hinaus gibt es einige Vermutungen, dass nicht-separable Hilbert-Räume in der QFT interessant sein könnten (aber sicherlich nur Hypothesen).
Eine sinnvolle Logiktheorie wird immer als widerspruchsfrei vorausgesetzt. Und Sie sollten wirklich ein gutes Grundlagenbuch über die Grundlagen der Mathematik nehmen und sich ansehen, wie ein Theorem definiert ist (ich schlage Ihnen das Mengenlehre-Buch von Bourbaki vor).
Aus Ihrer Sicht sind Zorns Lemma, Zermelo-Ordnungssatz, Hahn-Banach-Satz (es entspricht einer etwas schwächeren Form der Wahl), das Ultrafilter-Lemma ... (ich kann weiter und weiter gehen) keine Sätze , aber unehrliche Aussagen.
Nein, ein Theorem ist keine wahre Aussage in einem Axiomensystem, zum Beispiel könnte Ihr Axiomensystem inkonsistent sein (und ZFC könnte tatsächlich inkonsistent sein). In diesem Fall sind alle Aussagen in der Sprache inkonsistent, wenn Sie die (derzeit) beliebteste deduktive Methode verwenden Satz. A und nota sind nicht beide wahr. Ein Theorem ist eigentlich nur eine Aussage, die durch eine bestimmte Methode generiert wird. In Ihrem Fall haben Sie auf völlig unehrliche Weise versucht zu sagen, dass etwas ein Theorem ist, weil Sie wussten, dass ZF + C äquivalent zu ZF + EVSHAB ist, und wahrscheinlich wissen, dass die Konsistenz Ihres Systems unbekannt ist.
Dinge anzunehmen und es ein Theorem zu nennen, nur um es so aussehen zu lassen, als hätten Sie es nicht einfach angenommen, ist völlig unehrlich.
Unter der Annahme, dass Ihr Axiomensystem konsistent ist, wenn es Ihnen hilft, Dinge zu tun, indem Sie so tun, als ob Sie so tun oder glauben, als ob Sie ehrlich sind und gleichzeitig Theoreme aufstellen, ist dies nicht Ihr Stil, dann respektiere ich Ihre persönliche Entscheidung. Aber jemandem zu sagen, dass etwas so sein muss, weil man davon ausgegangen ist, ist eine ganz andere Sache. Und dann so zu tun, als hättest du das nicht getan. Das ist ein Schritt zu weit. Sie wissen nicht, ob jeder Vektorraum eine Basis hat. Sie persönlich gehen davon gerne aus und wollten dann behaupten, dass Ihr Weg der einzige Weg sei. Das ist unehrlich, du kannst es besser machen
@Timaeus Die Konsistenz keiner Theorie kann innerhalb der Theorie selbst bewiesen werden (Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz). Jedenfalls kann man die Konsistenz einer Theorie "außerhalb" der Theorie beweisen, wie es Gentzen mit der Arithmetik tat. Es gibt auch eine Methode namens Forcen, um ausgehend von Modellen neue konsistente Theorien zu konstruieren und die Unabhängigkeit von Axiomen zu beweisen. Wie gesagt, ein Theorem ist ein perfekt definiertes mathematisches Objekt und passt sehr gut zur Logik.
Wenn Sie Mathematik außerhalb von ZFC sehr gut machen wollen, tun Sie es. Aber denken Sie daran, dass Sie anhand der Axiome, die Sie möglicherweise annehmen möchten, alles von Grund auf beweisen müssen (und dass Sie innerhalb der Theorie nicht beweisen können , dass sie konsistent ist, wenn sie Arithmetik enthält). Sie verwenden das Axiom der Wahl oft, das kann ich Ihnen versichern. Ich persönlich bin mir sehr wohl bewusst, was ich tue, wenn ich sage, dass etwas ein Theorem ist, und was es bedeutet, dass es eine wahre Aussage in einer präzisen Logiktheorie ist.
Es ist Ihnen wahrscheinlich egal, weil Sie keine strenge Mathematik betreiben. Aber so anmaßend zu sagen, dass diejenigen, die Mathematik betreiben, nur betrügen, weil sie Axiomensysteme verwenden und deren Konsistenz voraussetzen, das ist unehrlich.
Systeme können ihre eigene Konsistenz nicht innerhalb des Systems beweisen, wenn sie auch bestimmte andere Eigenschaften haben, wie z. B. genügend große Teile eines populären arithmetischen Systems zu enthalten. Ja, Ihre Lieblingssysteme haben diese Eigenschaften, aber wenn Sie wiederum fälschlicherweise behaupten, dass jeder die Dinge so tun muss, wie Sie es möchten, ist das ein Schritt zu weit. Dan Willard untersucht konsistente Systeme, die ihre eigene Konsistenz beweisen. Es ist nicht richtig, so zu tun, als müssten die Leute die Dinge so tun, wie Sie es gerne tun, und es untergräbt die Glaubwürdigkeit der Mathematiker, wenn sie das tun.
Wenn solche Theorien interessante und aussagekräftige Ergebnisse liefern, werde ich diese Systeme sehr gerne verwenden. Schade, dass man innerhalb dieser Theorien so wenige Ergebnisse beweisen kann. Wie auch immer, ich möchte nicht, dass jeder die Dinge so macht, wie ich es möchte, ich möchte einfach, dass, wenn jemand ein mathematisches Ergebnis liefert, dies im Wissen tut, was es bedeutet und was er tut. Und ZFC ist bei weitem das am weitesten verbreitete logische System, das von Mathematikern und Physikern verwendet wird. Daher ist es üblich zu sagen, dass etwas ein Theorem ist, das "in ZFC" weglässt (und Sie tun dies auch, wenn Ihre Antworten hier ein wahres Ergebnis liefern).
Jetzt sagen Sie mir, ich benutze das Axiom der Wahl? Ich mache physikalische Vorhersagen, was bedeutet, dass ich Wege untersuchen muss, um tatsächliche Vorhersagen durch tatsächliche Methoden zu treffen, die mit einem endlichen Arbeitsaufwand echte Ergebnisse liefern. Die Verwendung des Axioms der Wahl hilft mir nicht, tatsächlich implementierbare Algorithmen zu studieren, genauso wie die beliebteste deduktive Methode mir nicht hilft, tatsächlich implementierbare Algorithmen zu studieren. Beide können mir helfen, mit Menschen zu kommunizieren, die sie gerne verwenden. Vorzutäuschen, dass Sie Dinge tun können, die eigentlich nicht möglich sind, ist keine sehr nützliche Aktivität.
Ich habe nicht die Tatsache beanstandet, dass Sie EVSHAB gesagt haben, sondern die Art und Weise, wie Sie es gesagt haben, wo Sie es so klingen ließen, als wäre es keine Annahme, als gäbe es keine Alternativen. In der Wissenschaft müssen wir allen Alternativen gegenüber fair sein, sicher, dass einige Bereiche einen Vorteil haben könnten, weil sie auf viele Vorarbeiten aufbauen können, und das ist eine legitime Überlegung, aber in der Wissenschaft müssen wir ehrlich sein, wir können andere Theorien nicht unfair charakterisieren. Kein echter Computer enthält die gesamte Arithmetik, warum brauchen wir also Axiomensysteme, die davon ausgehen, dass Sie Dinge berechnen können, die Sie mit Ihrem tatsächlichen Computer nicht wirklich berechnen können?
Sie haben Ihre Behauptung, dass Theoreme wahr sind, wiederholt (als ob Sie dieselbe Behauptung noch einmal aufgestellt hätten). Und Sie haben dies getan, nachdem ich darauf hingewiesen hatte, dass Ihr System möglicherweise inkonsistent ist und daher durch die Verwendung Ihrer bevorzugten (aber nicht erforderlichen) deduktiven Methode sowohl SS und ¬ S¬ S als Theoreme. Vielleicht ist die Wahrheit, die Sie meinten, "Axiome A implizieren Theorem T" oder noch genauer "Axiome A und deduktive Methode K erzeugen Aussage T", die tatsächlich wahre Dinge sind und mit denselben Werkzeugen bewiesen werden können, die wir verwenden, um Wissenschaft zu betreiben, wie z B. durch endliche Berechnungen. Daran ist nichts falsch.
Und ja, Sie können sagen, dass „ist Theorem“ eine Abkürzung dafür sein könnte, aber es überschreitet die Grenze zur Unehrlichkeit, wenn Sie so tun, als ob Sie das nicht tun würden. Wenn Sie so tun, als müssten wir EVSHAB haben und können daher nicht, sagen wir, NF anstelle von ZFC verwenden. Ich sage nicht, dass Sie nicht davon ausgehen können, dass Ihr System konsistent ist, während Sie Ihrer Arbeit nachgehen. Ich sage, wenn Sie, anstatt Ihrer Konkurrenz fair gegenüberzutreten und Ihre Annahme zu akzeptieren, vorgeben, dass Ihre die einzige Option wäre, dann tun Sie sich und Ihrem Fachgebiet einen Bärendienst
Wie Sie sagten, habe ich Einwände erhoben, als ob es keine Alternative zu EVSHAB gäbe, und ich habe Einwände erhoben, weil es keine gute Wissenschaft ist und dies eine Physik-Site ist. Es ist keine gute Wissenschaft, gegenüber der Konkurrenz unfair zu sein. Wenn jemand eine Vorhersage macht und diese der Beobachtung widerspricht, müssen alle Karten auf dem Tisch liegen, die Ausrüstung, die Berechnungen, die Theorien, die Ideen, sogar die Mathematik selbst. Alles, was verwendet wurde, um die Vorhersage zu testen, muss überprüft werden. Niemand bekommt eine kostenlose Fahrt. Sicher, einige Dinge stehen an erster Stelle und andere vielleicht an letzter Stelle. Aber nichts steht über dem Gesetz.
Nun, es gibt eine ganze Metaebene, auf der Sie Ihr Axiomensystem und seine Konsistenz annehmen, was ich im Privaten respektiere. Aber es dann anders darzustellen, als ob Sie mehr Beweise zu Ihren Gunsten und weniger Beweise dagegen hätten, als wirklich vorhanden ist, das ist nicht in Ordnung. Und jetzt gehen Sie darüber hinaus und behaupten, ich sei anmaßend und sagen mir wiederholt, dass ich grundlegende Bücher lesen muss. Wenn ich Ihnen genau sage, warum ich Ihnen nicht zustimme. Das ist eigentlich zu 100% ein reiner Ad-hominum-Irrtum. Ich habe Ihnen gesagt, dass es unehrlich ist, Beweise gegen Sie zu unterdrücken.
Und wenn ich sage, dass Sie es besser können, dann meine ich das auch so. Sie sind in der Lage, keine unehrlichen Taktiken anzuwenden, weil ich weiß, dass Sie ein guter und fähiger Mensch sind. Ich sage Ihnen nicht einmal, dass alles, was Sie tun, in einem geeigneten Umfeld unproduktiv ist, unter Mathematikern, die ZF, NF, ZFC, NFU, NGB und ZF+V=L bereits kennen und mit Dan Willards Arbeit und Gödels Arbeit vertraut sind und die Äquivalente des Wahlaxioms und der klassischen Logik und der konstruktiven Logik und der synthetischen Differentialgeometrie und des Diathismus und kennen die ganze Bandbreite deduktiver Methoden (Axiome und deduktive Methoden).
Und ich auch. Aber hier, an diesem Ort der Wissenschaft, ist es nicht richtig oder ehrlich zu behaupten, Sie hätten mehr Beweise, als Sie tatsächlich haben. Ich verurteile Sie nicht für das, was Sie privat oder anderswo tun. Ich sage hier, dass Ihr Publikum hier den Unterschied zwischen "es muss so sein" und "es muss so sein" nicht erkennen kann, wenn wir all die Dinge annehmen, die wir normalerweise gerne annehmen und nicht alles sagen wollen die Zeit, weil das ärgerlich wäre, habe ich recht?" dann tun Sie etwas ganz anderes, indem Sie hier genau dieselben Worte sagen. Und es ist nicht anmaßend, Ihnen das zu sagen.
@Timaeus Look, Sie haben ein sehr verzerrtes und heftiges Verhalten gegenüber Mathematik (und insbesondere mich), das völlig ungerechtfertigt ist. Sie mögen berechnete Dinge, es ist in Ordnung, und es gibt Mathematik, um nur das zuzulassen (konstruktivistisch/endistisches Programm). Du interessierst dich überhaupt nicht für Mathe? Auch das ist in Ordnung. Aber sagen Sie nicht, dass mathematische Ergebnisse auf eine apreumptuelle Weise gelegt werden, weil es absolut falsch ist. Wenn wir Mathematik auf Physik anwenden (und dafür gibt es einen ganzen Zweig namens mathematische Physik), verwenden wir Mathematik als Werkzeug, um Vorhersagen zu treffen.
Und wenn die Vorhersage im Widerspruch zu experimentellen Tatsachen steht, bedeutet dies, dass einige der Annahmen nicht wahr sind, denn die strenge Struktur der Mathematik führt keine Fehler ein, Annäherungen wie eine numerische Berechnung. Es ist vollkommen wissenschaftlich und gibt überhaupt nicht vor, eine absolute Wahrheit zu sein, einfach eine Wahrheit innerhalb einiger Annahmen, dass, wenn es experimentell falsifiziert wird, bedeutet, dass eine oder mehrere der Annahmen falsch sind. Es steht in krassem Gegensatz zu dem, was Sie sagen.
Ich gebe Ihnen ein sehr einfaches Beispiel. In der mathematischen Physik gibt es heutzutage viel Arbeit, um die Mean-Field-Approximation rigoros zu rechtfertigen. Dies geschieht durch den mathematischen Beweis von Theoremen, die zeigen, dass zB viele nicht-relativistische Bosonen mit Paarpotential sich im Grenzfall, wenn sie viele sind, so verhalten, wie es die Hartree/Gross-Pitaevski-Gleichungen vorgeben. Es liefert auch quantitative Grenzen für den Fehler, der bei der Annäherung gemacht wird. Dies geschieht in einer Umgebung, in der ZFC aus mathematischer Sicht notwendig ist.
Wenn Sie versuchen, Berechnungen durchzuführen und berechenbare Vorhersagen zu treffen, können Sie viel, viel weniger vorhersagen als mit Mathematik (da Sie viele Annäherungen benötigen). Das mathematische Modell ist also geeigneter, direkt auf experimenteller Ebene getestet und schließlich widerlegt zu werden, als es wissenschaftlich ist, als numerische Berechnungen, weil es in gewissem Sinne "präziser" ist.
Und wenn Sie eines Tages eine experimentelle Instanz in der Natur finden, die der ZFC als grundlegender Mengentheorie widerspricht, werde ich gerne zu einer anderen Theorie übergehen, um die physikalische Realität zu modellieren. Wenn es sonst, da es sehr gut funktioniert und wirklich genaue Vorhersagen gibt, werde ich dabei bleiben, und ich denke nicht, dass dies überhaupt unehrlich ist. Nur ein effektiver Weg, um interessante Ergebnisse zu erzielen.
Was ist verzerrt? Ich weiß im Detail, wie Theoreme tatsächlich generiert werden, von den tatsächlichen Axiomen, die verwendet werden, bis zu den tatsächlichen Methoden, die verwendet werden, um Theoreme aus Axiomen zu generieren. Es ist für mich keine Verzerrung, mir bewusst zu sein, dass ein Theorem eine Aussage ist, die auf eine bestimmte Weise aus anderen Aussagen generiert wird. Aber im Gegensatz zu einem durchschnittlichen Physiker ist mir klar, dass es viele Systeme gibt, die Sie verwenden können. So wie Sie euklidische Geometrie und nicht-euklidische Geometrie verwenden können, können Sie auf ähnliche Weise ZFC oder NFU verwenden, sie sind unterschiedlich und das eine ist keine offensichtliche Wahl gegenüber dem anderen.
Ich habe die Berechnung angesprochen, um darauf hinzuweisen, dass wir als Wissenschaftler nicht über Dinge sprechen müssen, die über das hinausgehen, was wir brauchen, um überprüfbare Vorhersagen zu treffen, die mit endlichen Mitteln gemacht werden können. Wir müssen uns nicht daran festhalten. Sie haben gerade gesagt, dass etwas anmaßend ist oder dass es nicht anmaßend ist. Ich kann nicht sagen, worauf Sie sich beziehen. Wenn Sie ein potenziell inkonsistentes System mit einer Methode verwenden, die alle möglichen Aussagen aus einem inkonsistenten System generiert, sagt die Aussage „X ist ein Theorem“ nicht viel aus. Wir können abwarten, ob Sie später „ ¬“ sagen¬ X ist ein Satz "Was ist der Punkt?
Sie behaupten, dass Mathematik keine Fehler einführt, aber wenn Sie Ihre Annahmen verbergen und Ihre Annahmen in sich widersprüchlich sein können, muss jemand, der sich der von Ihnen verwendeten Annahmen nicht bewusst ist, Sie wie eine Fehlerquelle behandeln. Nur wenn Sie Ihre Annahmen zur Verfügung haben, können Sie einen Beitrag zur Wissenschaft leisten.
Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob Sie irgendetwas von dem, was ich gesagt habe, grokiert haben. Der Versuch, Strenge einzuführen, könnte beinhalten, die Konsequenzen von Annahmen rigoros zu sehen, aber dann müssen Sie Ihre Annahmen formulieren und sind durch sie eingeschränkt. Oder die Einführung von Strenge könnte eher im Stil der umgekehrten Mathematik sein, bei der Sie versuchen zu sehen, was Ihnen ein Ergebnis liefern kann, das Sie sehen möchten, was es erzeugen könnte. Aber oft wird Strenge erwähnt, als ob Mathematiker die Wahrheit kennen und von einer Autoritätsposition aus predigen wollen. Das ist in Ordnung. Wenn. Die Annahmen sind in die Tabelle eingetragen. Sonst ist es keine Wissenschaft.
Was die Überarbeitung von ZFC betrifft, wenn indirekte Beweise eine übliche Technik zur Generierung von Theoremen sind, ist es nicht klar, dass Sie eine Inkonsistenz erkennen, wenn Sie auf sie stoßen, weil Sie Axiome und ihre Konsistenz und X annehmen und dann einen Widerspruch erhalten und X beschuldigen. Wenn ja immer ein X schuld, dann kann es lange dauern, wenn der kürzeste Beweis eines Widerspruchs sehr lang ist, aber logischerweise sind alle Aussagen Theoreme, wenn es einen Widerspruch gibt. Zu sagen, es sei ein Theorem an sich, bedeutet nur, dass Sie einen Beweis haben. Beweise sind nützlich. Konstruktive Beweise erst recht (Howard-Curry).
Ich bin eigentlich immer noch überrascht, dass wir uns streiten. Ich habe Einwände gegen die Art (einschließlich Kontext) erhoben, die Sie gewählt haben, um Ihre Behauptung auszudrücken, dass EVSHAB ein Theorem war, obwohl jede Aussage ein Theorem sein könnte, wenn Ihr System und es genauso fair ist zu sagen, dass EVSHAB logisch unabhängig von den tatsächlich verwendeten Axiomen war um echte Computer zu beschreiben, die echte Berechnungen durchführen, und so haben Sie EVSHAB als Axiom hinzugefügt und so EVSHAB als Theorem erhalten, da jedes Axiom technisch gesehen ein Theorem ist (mit einem sehr kurzen Beweis).
Ich kenne die Grenzen mathematischer Theorien sehr gut und weiß, was es bedeutet, Beweise zu liefern, und was die möglichen Einschränkungen eines Axiomensystems sind. Es scheint jedoch, dass Sie nicht sehr gut verstehen, was das Problem mit dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Gödel ist. Das Problem ist nicht , dass es widersprüchliche Aussagen geben kann. Überhaupt nicht, es ist einfach so, dass Sie eine stärkere logische Theorie brauchen, um die Konsistenz einer Theorie zu beweisen. ZFC ist erwiesenermaßen eine konsistente Theorie innerhalb einer Theorie, in der ein geeigneter unzugänglicher Kardinal existiert.
Nun, ich denke, wir könnten auch immer noch argumentieren, dass, wenn Sie eine maximale orthonormale Menge in einem trennbaren Hilbert-Raum haben, die Vervollständigung der Spanne ein Hilbert-Raum ist, der isomorph zum ursprünglichen Hilbert-Raum ist.
Es ist ein Problem der Wahrheitskomplexität, dh wie viele logische "Schritte" man braucht, um die Theorie zu beweisen. Die widersprüchlichen Aussagen sind ausgeschlossen, solange Ihre Axiome unabhängig sind, dh jedes durch das andere unbeweisbar ist.
Ich bin mir des zweiten Unvollständigkeitssatzes von Gödel vollkommen bewusst, aber er ist kein "Problem" für mich, weil er mir lediglich die Kosten für das Einfügen von Strukturen mitteilt, die ich nicht immer verwenden muss. Einen unzugänglichen Kardinal zu haben, hilft nicht viel, wenn ZF inkonsequent ist und wir nicht wirklich wissen, ob es inkonsequent ist
Ich behaupte einfach, dass Sie sehr stur sind, wenn Sie nicht akzeptieren, dass mathematische Theorien sinnvoll sind und dass Axiomensysteme konstruiert werden, um interessante Ergebnisse zu erzielen, die wissenschaftlich sind. Und keine widersprüchlichen Monster, die den Mathematikern das Gefühl geben, überlegen zu sein. Und sind Sie sicher, dass Sie jede mathematische Aussage in Ihrer Antwort hier (oder in Ihrer Arbeit) mit finitistischen Methoden beweisen können? Ich glaube kaum...
Und in der Tat könnten widersprüchliche Aussagen von ZF und dem Leben generiert werden. Aber wir können konsistente Theorien aufstellen, von denen wir wissen, dass sie konsistent sind, weil wir Theorien aufstellen können, die endliche Modelle genau beschreiben.
Es ist nicht schwer, Theorien aufzustellen, die vollständig und widerspruchsfrei sind. Und es ist möglich, dass einer von ihnen unser Universum genau beschreiben kann. Yay. Und es ist eine offene Frage, ob ZF konsequent ist. Und wenn ZF inkonsistent ist, dann können weder ZF noch ZFC unser Universum beschreiben, wenn unser Universum konsistent ist (im anderen Sinne des Wortes).
Ah, wir könnten jetzt einen Ort haben, an dem wir unsere Meinungsverschiedenheiten bündeln können. Siehe ich weiß, dass ZF+C und ZF+ €¬ C sind äquikonsistent, aber das bedeutet nur "ZF impliziert (ZF und C sind unabhängig)", es bedeutet nicht "ZF und C sind unabhängig", denn wenn ZF bereits inkonsistent wäre, dann "ZF und C sind nicht unabhängig", weil dann C ist a Satz der inkonsistenten ZF. Wir wissen also nicht, ob ZF widersprüchlich ist, weil wir nicht bewiesen haben, dass alle Axiome voneinander unabhängig sind. Wir wissen nicht wirklich, ob die Axiome von ZF unabhängig voneinander sind, wenn wir es wüssten, wüssten wir, dass sie konsistent sind. Und wir nicht.
Tatsächlich beweist ZFC + IC die Konsistenz von ZFC und ZF. Die Existenz widersprüchlicher Aussagen ist also wirklich nicht besorgniserregend. Das Erzwingen ist tatsächlich eine sehr leistungsfähige Methode, um die Konsistenz eines neuen logischen Modells mit interessanten Eigenschaften zu beweisen (wie das Solovay-Modell, das ZF + DC ist und alle Sätze von Realzahlen messbar sind).
Ich habe nur dagegen protestiert, Beweise zu verbergen und Konkurrenten gegenüber unfair zu sein. Ich habe nichts gegen eine Schöpfung des menschlichen Geistes, die ehrlich ist, ich meine sicher, einige von ihnen stimmen der Beobachtung nicht zu, aber überprüfbare Theorien müssen die Möglichkeit haben, falsch zu sein, also werde ich nicht dagegen protestieren Etwas widerspricht der Beobachtung, ich bezeichne es einfach so.
Wenn ZF inkonsistent ist, impliziert ZF+AnyAxiom die Konsistenz von ZF, da ZF die Konsistenz von ZF impliziert. Wenn Sie also ZF+AnyAxiom schreiben, impliziert dies die Konsistenz von ZF, was wir wissen, ist, dass entweder ZF inkonsistent oder ZF konsistent ist. Etwas, das wir bereits wussten. Sicher, wenn ZF konsequent ist, müssen wir darauf achten, welches AnyAxiom wir dort einsetzen, da nicht irgendetwas funktioniert. Aber wenn ZF inkonsequent wäre, hätte alles funktioniert. Also etwas dort hinzustellen und ein Theorem zu bekommen, dass ZF konsistent ist, überzeugt mich nicht und überzeugt niemanden.
Nein, es schien wirklich, dass Sie die Konsistenz der Mathematik und ihre Gültigkeit als Wissenschaft beanstandeten. Und das auf eine sehr unangenehme und eigensinnige Weise, um ehrlich zu sein. Es scheint, dass Sie axiomatische Theorien mit Unvollständigkeit nicht mögen und dass Sie nicht zufrieden sind, selbst wenn Ihnen Beweise dafür vorgelegt werden, dass es Methoden gibt, um die Konsistenz dieser Theorien zu beweisen, die meiner Meinung nach der Intuition entsprechen, ein komplexes System zu beweisen Sie müssen die Methode der "zusätzlichen Komplexität" verwenden, dh aus dem System selbst heraus.
Ich habe tatsächlich selbst viele Theorien aufgestellt, die genau die Kriterien erfüllen, die Sie gerade vorgeschlagen haben. Und ja, einige von ihnen gefallen mir nicht (in dem Sinne, dass ich persönlich keinen Spaß daran habe, Theoreme darin zu beweisen), aber ich habe nichts dagegen. Ich sehe einfach keinen Beweis dafür, dass ZF eine solche Theorie ist. Ich meine, es ist axiomatisch und es ist Mathematik. Ich sehe einfach keinen Beweis für seine Konsistenz
Nein, hier liegst du grundlegend falsch. In diesen Modellen von Z F C + ist einiges zu tun _ _ZFC+ einiges _ _ _ _ _ _ _ _ Sie beweisen, dass es keine widersprüchlichen Aussagen gibt, weil Sie beweisen, dass es ein Verfahren gibt, das als Ergebnis liefert, dass jede Aussage der Theorie entweder wahr, falsch oder innerhalb der Theorie unentscheidbar ist. Wenn es nicht das ist, was du willst, dann weiß ich nicht, was es ist...
Die zusätzlichen Informationen werden beim Aufbau des Beweises verwendet, nicht in den Aussagen, die in der ursprünglichen Theorie enthalten sind.
Und ich mache ZF keinen Vorwurf, es wurde entworfen, bevor den Leuten bewusst wurde, wie schwer es ist, Beständigkeit zu zeigen. Aber das bedeutet nicht, dass ich gezwungen bin, es als konsistent zu akzeptieren, wenn es nicht dazu gedacht war, diese Tatsache (falls wahr) klar zu machen.
Bei einer Aussage haben Sie eine Beweismethode, um ihren Wahrheitswert zu erhalten. Unglücklicherweise beruht die Methode auf einer zusätzlichen Komplexität, die außerhalb des Systems liegt. aber es ist effektiv, um die Aussagen zu beweisen
und für mich ist der allerletzte Punkt die Vorhersagekraft einer Theorie. was kannst du darin beweisen? ZFC ist ziemlich mächtig; während endliche Mathematik, die keine vollständige Arithmetik enthält, nicht ... wenn Ihr ganzes Interesse darin besteht, einen Algorithmus zu erstellen, ist dies möglicherweise ausreichend, wenn es das Verhalten sehr komplexer physikalischer Systeme vorhersagt, ist dies wahrscheinlich nicht der Fall.
Ich habe oft gesagt, dass ich gegen Unehrlichkeit und unfaire Behandlung Ihrer Konkurrenz Einwände habe. Und ich glaube nicht, dass Sie beides für gute Wissenschaft halten. Wir stimmen vielleicht über eine Meinungsverschiedenheit über ZFC+S überein, die beigelegt werden kann, aber hoffentlich sind wir nicht anderer Meinung, dass Ehrlichkeit und ein fairer Umgang mit Wettbewerbern in der Wissenschaft gut sind.
offensichtlich nicht; aber ich denke nicht, dass es als Unehrlichkeit gilt, das am häufigsten verwendete mathematische Modell in der Physik als implizit zu betrachten. Ich sehe keine Leute in der Physik, die mathematische Aussagen machen, um anzugeben, welches axiomatische System ausreicht, um die Behauptung zu beweisen, sie implizieren einfach, dass sie das gebräuchlichste verwenden. Wenn Sie anders sind und durch diese Unterlassung beleidigt sind, entschuldige ich mich, aber ich fürchte, Sie wurden von fast allen auf diese Weise beleidigt ...
Sie sagen , ich liege " grundsätzlich falsch " und dass " in diesen Modellen von Z F + einiges passiert „aber wenn ZF inkonsistent ist, dann gibt es keine Modelle von ZFC+S, weil inkonsistente Systeme (wie ZFC+S) keine Modelle haben nicht offensichtlich tot im Wasser, dann können Sie vermeiden, lassen Sie mich darauf hinweisen, dass Ihre Argumentation mich nicht überzeugt hat.
Sie gehen also davon aus, dass Z F C hat keine widersprüchlichen Aussagen. Dies ist vorerst eine Vermutung. Fügen Sie nun ein unabhängiges Axiom A hinzu . Nach der obigen Hypothese ist dies wieder eine Theorie ohne widersprüchliche Aussagen. Nun, wenn innerhalb von Z F C + A Sie können beweisen, dass Z F C nicht widersprüchlich ist (tatsächlich ist jede Aussage entweder wahr, falsch oder unentscheidbar), dann bestätigen Sie Ihre Ausgangshypothese der Widerspruchsfreiheit. Sie verwenden einfach Beweise, die "komplexer" sind als das ursprüngliche System, in Übereinstimmung mit dem Satz von Gödel. Ist das nicht überzeugend?
Über Vorhersagekraft. Es gibt Axiomensysteme, die inkonsistent sind, synthetische Differentialgeometrie ist ein solches und sie ist potenziell nützlich, weil sie potenzielle Vorhersagekraft hat, weil sie eine schwächere deduktive Methode verwendet, um zu vermeiden, dass alle Aussagen generiert werden. Aber ZFC generiert möglicherweise alle möglichen Aussagen, sodass die Vorhersagekraft potenziell Null ist, es sei denn, Sie denken, dass Theoreme mit historisch früher gefundenen Beweisen besser sind als Theoreme der Negationen, deren Beweise später gefunden wurden. Und sicher mögen Sie keine endlichen Methoden, und das ist fair, nicht endliche Methoden haben den Vorteil eines großen
Wenn die Theorie widersprüchlich wäre, hätten Sie natürlich nicht beweisen können, dass jede ihrer Aussagen entweder wahr, falsch oder unentscheidbar ist.
Große Benutzerbasis, und selbst wenn endliche Methoden viel effektiver waren, als Sie dachten, ist dieses Handicap real.
Ich bevorzuge keine endlichen Methoden, sondern nur, weil (mit unserem Wissen) die Aussagen, die ich beweisen muss, nicht mit endlichen Methoden beweisbar sind. Und ich brauche diese Aussagen, um interessante Vorhersagen zu treffen.
"Wenn die Theorie widersprüchlich wäre, hätten Sie offensichtlich nicht beweisen können, dass jede ihrer Aussagen entweder wahr, falsch oder unentscheidbar ist", wenn Sie meinen, dass Sie für jede Aussage (beweisen können, dass sie wahr ist) xoder (beweisen, dass sie wahr ist falsch) xor (beweisen Sie, dass sie unentscheidbar ist) das wäre nicht möglich, wenn Ihre Theorie widersprüchlich wäre. Aber das erfordert unendlich viele Beweise und xor Quantifizierung darüber, einschließlich der Aussage, dass Beweise nicht existieren. Ich bin äußerst skeptisch, dass dies geschieht, da dies bei keinem relativen Konsistenzbeweis, den ich gesehen habe, der Fall ist.
Und mit dem Wort wahr? Sie brauchen entweder ein Modell oder sollten über Theoreme und Beweise sprechen, und Sie sprechen so locker, dass ich nicht sagen kann, was Sie sagen.
Wenn Sie Beständigkeit beweisen, beweisen Sie genau das. Sie definieren die gültigen Aussagen, die Axiome, die Inferenzregeln; und beweisen innerhalb der Inferenzregeln, dass jede gegebene Aussage S erfüllt ( p r o f ( S ) + ¯ p r o o f ˉ S ) falls wahr, das Gegenteil falls S ist falsch, oder Sie beweisen ( ¯ p r o f ( S ) + ¯ p r o o f ˉ S ), also S ist unentscheidbar. Wenn Sie das für Aussagen in einer Theorie beweisen können, indem Sie nur Inferenzregeln und Axiome einer anderen Theorie verwenden, die das Original + ein unabhängiges Axiom ist, dann sehe ich kein Problem.
Offensichtlich ist dies nicht endlich, und Sie akzeptieren eine mögliche unendliche Anzahl von Inferenzen (eigentlich jedoch rekursiver Natur) im System. Wenn dir nicht einmal das gefällt, dann sei es so. Aber das ist innerhalb des üblicherweise verwendeten Inferenzsystems vollkommen klar und logisch formalisiert. Viele Aussagen können auch durch endliche oder einfach nur rekursive Methoden (Konstruktivismus) beweisbar sein; Das bedeutet aber nicht, dass die andere Methode keine akzeptable Alternative ist
Jetzt scheint es, als würden Sie sagen, Sie "beweisen für jede Aussage S ...", während ich sagte, "für jede Aussage S Sie ...". Wenn Sie einen Beweis haben, dann ist er per Definition endlich
Nein, der Beweis darf rekursiv sein, da die transfinite Rekursion ein Schema der üblichen logischen Theorien ist. Wenn Sie die Rekursion auf nur zählbare Rekursion beschränken möchten, ist dies in Ordnung, aber sie ist sowieso implizit unendlich.
Und Sie haben immer wieder das Wort unentscheidbar, bei dem es um Beweisbarkeit geht, und das Wort wahr, alles vermischt.
Ja, denn eine Aussage ist unentscheidbar, wenn beide p r o o f ( S ) und p r o o f ( ˉ S ) sind falsch, dh es gibt keinen systeminternen Beweis für die Aussage. Dies ist Teil des grundlegenden Gödelisierungsverfahrens in der Logik, dh die Beweise als (irgendwann) wahre Aussagen einer Theorie zu sehen
Sie wollen transfinite Rekursion auf der Ebene Ihrer Logik? Ich denke, Sie möchten vielleicht auch Logik zweiter Ordnung? Ich bin mir nicht sicher, warum Sie ZFC nicht einfach in Ihre Logik aufnehmen, während Sie es sind, wenn der Standard ist, dass die meisten Leute es tun, haben Demokratie und Popularität in der Mathematik wirkliches Gewicht. Sie sind auch in der Wissenschaft real, nur nicht so gewichtig.
Aber wenn Sie mit wahr und falsch beginnen, dann haben Sie mit einem Modell begonnen. Sicher, wenn Sie ein Modell haben, möchten Sie vielleicht, dass einige der Wahrheiten Theoreme sind und alle Theoreme Wahrheiten und ähnlich für Unwahrheiten. Aber inkonsistente Systeme haben keine Modelle.
Transfinite Rekursion ist ein Schema in ZFC, das eine Logik erster Ordnung ist; und es kann als Werkzeug verwendet werden, um Beweise zu erstellen. Offensichtlich kann dieses Schema jedoch eine unendliche Anzahl von Instanzen erfordern, um verifiziert zu werden. Und offensichtlich wollen Sie erfüllbare Theorien, die Modelle haben (es ist eigentlich gleichbedeutend mit Konsistenz innerhalb der Logik erster Ordnung). Das hängt nicht damit zusammen, dass Konsistenz außerhalb des Systems bewiesen werden muss, und wie gesagt, es geschieht tatsächlich mit zusätzlichen Axiomen.
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