Spannen die Eigenvektoren verschiedener Observablen denselben Hilbertraum auf?

Der Hilbertraum wird von unabhängigen Basen aufgespannt. Das Lehrbuch sagte, dass die Eigenvektoren von Observable den Hilbert-Raum überspannen. Spannen die Eigenvektoren mehrerer Observablen denselben Hilbertraum auf?

Also was ich meine ist, dass wir annehmen, dass wir einen Staat haben | Ψ ⟩ die im Hilbertraum lebt. Wir haben zwei Operatoren, die Observablen entsprechen, die als bezeichnet werden Ö ^ 1 Und Ö ^ 2 . Lassen Sie uns das Beobachtbare messen Ö 1 . Unser Staat | Ψ ⟩ kollabieren und wir messen einen der Eigenwerte. Der Staat | Ψ ⟩ wird einer der Eigenvektoren sein, sagen wir mal | Ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ Wo | ψ 1 ⟩ einer der Eigenvektoren von Observable Ö ^ 1 Ist. Messen wir nun das Observable Ö 2 . Unser Staat | Ψ ⟩ = | ψ 1 ⟩ kollabiert zu einem der Eigenzustände von Observable Ö 2 . Die Eigenvektoren Ö ^ 1 den Hilbertraum aufspannen. Die Eigenvektoren Ö ^ 2 den Hilbertraum aufspannen. Spannen beide Eigenvektoren denselben Hilbert-Raum auf, wo der Zustand ist | Ψ ⟩ Leben?

Hier geht etwas Zirkuläres vor sich. Wenn Sie die beiden Operatoren so definieren, dass sie beide denselben Hilbert-Raum überspannen, dann überspannen sie natürlich diesen Hilbert-Raum. Wenn Sie einen Zustand haben, der in einem anderen Hilbert-Raum lebt als dem, der von einem Operator aufgespannt wird, können Sie diesen Operator nicht wirklich messen. Die meisten dieser Fragen werden also per Definition oder durch Berücksichtigung der tatsächlichen Mengen in dem von Ihnen untersuchten physikalischen System beantwortet

Antworten (1)

Ja, sie überspannen denselben Hilbert-Raum. Wenn die beiden Observablen pendeln,

[ Ö 1 , Ö 2 ] = Ö 1 Ö 2 − Ö 2 Ö 1 = 0 ,
sie teilen sich eine Eigenbasis, dh es gibt eine Basis { | ψ N ⟩ } mit
Ö 1 | ψ N ⟩ = λ N | ψ N ⟩ ,   Ö 2 | ψ N ⟩ = ρ N | ψ N ⟩ ,
Wo λ N sind die Eigenwerte von Ö 1 Und ρ N sind die Eigenwerte von Ö 2 . Wenn die Observablen jedoch nicht pendeln,
[ Ö 1 , Ö 2 ] ≠ 0 ,
sie teilen sich keine Eigenbasis. Dabei gibt es unterschiedliche Grundlagen, { | ψ N ich ⟩ } ,   ich = 1 , 2 , mit
Ö 1 | ψ N 1 ⟩ = λ N | ψ N 1 ⟩ ,   Ö 2 | ψ N 2 ⟩ = ρ N | ψ N 2 ⟩ .
Die beiden Basen überspannen beide den Hilbert-Raum und Sie können durch eine einheitliche Transformation von einer zur anderen gehen
| ψ N 2 ⟩ = ∑ M U M N | ψ M 1 ⟩ ,   U M N = ⟨ ψ M 1 | ψ N 2 ⟩ .
Diese einheitliche Transformation ist analog zum Drehen Ihres Referenzrahmens in einem realen Vektorraum wie R 2 im komplexen Hilbertraum eures Quantensystems. Es ist immer noch derselbe Raum, nur in einer anderen Basis.

Bereiten Sie nun, wie Sie vorschlagen, das System in einem Eigenzustand von vor Ö 1 , sagen | ψ 1 1 ⟩ . Dann beim Messen Ö 2 , landen wir im Staat | ψ N 2 ⟩ mit Wahrscheinlichkeit | ⟨ ψ M 1 | ψ N 2 ⟩ | 2 .

Spannen die Eigenvektoren verschiedener Observablen denselben Hilbertraum auf?
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