Hilbertraum vs. projektiver Hilbertraum

Warum sind Staaten Strahlen?

^{(Antwort auf OP's 1. und 2.)}

Einer der grundlegenden Lehrsätze der Quantenmechanik ist, dass Zustände eines physikalischen Systems ( nicht unbedingt eindeutig – darum geht es bei projektiven Räumen in der QM!) Vektoren in einem Hilbert-Raum entsprechen$\mathcal{H}$, und dass die Born-Regel die Wahrscheinlichkeit für ein System im Zustand angibt$\lvert \psi \rangle$im Staat sein$\lvert \phi \rangle$durch

^{(Beachten Sie, dass die Angewohnheit, über normalisierte Zustandsvektoren zu sprechen, darauf zurückzuführen ist, dass der Nenner der Born-Regel dann einfach Eins ist und die Formel einfacher auszuwerten ist. Dies ist alles, was zur Normalisierung gehört .)}

Nun, für alle$c \in \mathbb{C} - \{0\}$,$P(c\psi,\phi) = P(\psi,c\phi) = P(\psi,\phi)$, wie leicht nachzuprüfen ist. Daher besonders$P(\psi,\psi) = P(\psi,c\psi) = 1$hält, und daher$c\lvert \psi \rangle$ist die gleichen Staaten wie$\lvert \psi \rangle$, denn das ist es, was es bedeutet, die Wahrscheinlichkeit 1 zu haben, in einem Zustand zu sein.

Ein Strahl ist nun die Menge aller Vektoren, die nach dieser Logik denselben Zustand beschreiben - es ist nur der eindimensionale Unterraum, der von einem von ihnen aufgespannt wird: Für$\lvert \psi \rangle$, der zugehörige Strahl ist die Menge

Jedes Mitglied dieser Menge liefert die gleichen Ergebnisse, wenn wir es in der Born-Regel verwenden, daher sind sie physikalisch nicht zu unterscheiden.

Warum sind Phasen noch relevant?

^{(Antwort auf OPs 3.)}

Für einen einzelnen Zustand eine Phase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha},\alpha \in \mathbb{R}$hat also keine Auswirkungen auf das System, es bleibt gleich. Beachten Sie jedoch, dass "Phasen" im Wesentlichen die Dynamik des Systems sind, da die Schrödinger-Gleichung Ihnen sagt, dass jede Energie einen Eigenzustand hat$\lvert E_i \rangle$entwickelt sich mit der Phase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_i t}$.

Offensichtlich bedeutet dies, dass sich Energieeigenzustände nicht ändern, weshalb sie als stationäre Zustände bezeichnet werden . Das Bild ändert sich jedoch, wenn wir Summen solcher Zustände haben:$\lvert E_1 \rangle + \lvert E_2 \rangle$wird, wenn$E_1 \neq E_2$, entstehen anders aus einer Gesamtmultiplikation mit komplexer Phase (oder gerader Zahl) und hinterlassen somit ihren Strahl im Verlauf der Dynamik! Es lohnt sich, sich davon zu überzeugen, dass die Evolution nicht von dem Repräsentanten des Strahls abhängt, den wir gewählt haben: Für jeden Nicht-Null-Komplex$c$,$c \cdot (\lvert E_1 \rangle + \lvert E_2 \rangle)$wird genau dieselben Strahlen zu genau denselben Zeiten wie jedes andere Vielfache besuchen, was wiederum zeigt, dass Strahlen die richtige Vorstellung von Zustand sind.

Der projektive Raum ist der Raum der Strahlen

^{(Antwort auf OP's 4. und 5. sowie einige weitere Bemerkungen)}

Nachdem man immer wieder festgestellt hat, dass die physikalisch relevanten Einheiten die Strahlen und nicht die Vektoren selbst sind, kommt man natürlich auf die Idee, den Raum der Strahlen zu betrachten . Glücklicherweise ist es einfach zu konstruieren: "Zu einem Strahl gehörend" ist eine Äquivalenzrelation auf dem Hilbert-Raum und kann daher in dem Sinne aufgeteilt werden, dass wir einfach sagen, dass zwei Vektoren dasselbe Objekt im Raum von Strahlen sind, wenn sie liegen im gleichen Strahl – die Strahlen sind die Äquivalenzklassen . Formal stellen wir die Beziehung her

und definiere den Strahlenraum oder projektiven Hilbert-Raum zu sein

Das hat nichts mit der Methode von Gram-Schmidt zu tun, eine neue Basis für einen Vektorraum zu finden! Dies ist nicht einmal mehr ein Vektorraum! (Beachten Sie, dass es insbesondere keine Null hat.) Das Schöne ist jedoch, dass wir jetzt sicher sein können, dass jedes Element dieses Raums einen bestimmten Zustand darstellt , da jedes Element tatsächlich ein anderer Strahl ist . ¹

(Randbemerkung (siehe auch die Antwort von orbifold ): Eine direkte und wichtige Konsequenz ist, dass wir unsere Vorstellung davon, welche Arten von Darstellungen wir für Symmetriegruppen suchen, überdenken müssen – zunächst hätten wir auf dem Hilbert-Raum einheitliche Darstellungen gesucht. da wir sowohl die Vektorstruktur des Raums als auch die innere Produktstruktur erhalten wollen (da die Born-Regel darauf beruht), wissen wir nun, dass es ausreicht, projektive Darstellungen zu suchen , die für viele Lie-Gruppen bijektiv sind zu den linearen Darstellungen ihrer universellen Hülle, wodurch, quantenmäßig,$\mathrm{SU}(2)$da die "Spinngruppe" aus der klassischen Rotationsgruppe entsteht$\mathrm{SO}(3)$.)

OPs fünfte Frage

Wenn man den Hilbertraum auf den einer bestimmten Observablen des vorliegenden Systems einschränkt, zB Impuls- oder Spinraum (um Impuls bzw. Spin eines Systems zu messen), spricht man dann schon von projektiven Räumen? (z. B. wird der Spin-Raum von up |↑⟩ und down |↓⟩ Spin-Zuständen eines Systems aufgespannt, das als projektiver Spin-Hilbert-Raum bezeichnet wird?)

ist nicht sehr gut gestellt, trifft aber den Kern dessen, was die Projektivierung für uns tut: Wenn wir von "Impulsraum" sprechen$\mathcal{H}_p$und "spin space"$\mathcal{H}_s$, wird implizit verstanden, dass der "Gesamtraum" das Tensorprodukt ist$\mathcal{H}_p \otimes \mathcal{H}_s$. Dass der totale/kombinierte Raum das Tensorprodukt ist und nicht das gewöhnliche Produkt, folgt aus der Tatsache, dass der kategoriale Begriff eines Produkts (nennen wir es$\times_\text{cat}$) für projektive Räume ist

Für Gründe, warum dies ein sinnvoller Produktbegriff ist, siehe einige andere Fragen/Antworten (z. B. diese Antwort von mir oder diese Frage und ihre Antworten ).

Lassen Sie uns noch einmal betonen, dass der projektive Raum kein Vektorraum ist und daher von nichts "überspannt" wird, wie die fünfte Frage zu meinen scheint.

^{1 Der fragende Leser mag mit Recht protestieren: Wenn unsere Beschreibung des Systems auf dem Hilbert-Raum eine zusätzliche Eichsymmetrie hat, wird es vorkommen, dass es verschiedene Strahlen gibt , die denselben physikalischen Zustand repräsentieren , aber das soll uns hier nicht interessieren.}

Die aktuelle mathematische Formulierung der Quantenmechanik basiert auf der Theorie der Operatoralgebren. Das fundamentale Axiom ist, dass ein mechanisches System durch eine C*-Algebra beschrieben wird und die Menge der Zustände durch (eine Einschränkung) des Zustandsraums dieser C*-Algebra gegeben ist. Hilbert-Räume kommen aus der Darstellungstheorie von C*-Algebren ins Spiel. Wenn ein Zustand gegeben ist, der eine normalisierte positive lineare Funktion der Algebra ist, induziert er eine Darstellung einer solchen Algebra durch die sogenannte GNS-Darstellung. Die C*-Algebra wird jetzt auf einem Hilbert-Raum dargestellt, und der Zustand wird jetzt durch einen Vektor erzeugt, nämlich.

Bis hierher sollte dies die Fragen 1-3 beantwortet haben. Beachten Sie bei den verbleibenden Fragen, dass ein projektiver Hilbert-Raum nicht immer endlichdimensional ist (tatsächlich ist er es selten). Es gibt keine direkte Verbindung zu Graham-Schmidt, da Sie nur den Hilbert-Raum nehmen und einfach einige Vektoren gemäß einer Äquivalenzbeziehung identifizieren.

Immer wenn Ihnen ein Quantensystem in der einfachen Form einer Menge von Observablen und eines Hilbert-Raums gegeben wird, werden (reine) Zustände als normalisierte Vektoren betrachtet, die bis auf einen Phasenfaktor definiert sind, dh als Elemente aus dem projektiven Hilbert-Raum.

Der Begriff des projektiven Raums ist für jeden Vektorraum V (endlich oder nicht) sinnvoll. Als Menge der projektive Raum$P(V)$ist einfach die Menge der eindimensionalen Untervektorräume des Vektorraums. Wenn Sie kurz darüber nachdenken, ist jeder eindimensionale Subvektorraum (oder Strahl, wie die Physiker ihn nennen) durch einen Nicht-Null-Vektor gegeben$v$in$V$und alle skalaren Vielfachen$\lambda v$davon. Offensichtlich ist diese Beschreibung nicht eindeutig, kein Vielfaches von Null$v$würde es auch tun, also ist der projektive Raum der Quotient

wo$v \equiv w$falls vorhanden$\lambda \neq 0$, so dass$v = \lambda w$.

Mit anderen Worten, der projektive Raum gibt Ihnen die Möglichkeit, über Strahlen (eindimensionale Untervektorräume) in einem Vektorraum zu sprechen. Dies ist unabhängig davon, ob der Vektorraum ein Hilbertraum ist.

Welche Rolle spielen also Strahlen in einem Hilbert-Raum in der Quantenmechanik? Einige von ihnen sind reine Eigenzustände einer Observablen$Q$. Denken Sie daran, dass Observablen durch selbstadjungierte hermitesche Operatoren beschrieben werden, wenn$v$ist ein Eigenvektor von$Q$für Eigenwert$\lambda$, das ist$Qv = \lambda v$, so ist$\mu v$für alle$\mu \neq 0$. Da es sich um den reellen Eigenwert handelt$\lambda$das ist physikalisch beobachtbar, es ist wirklich der eindimensionale Unterraum, der aufgespannt wird$v$das zählt. geometrisch ein hermitescher selbstadjungierter Operator$Q$erzeugt eine "Rotation"$e^{iQ}$im projektiven Hilbertraum, dessen Fixpunkte (in der Regel keine wirklichen Punkte) den sogenannten "reinen Zuständen" entsprechen.

Außerdem ist ein Eigenzustand einer Observablen gegeben$Q$,$\vert \phi \rangle$und ein Willkürstaat$\vert \psi\rangle$, die Übergangswahrscheinlichkeit aus$\vert \psi\rangle$zu$\vert \phi\rangle$wird von gegeben

Genauer Symmetrien eines quantenmechanischen Systems mit Hilbertraum$H$sind durch eine Darstellung der Symmetriegruppe gegeben

in der projektiven Einheitsgruppe des Hilbert-Raums wirkt diese Gruppe natürlich auf den projektiven Raum$P(H)$und nicht$H$. Der einfachste Fall ist der eines nichtrelativistischen Spin-1/2-Teilchens in seinem Ruhesystem. Die verbleibende Symmetrie der Gallilei-Gruppe ist eine Darstellung

Zufällig stehen solche projektiven Darstellungen in Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit Darstellungen der Doppelhülle von$SO(3)$,$SU(2)$:

Seit$SU(2)$ist kompakt, seine unitären Darstellungen sind endlichdimensional und seine kleinste irreduzible Darstellung wird Spin-1/2-Darstellung genannt, mit$H = \mathbf{C}^2.$So erfahren wir, dass der Raumzustand eines Spin-1/2 in seinem Ruhesystem ist

Es passiert jedoch nichts Mysteriöses, sobald Sie eine Reihe von Eigenzuständen ausgewählt haben (z. B. für den Spin in z-Richtung$\vert + \rangle, \vert - \rangle$) jeder andere Zustand kann als Linearkombination geschrieben werden

Dies ist von Bedeutung, wenn wir multiple Spin-1/2-Teilchen betrachten, deren Hilbert-Raum nach allgemeinen Prinzipien als gegeben ist

$H = H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$

wo$\otimes$ist das Tensorprodukt und das Flechten$H_i \otimes H_{i+1} \to H_{i+1} \otimes H_i$führt ein Minuszeichen ein, weil Teilchen mit Spin 1/2 Fermionen sind$v_i \otimes v_{i+1} = -v_{i+1} \otimes v_i$(Solche Vektorräume werden auch Supervektorräume genannt). Jetzt sollte man sich das nochmal genau anschauen

interessanterweise gibt es nur eine Einbettung von

Segre-Einbettung genannt, überspannen Tensorprodukte von reinen Ein-Teilchen-Zuständen nicht den Mehrteilchen-Hilbert-Raum, Zustände, die nicht im Bild liegen, werden als "verschränkt" bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine genaue Trennung des Hilbert-Raums und seiner Projektivierung dazu beiträgt, viele Probleme in der Quantenmechanik zu klären. Ich habe zum Beispiel das Studium irreduzibler projektiver Darstellungen der Poincare-Gruppe nicht erwähnt, Weinbergs ausgezeichnetes Buch über die Quantenfeldtheorie behandelt das. Geometrische Ideen wie die Metrik der Fubini-Studie (oder Bures-Metrik) sind ebenfalls hilfreich.

Lassen Sie mich zusätzlich zur Antwort von Phoenix87, die den Hilbert-Raum, wie er heute aus der Operatorraumstruktur der Quantenmechanik hervorgeht, kurz und bündig zusammenfasst, versuchen, Ihre Fragen direkter zu beantworten:

Ein Hilbertraum ist nichts anderes als ein (vollständiger) Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Wie Sie sagten, liefert dies (eine Version davon) den Zustandsraum der Quantenmechanik. Jeder Vektor sollte also ein Zustand sein. Wir können jedoch nur die Messergebnisse kennen, sodass Zustände identifiziert werden können, die bei allen Messungen zu denselben Messungen führen. Da sie durch keine Messungen unterschieden werden können, warum sollten wir sie für unterschiedlich halten? Wenn Sie sich ansehen, wie Messungen funktionieren, können Sie sehen, dass eine globale Phase (dh$c\psi$wenn$\psi$ist ein Vektor deines Hilbert-Raums und$c\in\mathbb{C}$mit$|c|=1$) ändert nichts am Ergebnis. Wenn Sie außerdem verlangen, dass die Messwerte auf Wahrscheinlichkeiten bezogen werden (Bornsche Regel), möchten Sie Ihren Zustand$\psi$normalisiert werden. Das bedeutet, dass alle Vektoren$c\psi$mit$c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$wird den gleichen Zustand darstellen, sobald Sie normalisieren.

All dies lässt sich so zusammenfassen, dass Sie statt aller Vektoren im Hilbert-Raum nur den Raum betrachten, der aus den gerade konstruierten Äquivalenzklassen besteht. Dies ist dann der projektive Hilbert-Raum und es ist ein neuer Raum – keine Teilmenge Ihres alten Raums. Das hat mit Gram-Schmidt nichts zu tun, denn man konstruiert einen neuen Raum, während man mit Gram-Schmidt immer noch im selben Vektorraum lebt.

In einem bestimmten Beispiel arbeiten Sie normalerweise mit den Hilbert-Räumen und ignorieren globale Phasen und normalisieren immer Ihren Zustand. Es ist wie die Verwendung des projektiven Hilbert-Raums, aber Sie müssen sie überhaupt nicht kennen.

Phoenix87 fasst die allgemeine Situation schön zusammen. Aber in einer Fußgängersituation mit einem gegebenen trennbaren Hilbert-Raum, wenn zu Dichteoperatoren gewechselt wird, um die Zustände zu beschreiben, verschwindet das ganze Problem, da sie unter Änderungen von Phasenfaktoren unveränderlich sind. Beachten Sie, dass Dichteoperatoren positive Spurklassenoperatoren mit Spur 1 sind, wobei reine Zustände eindimensionale Projektoren sind. Beachten Sie ferner, dass allgemeinere Zustände existieren können, sie sind immer noch positive Funktionale, aber allgemeiner als Dichteoperatoren.