Bei Reflexion an einem Strahlteiler hinzugefügte Phase?

Question

Bei Reflexion an einem Strahlteiler hinzugefügte Phase?

Quanten-Spaghettifizierung

Wenn wir Licht einer bestimmten Phase haben, das auf einen Strahlteiler einfällt, gehe ich davon aus, dass der übertragene Strahl keine Phasenänderung erfährt. Aber ich dachte, dass der reflektierte Strahl eine Phasenänderung von erfahren würde $\pi$ . Ich habe jedoch gelesen, dass es einen Phasenwechsel von erfährt $\pi/2$ .

Welche ist es und warum?

Floris

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GC · Answer 1

Es hängt tatsächlich davon ab, welche Art von Strahlteiler Sie haben.

Ich werde eine allgemeine Behandlung geben und zeigen, dass die Schlussfolgerungen sowohl von Emilio Pisanty als auch von Steven Sagona grundsätzlich richtig sind, was verschiedenen spezifischen Strahlteilern entspricht, die alle im Labor üblich sind. Der Einfachheit halber berücksichtigen wir in dieser Antwort keinen Verlust.

Zunächst wird die Definition von "Phasenverschiebung" in dieser spezifischen Antwort als relative Phase zwischen reflektiertem und übertragenem Licht von demselben Port gewählt. Genauer gesagt lassen wir den Übertragungskoeffizienten eine reelle Zahl sein $t$ , und der Reflexionskoeffizient trägt somit die Information über die relative Phasenverschiebung $r e^{i\theta_\alpha}$ , Wo $\alpha=1,2$ repräsentiert das Licht, das von Strahlteilerport 1 oder 2 kommt (siehe Bild unten).

Anstatt eine symmetrische Phasenverschiebung anzunehmen, erlauben wir jede mögliche Phasenverschiebung, da wir einen allgemeinen Strahlteiler diskutieren, der nicht notwendigerweise symmetrisch ist.

Dann schreiben wir die im Strahlteiler ablaufende physikalische Prozedur in die folgende Matrixform:

\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} E_{3} \\ E_{4} \end{matrix}) = \underset{M}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} T & R e^{ich θ_{2}} \\ R e^{ich θ_{1}} & T \end{matrix})}} (\begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_3 \\ E_4 \end{pmatrix} = \underbrace{ \begin{pmatrix} t & r e^{i\theta_2} \\ r e^{i\theta_1} & t \end{pmatrix}}_{ M} \begin{pmatrix} E_1\\ E_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

Die Energieeinsparung erfordert $|E_3|^2 + |E_4|^2 = |E_1|^2 + |E_2|^2$ , was der mathematischen Aussage entspricht, dass die Strahlteilermatrix einheitlich ist. Das gibt uns

\begin{array}{rcl} M^{†} M = (\begin{matrix} R^{2} + T^{2} & R T (e^{ich θ_{2}} + e^{- ich θ_{1}}) \\ R T (e^{ich θ_{1}} + e^{- ich θ_{2}}) & R^{2} + T^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray} M^\dagger M = \begin{pmatrix}r^2 + t^2 & rt(e^{i\theta_2}+e^{-i\theta_1}) \\ rt(e^{i\theta_1}+e^{-i\theta_2}) & r^2 + t^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

Man kann sehen, dass $r^2 + t^2 =1$ trifft automatisch zu, da wir es hier mit verlustfreien Strahlteilern zu tun haben. Der Rest der obigen Matrixgleichung gibt uns

\begin{array}{rcl} e^{ich θ_{2}} + e^{- ich θ_{1}} \equiv 2 e^{ich (θ_{2} - θ_{1}) / 2} \cos \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2} = 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} e^{i\theta_2}+e^{-i\theta_1} \equiv 2 e^{i(\theta_2-\theta_1)/2} \cos \frac{\theta_1+\theta_2}{2} =0 \end{eqnarray}$ woraus wir das schließen

θ_{1} + θ_{2} = π

$\begin{equation} \theta_1 + \theta_2 = \pi \end{equation}$

Wenn wir einen Strahlteiler mit symmetrischen Phasenverschiebungen haben, $\theta_1 =\theta_2 = \pi /2$ , Dann

M = (\begin{matrix} T & ich R \\ ich R & T \end{matrix})

$\begin{equation} M= \begin{pmatrix} t & ir \\ ir & t \end{pmatrix} \end{equation}$ Dies stimmt mit der Argumentation von Steven Sagona überein, die auf derselben Annahme basiert.

Wenn wir einen Strahlteiler haben, der nicht nur in Phasenverschiebungen symmetrisch ist ( $\theta_1 = \theta_2=\pi/2$ ), aber auch symmetrisch in Reflexion und Transmission ( $r=t=1/\sqrt 2$ ), dann haben wir

M = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & ich \\ ich & 1 \end{matrix})

$\begin{equation} M=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \end{equation}$ Dann kommen wir im Grunde zur zweiten Gleichung von Emilio Pisanty.

Wenn wir einen Strahlteiler haben, der in Phasenverschiebungen nicht symmetrisch ist ( $\theta_1 = 0, \theta_2=\pi$ ), was auch im Labor sehr verbreitet ist, dann haben wir

M = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

$\begin{equation} M=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}$ Denken Sie daran, dass ich den relativen Phasenfaktor zur Reflexion anstatt zur Übertragung gebracht habe, so dass wir es getan haben

{t, r e^{i θ_{α}}}

$\{t, r e^{i \theta_\alpha}\}$ . Jetzt können wir auch den Phasenfaktor übertragen, so dass wir haben

{t e^{- i θ_{α}}, r}

$\{t e^{-i\theta_\alpha}, r\}$ , ohne die Physik zu verlieren. Was wir bekommen haben, ist die erste Gleichung von Emilio Pisanty, nämlich

M = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

$\begin{equation} M=\frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{equation}$

Emilio Pisanty · Answer 2

Ihre Verwirrung rührt im Wesentlichen vom Vergleich der Ergebnisse in verschiedenen Konventionen her.

Grundsätzlich besteht immer eine Phasendifferenz von $\pi$ zwischen den beiden Ausgangsports eines Strahlteilers, aber dies kann immer nur "moralisch" wahr sein, da diese Aussage über die Phase des EM-Felds an verschiedenen Punkten spricht und daher die Phase unterschiedlich ist, je nachdem, wo genau Sie Ihren fixieren Messstelle an den beiden Eingangs- und den beiden Ausgangsports. In Situationen, in denen sich zwei Wellen gemeinsam ausbreiten, ist ihre relative Phase perfekt definiert, aber für die Öffnungen des Strahlteilers vergleichen Sie Phasen an verschiedenen Strahlen an verschiedenen Positionen und bewegen sich in verschiedene Richtungen, also das Ganze Das Ding ist ohne einen künstlichen Weg, die Konvention zu reparieren, unmöglich.

Im Großen und Ganzen gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, die Konvention zu beheben: eine mit einer expliziten $\pi$ Phasenverschiebung,

(\begin{matrix} A_{Ö u T, 1} \\ A_{Ö u T, 2} \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{ich N, 1} \\ A_{ich N, 2} \end{matrix}),

$\begin{pmatrix} a_{\mathrm{out},1} \\ a_{\mathrm{out},2} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{\mathrm{in},1} \\ a_{\mathrm{in},2} \end{pmatrix},$ und eine mit mehreren expliziten

π / 2

$\pi/2$ Phasen:

(\begin{matrix} A_{Ö u T, 1} \\ A_{Ö u T, 2} \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & ich \\ ich & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{ich N, 1} \\ A_{ich N, 2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_{\mathrm{out},1} \\ a_{\mathrm{out},2} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{\mathrm{in},1} \\ a_{\mathrm{in},2} \end{pmatrix}.$ Diese beiden Konventionen sind genau äquivalent, da sie durch Hinzufügen von a transformiert werden können

π / 2

$\pi/2$ Phase zu

a_{i n, 2}

$a_{\mathrm{in},2}$ Und

a_{o u t, 2}

$a_{\mathrm{out},2}$ ,

\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - ich \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & ich \\ ich & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - ich \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},$ und experimentell entspricht dies dem Hinzufügen einer dünnen Glasplatte an einem Eingangs- und einem Ausgangsport. Noch wichtiger ist jedoch, dass Sie den genauen Wert des optischen Pfads vorher nicht kannten

(i n, 2)

$(\mathrm{in}{,}2)$ Hafen oder nach dem

(o u t, 2)

$(\mathrm{out}{,}2)$ Ausgabe, so dass es völlig strittig ist, über diese Phasen zu streiten.

Was Sie brauchen , ist, dass die Matrix, die die Kopplung regelt, einheitlich ist, was von einer strengen Anforderung der Energieeinsparung herrührt.

Nun, diese Anforderung der Einheitlichkeit kann tatsächlich ein wenig einschüchternd und exotisch klingen, aber es ist wichtig zu beachten, dass die Anforderung der Einheitlichkeit nichts mit der Quantenmechanik zu tun hat und bereits in der Beschreibung des Systems in der klassischen Mechanik von Hamilton vorhanden ist.

Genauer gesagt, wenn wir sagen, dass der Strahlteiler durch eine Matrix beschrieben werden kann, machen wir zwei Kernaussagen über die elektromagnetischen Felder, die wir betrachten:

Erstens behaupten wir, dass die EM-Felder, die wir zu berücksichtigen bereit sind, lineare Kombinationen von nur zwei vordefinierten Modi sein müssen, die im Wesentlichen so aussehen:

$\qquad$
Zweitens erkennen wir, dass diese Felder auch als lineare Kombinationen zweier Modi ausgedrückt werden können, die wie folgt aussehen:

$\qquad$

die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie die gesamte Ausgangsenergie nur an einem der Ausgangsports haben.

Diese beiden Sätze von Modi sind Basen für denselben linearen Unterraum von Feldmodi, was bedeutet, dass jeder Satz als lineare Kombination des anderen Satzes ausgedrückt werden kann; mit anderen Worten bedeutet dies, dass die Amplituden jedes Modensatzes über eine Matrix in Beziehung stehen.

Noch wichtiger ist, wenn wir uns hinsetzen, um das (klassische) Feld zu beschreiben, schreiben wir entweder

E (R, T) = R e [\sum_{J = 1}^{2} a_{ich N, J} (T) E_{ich N, J} (R)]

$\mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[ \sum_{j=1}^2 \alpha_{\mathrm{in},j}(t) \mathbf E_{\mathrm{in},j}(\mathbf r) \right]$ oder

E (R, T) = R e [\sum_{J = 1}^{2} a_{Ö u T, J} (T) E_{Ö u T, J} (R)],

$\mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[ \sum_{j=1}^2 \alpha_{\mathrm{out},j}(t) \mathbf E_{\mathrm{out},j}(\mathbf r) \right],$ Wo

α_{i n, j} (t)

$\alpha_{\mathrm{in},j}(t)$ Und

α_{i n, j} (t)

$\alpha_{\mathrm{in},j}(t)$ sind die komplexwertigen kanonischen Variablen, die die Dynamik dieser Modi beschreiben und die dynamischen Gleichungen erfüllen

\frac{D^{2}}{D T^{2}} a_{X, J} (T) = - ω^{2} a_{X, J} (T) .

$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\alpha_{x,j}(t) = -\omega^2 \alpha_{x,j}(t).$

Der knifflige Teil ist die Normalisierung: weil $\alpha_{x,j}(t)$ Und $\mathbf E_{x,j}(\mathbf r)$ kommen (bisher) immer nur im Produkt vor $\alpha_{x,j}(t) \mathbf E_{x,j}(\mathbf r)$ , gibt es eine Mehrdeutigkeit in einem gemeinsamen komplexen Faktor, der auf beide Seiten gesetzt werden kann, einschließlich sowohl der Normalisierung als auch der Phase.

Für die Normierung gibt es einen objektiven absoluten Standard, der eingehalten werden muss: nämlich, dass für jede der Moden der gesamte Energiefluss über die Mittellinie des Strahlteilers konstant sein muss. Nur so kann das System korrekt quantisiert werden.
Für die Phase gibt es keinen objektiven oder absoluten Standard – es gibt eine vollständige Phasenmehrdeutigkeit für alle vier $\mathbf E_{x,j}(\mathbf r)$ , und entsprechend auf der $\alpha_{x,j}(t)$ . Sie können jede Phase auswählen, die Sie für bequem halten, aber Sie müssen eine auswählen.

Und außerdem die Phasenkonventionen, die Sie für die wählen $\mathrm{in}$ Ports können nicht verwendet werden, um diese für die festzulegen $\mathrm{out}$ Ports oder umgekehrt, weil sie sich auf völlig unterschiedliche Modi beziehen, die an verschiedenen Stellen ausgewertet werden. Sie sind völlig unabhängige Größen.

Einmal legt man den insgesamt eingehenden Energiefluss pro Mode fest $R$ (in Joule pro Sekunde), dann kann gezeigt werden, dass der gesamte Energiefluss beides ist

F = R \sum_{J = 1}^{2} | a_{ich N, J} (T) |^{2}

$F = R\sum_{j=1}^2 |\alpha_{\mathrm{in},j}(t)|^2$ Und

F = R \sum_{J = 1}^{2} | a_{Ö u T, J} (T) |^{2},

$F = R\sum_{j=1}^2 |\alpha_{\mathrm{out},j}(t)|^2,$ und diese beiden Energieflüsse müssen wegen der Energieeinsparung übereinstimmen. Das bedeutet also, dass der Ausdruck der kanonischen Ausgangsvariablen als Linearkombinationen der kanonischen Eingangsvariablen,

(\begin{matrix} a_{Ö u T, 1} \\ a_{Ö u T, 2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} C & D \\ e & F \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{ich N, 1} \\ a_{ich N, 2} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} a_{ich N, 1} \\ a_{ich N, 2} \end{matrix}),

$\begin{pmatrix} \alpha_{\mathrm{out},1} \\ \alpha_{\mathrm{out},2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{\mathrm{in},1} \\ \alpha_{\mathrm{in},2} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} \alpha_{\mathrm{in},1} \\ \alpha_{\mathrm{in},2} \end{pmatrix},$ muss die Norm bewahren

\sum_{j = 1}^{2} | α_{x, j} (t) |^{2}

$\sum_{j=1}^2 |\alpha_{x,j}(t)|^2$ . Oder mit anderen Worten, die Matrix der Transformation muss einheitlich sein.

(Warum einheitlich und nicht nur eine Einheitsnorm für jede Zeile oder jede Spalte? Weil der Strahlteiler sparen muss $\sum_{j=1}^2 |\alpha_{x,j}(t)|^2$ sowohl für Fälle, in denen der Eingang nur an einem der Eingangsports liegt, als auch für Fälle, in denen beide beleuchtet sind. Wenn die Matrix nicht einheitlich ist, kommt es zu einer Überlagerung von Eingangsstrahlen, die eine andere Ausgangsenergie haben als die Summe der Eingänge.)

All dies ist entscheidend für eine korrekte hamiltonsche klassisch-feldmechanische Beschreibung des Strahlteilers. Sobald Sie es richtig gemacht haben (aber erst nachdem Sie die klassische Mechanik richtig gemacht haben), sind Sie bereit, zur Quantenmechanik des Systems überzugehen, was jetzt sehr einfach ist: da Sie die klassische Mechanik gemacht haben richtig, alles, was Sie tun müssen, ist, die hamiltonschen kanonischen Variablen durch Vernichtungsoperatoren zu ersetzen,

a_{X, J} (T) \mapsto {\hat{A}}_{X, J} .

$\alpha_{x,j}(t) \mapsto \hat{a}_{x,j}.$ und du bist fertig.

Und da Sie eine strenge Einheitlichkeitsanforderung für die Matrix hatten, die die kanonischen Hamilton-Variablen zwischen den Eingabe- und Ausgabemengen verknüpft, haben Sie eine identische Einheitlichkeitsanforderung für die Matrix, die die Eingabe- und Ausgabevernichtungsoperatoren (und daher Erzeugungsoperatoren) verbindet.

Was Sie nicht haben, weil Sie es auf den klassischen Feldern nicht hatten, ist eine zusätzliche Einschränkung, was die Phasen sein müssen $\pi/2$ oder $\pi$ oder irgendetwas, weil dies (wieder) nur zum Scheitern verurteilte Versuche sind, Phasen an verschiedenen Orten zu vergleichen, was nicht nach einem absoluten oder objektiven Standard durchgeführt werden kann.

Stimmt meine Antwort mit Ihrer überein oder widerspricht sie ihr? Ich habe Schwierigkeiten, einige Dinge zu verstehen. Sie sagen, dass die Matrix einheitlich sein muss, aber was genau bedeutet das? (Es sieht nicht so aus, als ob einer dieser Operatoren seinen hermiteschen Konjugierten entspricht). In meiner Antwort zeige ich, dass wir, um sowohl "Einzelfälle" als auch "Superpositionsfälle" zu machen - folgen Sie |T|^2+|R|^2 = 1 - machen müssen $cos(i \theta) = 0$ . Es macht für mich Sinn, dass Sie Matrizen "rotieren" können, aber in diesem Fall ist unsere anfängliche Matrix bereits nicht einheitlich (sie ist nicht gleich ihrer hermiteschen Konjugierten).
Hier entscheiden Sie sich dafür, Ihren Operator zu transformieren (indem Sie beide Seiten mit dieser Transformationsmatrix multiplizieren), ohne eine hermitesche Konjugierte auf eine der Seiten anzuwenden.
Ich bin mit beiden Operatoren vertraut, die in der Quantenoptik verwendet werden (und habe gehört, dass Sie einfach drehen können, um von einem zum anderen zu wechseln), aber wann immer Wörter wie "einheitlich" verwendet werden - sie sind für mich in diesem Zusammenhang sehr verwirrend - und deshalb habe ich meine Antwort geschrieben, um zu versuchen, diese Fragen zu lösen.
@StevenSagona Ihre Antwort liegt irgendwo zwischen verschleiert und absolut falsch. Aber Sie haben Recht, dass das Erfordernis der Einheitlichkeit nicht immer so gut erklärt wird, wie es sein sollte; Siehe meine erweiterte Antwort für die Ursprünge der Anforderung.
Als technischer Kommentar - "in diesem Fall ist unsere anfängliche Matrix bereits nicht einheitlich (sie ist nicht gleich ihrem hermitischen Konjugat" - bedeutet das nicht einheitlich; Sie verwechseln es mit hermitisch. Einheitlichkeit erfordert $U^\dagger = U^{-1}$ , und sowohl die Anfangs- als auch die Endmatrix nach der "Rotation" sind einheitlich.

Agamemnon · Answer 3

https://arxiv.org/abs/1509.00393

Die Antwort ist $\pi/2$ . Interessanterweise spielt es keine Rolle, ob es Plus oder Minus ist $\pi/2$ oder wenn die Phasenänderung bei der Analyse der Quanten- oder klassischen Interferometrie in Transmission oder Reflexion erfolgt.

Aus dem oben zitierten Artikel:

„Die Quantenoptik liefert im Wesentlichen Black-Box-Modelle des Strahlteilers. Sie alle stimmen darin überein, dass eine π/2-Phasenverschiebung existiert, auch wenn ihr Vorzeichen und ihre genaue Position (auf den durchgelassenen oder reflektierten Strahlen) ungewiss sind. Solche Inkonsistenzen jedoch , sind in Bezug auf die Einhaltung des Energiesparprinzips unkritisch.“

Steven Sagona · Answer 4

Dies ist etwas, das in der Quantenoptik oft von Hand geschwenkt wird, und ich denke, es ist ziemlich verwirrend. Hier ist eine Erklärung , die ziemlich einfach, aber verwirrend ist. Es besagt fast dogmatisch, dass der Strahlteileroperator einheitlich sein muss. Dies ist hilfreich, um die "richtige Antwort" zu erhalten, aber nicht hilfreich, um eine Intuition dafür zu entwickeln, was tatsächlich vor sich geht.

Hier ist, was ich denke, eine einfache Möglichkeit ist, zu erklären, warum es so ist $\pi/2$ und nicht $\pi$ :

Lassen Sie uns zuerst die Ausgänge des Strahlteilers in allgemeinster Form schreiben:

\begin{aligned} | {Ö u T}_{1} ⟩ & = R e^{ich θ_{R}} | {ich N P u T}_{1} ⟩ + T e^{ich θ_{T}} | {ich N P u T}_{2} ⟩ \\ | {Ö u T}_{2} ⟩ & = T e^{ich θ_{T}} | {ich N P u T}_{1} ⟩ + R e^{ich θ_{R}} | {ich N P u T}_{2} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\mathrm{out}_1\rangle & = Re^{i \theta_R}|\mathrm{input}_1\rangle + Te^{i \theta_T}|\mathrm{input}_2\rangle \\ |\mathrm{out}_2\rangle & = Te^{i \theta_T} |\mathrm{input}_1\rangle + Re^{i \theta_R}|\mathrm{input}_2\rangle \end{align}$

Ein wichtiger Punkt, der hier zu beachten ist, ist, dass ich sage, dass die Reflexion von Eingang 1 zu Ausgang 1 dieselbe Art von Reflexion ist wie die Reflexion von Eingang zu Ausgang 2. Typischerweise wird in „intuitiven Antworten“ etwas darüber gesagt, wie eine Seite des Strahlteilers ist eine andere Beschichtung als die andere, so dass der eine eine Phasenverschiebung erhält und der andere nicht - aber davon gehen wir hier NICHT aus. Wir gehen davon aus, dass die Reflexion auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis liefert.

\begin{aligned} | {Ö u T}_{1} ⟩ & = | R | | {ich N P u T}_{1} ⟩ + | T | e^{ich (θ_{T} - θ_{R})} | {ich N P u T}_{2} ⟩ \\ | {Ö u T}_{2} ⟩ & = | T | e^{ich (θ_{T} - θ_{R})} | {ich N P u T}_{1} ⟩ + | R | | {ich N P u T}_{2} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\mathrm{out}_1\rangle & = |R||\mathrm{input}_1\rangle + |T|e^{i( \theta_T - \theta_R)}|\mathrm{input}_2\rangle\\ |\mathrm{out}_2\rangle & = |T|e^{i( \theta_T - \theta_R)} |\mathrm{input}_1\rangle + |R||\mathrm{input}_2\rangle \end{align}$

Auf ziemlich übliche Weise können wir eine "globale Phase" von entfernen $e^i\theta_R$ . Ich kann dies ausführlicher erklären, wenn jemand durch diesen Schritt verwirrt ist. Lassen Sie uns nun die Summe der Wahrscheinlichkeiten sowohl der Reflexion als auch der Übertragung ermitteln:

| R |^{2} + | T |^{2} + 2 | R | | T | e^{ich (θ_{T} - θ_{R})} + 2 | R | | T | e^{- ich (θ_{T} - θ_{R})} .

$|R|^2 + |T|^2 + 2|R||T|e^{i(\theta_T-\theta_R)} + 2|R||T|e^{-i(\theta_T-\theta_R)}.$

Was sich mit einer trigonometrischen Beziehung auf reduziert

| R |^{2} + | T |^{2} + | R | | T | \cos (θ_{T} - θ_{R})

$|R|^2 + |T|^2 + |R||T| \cos(\theta_T-\theta_R)$

Jetzt haben wir hier ein Problem. Wenn Sie das Photon nur durch einen der beiden Eingänge eintreten lassen, werden Sie sehen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit wird $T^2 + R^2$ . Da wir wissen, dass diese Wahrscheinlichkeit sein sollte $1$ . Wir sind also bereits (durch den Fall einer einzelnen Eingabe) darauf beschränkt $T^2 + R^2 = 1$ . Aber wenn wir das Photon als Überlagerung beider Eingänge senden, identifizieren wir, dass die Gesamtausgangswahrscheinlichkeit wird

| R |^{2} + | T |^{2} + | R | | T | \cos (θ_{T} - θ_{R}) = 1.

$|R|^2 + |T|^2 + |R||T| \cos(\theta_T-\theta_R) = 1.$ Das kann jetzt also nur passieren, wenn

\cos (θ_{T} - θ_{R}) = 0

$\cos(\theta_T-\theta_R) = 0$ .

Die Leute werfen mathematische Gleichungen herum und sagen oft Unitarität, aber ich denke, wenn ich dieses Beispiel durchgehe, wird es viel klarer, was los ist. Unsere Einschränkung, Wahrscheinlichkeit = 1 sowohl für Einzel- als auch Überlagerungsfälle zu haben, erfordert, dass unsere Phase so ist $\pi/2$ .

Aus diesem Grund wird das Strahlteilermodell oft als "phänomenologisch" bezeichnet, da es einfach versucht, die Parameter an die Daten anzupassen, ohne auf einen mathematischen Widerspruch zu stoßen. (Anstatt vielleicht zu versuchen, den tatsächlichen Hamiltonian des Materials zu modellieren, das das Licht spaltet)

Ehrlich gesagt ist diese Antwort nur eine ganze Menge verwirrender Algebra, die nichts anderes tut, als es schwieriger zu machen, zu verstehen, was vor sich geht. Wenn Sie feststellen, dass Sie Quantenmechanik (statt klassischer Mechanik) benötigen oder explizite Ausdrücke für Reflexions- und Transmissionskoeffizienten verwenden, liegen Sie bereits falsch.
Und in ähnlicher Weise ist Ihre Schlussfolgerung ("es ist pi / 2 und nicht pi") absolut falsch - es ist keines von beiden. Wenn Sie etwas Konkretes wollen, um die Falschheit Ihres Beweises festzumachen, schauen Sie sich die Phasenmehrdeutigkeit in der Definition Ihrer Eingabe- und Ausgabe-Kets an. Dies sind willkürliche Basis-Kets und ihre Phasen können nach Belieben manipuliert werden - was sich direkt auf Ihre Schlussfolgerungen auswirkt.
Ich glaube, die Einschränkung, die ich mir ausgedacht habe, betrifft die relative Phase ( $\theta_r - \theta_t$ ) und nicht die willkürlichen einzelnen Phasen, daher bin ich mir nicht sicher, wie dieser Unterschied behoben wurde.
Wie gesagt, Ihre Schlussfolgerung ist absolut falsch; Es liegt an Ihnen, die Argumente zu beheben. Ich kann auf den ersten Fehler hinweisen - es ist die Behauptung, dass Ihre erste Gleichung die allgemeinste Form für diese Beziehung ist. Dies ist nicht der Fall - es ist nicht erforderlich, dass die Phasen auf beiden Leitungen gleich sind. Ähnlich ist der Schritt von Gl. 1 bis Gl. 2 ist falsch - Sie können Phasen nicht beliebig neu definieren, ohne explizit anzugeben, was Sie tun. An diesem Punkt haben Sie genug Falschheit angesammelt, um Ihr Argument vollständig zu versenken.
"Es ist nicht erforderlich, dass die Phasen auf beiden Leitungen gleich sind." Um es klar zu sagen, Sie sind mit dem Rochester-Tutorial, das ich in der Erklärung verlinkt habe, nicht einverstanden ? Meine Erklärung war ein Versuch, ein solches "Tutorial" klarer zu machen (und ich glaube, diese Art von "Quantenoptik"-Erklärung ist der Standard). Ich glaube, meine Gleichung 1 stimmt mit der Definition ihres Strahlteileroperators überein. Ich denke, die Verwendung von "Kets" ist vielleicht verwirrend, und darüber nachzudenken - vielleicht ist diese Form nicht so hilfreich (und vielleicht sogar falsch ...?)
Ganz am Anfang, wenn dieses Tutorial ist, sind einige der Phasen per Definition "zusammengeschlossen" - was ich als Ausgangspunkt genommen habe. Außerdem hielt ich Gleichung 2 für hilfreich, um zu veranschaulichen, wie sich die globale Phase auf nichts auswirkt, da sie verschwindet, wenn Sie die Wahrscheinlichkeiten aus den Koeffizienten der Ausgaben finden - aber dieser Schritt kann entfernt werden, und Sie gelangen immer noch zur richtigen Antwort . Ich denke, die Verwirrung hier ist ein Notationsproblem. Ich denke, es wird klarer, wenn ich mich explizit auf die Koeffizienten der Wahrscheinlichkeitsamplituden beziehe, anstatt ihre Kets einzubeziehen.
@ Steven Du machst Haarspaltereien und verfehlst weiterhin den Punkt. Deine Schlussfolgerung ist falsch. Sie können die Argumente, die Sie dorthin bringen, nicht reparieren, weil das Ziel eine falsche Aussage ist.
(Das Rochester-Tutorial, auf das Sie verlinkt haben, finde ich grundsätzlich in Ordnung. Es erhebt jedoch nicht den Anspruch auf Allgemeingültigkeit, den Ihre Antwort hat, weshalb es in Ordnung ist. Das Tutorial besagt, dass "Strahlteiler in Form X dargestellt werden können " ( was wahr ist) und Ihre Antwort macht die stärkere Behauptung "Strahlteiler müssen in Form X dargestellt werden", was falsch ist .)

Benutzer281763 · Answer 5

Die Leute sind sehr aufgeregt, wenn es um Quanten geht. Und allgemein hat man die Antwort: "Phase spielt in Quantenzuständen keine Rolle", aber es liegt nicht daran, dass es keine Rolle spielt, dass es sie nicht gibt! Im Fall des Strahlteilers wird die Phase durch die optischen Struktureigenschaften der gewählten BS bestimmt. Im Fall von zwei dielektrischen Schichten mit unterschiedlichen Indizes zeigen die Fresnel-Gleichungen (leicht abgeleitet von den Maxwell-Gleichungen) (aufgrund der Indexdifferenz n1-n2, die den Reflexionskoeffizienten berücksichtigt), dass die reflektierten Strahlen entgegengesetzte Vorzeichen haben, wenn sie auf der einen oder anderen Seite einfallen die BS. Dies ist reine Optik und kann nicht verworfen werden.

Bei Reflexion an einem Strahlteiler hinzugefügte Phase?

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