Was bedeutet es, wenn eine Wellenfunktion „beschränkt“ ist und gleichzeitig Regularitätsbedingungen auferlegt?

Diese Frage ist eher eine Definitionsverwirrung, die mich dazu bringt, mehrere Dinge falsch zu verstehen. Also nehme ich am MIT 8.05 Quantenphysik-II-Kurs teil und der Ausbilder erwähnte die Regularitätsbedingungen für die Energie-Eigenzustände und sagte, dass die Energie-Eigenzustände, die beim Lösen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung erhalten werden, kontinuierlich und "begrenzt" und die Ableitung sein müssen der Eigenzustände muss ebenfalls "begrenzt" werden.

Später erklärt er, dass er keine Normalisierungsbedingungen auferlegt, da viele Eigenzustände wie die Impuls-Eigenzustände eine wirklich wichtige Menge von Eigenzuständen sind, die nicht normalisierbar sind. Aber später, in seinen Notizen, definiert er, was es bedeutet, wenn ein Staat gebunden ist.

Ein lokalisierter Energie-Eigenzustand ψ ( X ) heißt gebundener Zustand , wenn ψ ( X ) → 0 als | X | → ∞ .

Dies widerspricht direkt dem, was er als Bedingungen für die Energieeigenzustände aufstellt. Kann mir jemand helfen, das zu verstehen? Ich habe auch einen Screenshot aus seinen Notizen angehängt. Diese finden Sie auf Seite 6 in diesen Erläuterungen hier .Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Antworten (1)

Eine Funktion ψ heißt auf einen bestimmten Bereich beschränkt R falls es welche gibt C > 0 so dass | ψ ( X ) | < C für alle X In R . Dies bedeutet nicht, dass die Funktion normalisierbar ist; zum Beispiel die Funktion ψ ( X ) = 1 ist auf der gesamten reellen Linie begrenzt, aber eindeutig nicht normierbar. Dies unterscheidet sich auch von der Definition des Autors eines gebundenen Zustands.

Wenn ich Ihre Frage richtig interpretiere, lautet die kurze Antwort, dass "normalisierbar" ≠ "begrenzt" ≠ "gebunden."

Etymologisch bezieht sich diese Definition einer beschränkten Funktion auf die Tatsache, dass die Funktion nirgendwo ins Unendliche entweicht; seine Reichweite ist auf ein endliches Intervall beschränkt.

Andererseits bezieht sich die Definition eines gebundenen Zustands auf die Tatsache, dass in der Quantenmechanik ein gebundener Zustand (grob gesagt) in einem endlichen Bereich des Raums lokalisiert ist. Ein gebundener Zustand eines Elektrons in einem Wasserstoffatom ist an den Kern "gebunden", insofern die Wahrscheinlichkeit, ihn in einiger Entfernung zu messen R vom Kern geht auf Null als R → ∞ .

Aah, also müssen die Energie-Eigenzustände im Allgemeinen begrenzt werden, wie z ψ ( X ) = 1 X 2 kann keine brauchbare Wellenfunktion sein, da sie im Unendlichen abstirbt, aber nicht "begrenzt" ist, da sie als divergiert X → 0 . Aber eine spezielle Art von Energie-Eigenzuständen, dh lokalisierte Energie-Eigenzustände, werden "gebundene Zustände" genannt. Hab ich recht?
@ Tachyon209 Ja, so wird die Terminologie allgemein verwendet. Wenn es hilft, unterscheidet man normalerweise zwischen gebundenen Zuständen und streuenden Zuständen.
Es war also nur ein Terminologieproblem. Hehe. Vielen Dank.
@ Tachyon209 Beachten Sie, dass in der Praxis eine brauchbare Wellenfunktion unbegrenzt sein könnte (insbesondere S-Wellen-Lösungen der Dirac-Gleichung für Wasserstoffatome). Die Bedingung in Ihren Vorlesungsunterlagen ist unnötig restriktiv (obwohl sie für den Anfang gut genug ist). Siehe diese Frage für weitere Diskussionen.
Was bedeutet es, wenn eine Wellenfunktion „beschränkt“ ist und gleichzeitig Regularitätsbedingungen auferlegt?
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