Darstellung von Spin-1-Dichtematrizen

Question

Darstellung von Spin-1-Dichtematrizen

Optik
Physik
Quanten-Spin
Quantenoptik
Dichteoperator
Quantenmechanik

Asier R.

Pauli-Matrizen können zusammen mit der Identitätsmatrix beliebig generiert werden $2\times 2$ Matrix. Indem wir die Bedingung hinzufügen, dass die Matrizen hermitesch sein müssen, und mit Spur 1 können wir Dichtematrizen für Spin- $\frac{1}{2}$ Systeme als

ρ = \frac{1}{2} (ICH + P \cdot σ),

$\rho=\frac{1}{2}(\mathbb{I} + \mathbf{P}\cdot\boldsymbol{\sigma}),$ wo wir die Polarisation bestimmen können

P

$\mathbf{P}$ mit den Ensemble-Durchschnitten durch

[S_{i}] \propto [σ_{i}] = P_{i}

$[S_i]\propto [\sigma_i]=P_i$ .

Für Spin- $1$ Systemen können wir die Gell-Mann-Matrizen ( $\boldsymbol{\lambda})$ anstatt die Pauli-Matrizen darzustellen $3\times 3$ Dichtematrizen:

ρ = \frac{1}{3} (ICH + Λ \cdot λ),

$\rho = \frac{1}{3}(\mathbb{I}+\boldsymbol{\Lambda}\cdot\boldsymbol{\lambda}),$ Wo

Λ

$\boldsymbol{\Lambda}$ ist ein Längenvektor

8

$8$ . Die Gell-Mann-Matrizen sind jedoch nicht direkt mit den Spinkomponenten verwandt, wie dies bei Pauli-Matrizen der Fall ist. Wir können diese Dichtematrizen also anders darstellen (ich kann keine Literatur dazu finden):

ρ = \frac{1}{3} (ICH + P \cdot σ + W \cdot T),

$\rho=\frac{1}{3}(\mathbb{I} + \mathbf{P}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{W}\cdot\mathbf{T}),$ Wo

W

$\mathbf{W}$ ein Vektor der Länge 5 ist, und

T

$\mathbf{T}$ besteht aus 5 Matrizen wo

T_{ich J} = \frac{1}{2} (J_{ich} J_{J} + J_{J} J_{ich}) - \frac{2}{3} δ_{ich J}, ich, J \in {1, 2, 3}, ich \leq J .

$T_{ij}=\frac{1}{2}(J_iJ_j+J_jJ_i)-\frac{2}{3}\delta_{ij}, \hspace{3mm}i,j \in \{1,2,3\}, \hspace{3mm} i\leq j.$ (

J_{i}

$J_i$ sind die Drehimpulsoperatoren für den Spin

1

$1$ .) Dann, nehme ich an

P

$\mathbf{P}$ bezieht sich auf

[J]

$[\mathbf{J}]$ auf die gleiche Weise wie zuvor, und dass die Elemente von

W

$\mathbf{W}$ Stehen im Zusammenhang mit

[J_{i} J_{j}]

$[J_iJ_j]$ .

Wie sind diese $T_{ij}$ Matrizen genannt, und wo kann ich etwas über diese Darstellung der Dichtematrix für Spin- $1$ Systeme (das ohne die Gell-Mann-Matrizen)? Sind die letzten beiden Aussagen wahr? Dies sind Dinge, die in meinen QM-Notizen erwähnt werden, aber ich kann nirgendwo etwas Ähnliches finden.

Dast

Ich hatte ein ähnliches Problem bei der Betrachtung der Polarisation von Licht (Photonen sind Spin-1, ihre Polarisationskarten entsprechen ihrem Spin). Ich habe es nie gelöst, aber dieses Papier war sehr hilfreich: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… (Obwohl es scheint, dass Sie die Informationen bereits selbst haben)

Antworten (2)

Darstellung von Spin-1-Dichtematrizen

Ich hatte ein ähnliches Problem bei der Betrachtung der Polarisation von Licht (Photonen sind Spin-1, ihre Polarisationskarten entsprechen ihrem Spin). Ich habe es nie gelöst, aber dieses Papier war sehr hilfreich: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… (Obwohl es scheint, dass Sie die Informationen bereits selbst haben)

Kosmas Zachos · Answer 1

Möglicherweise geben Sie den Gell-Mann-Matrizen einen schlechten Ruf. Sie sind alle spurlos einsiedlerisch, aber sie sind real, bis auf die drei imaginären, $\lambda_2,\lambda_5,\lambda_7$ die imaginär antisymmetrisch sind, also multipliziert mit i die drei antisymmetrischen Generatoren von SO(3) in der Triplett-Darstellung (Spin 1) umfassen. Erblicken.

Ihre drei σ sind also die antisymmetrischen oben (mit den Indizes 2,5,7), und Ihre fünf symmetrischen (mit den Indizes 1,3,4,6,8) sind der Rest, T , geeignet normalisiert. Sie sind zusammen mit der Identität ein vollständiger Satz für hermitesche 3×3-Matrizen und orthonormal .

Tr (λ_{A} λ_{B}) = 2 δ_{A B},

$\operatorname {Tr} (\lambda_a \lambda_b)=2\delta_{ab},$ Wenn Sie also mit σ für seinen Erwartungswert verfolgen, erhalten Sie Ihr Ergebnis.

Ich glaube nicht, dass es einen populären Namen für die antisymmetrische / symmetrische Aufteilung gibt, aber wenn Sie jemals ihre Strukturkonstanten (GM-Matrizen) verstanden haben, verlassen Sie sich auf genau diese Aufteilung, um zu verstehen, warum sie so spärlich sind .

Aber das gleiche Argument gilt für die Spärlichkeit der symmetrischen d- Koeffizienten für die Antikommutatoren.

Das heißt, aus der offensichtlichen Symmetrie der Matrix

{λ_{A}, λ_{B}} = \frac{4}{3} δ_{A B} + 2 D_{A B C} λ_{C}

$\{\lambda_a,\lambda_b\}=\frac{4}{3}\delta_{ab} +2d_{abc}\lambda_c$ Wo

d_{a b c}

$d_{abc}$ sind die vollständig symmetrischen Koeffizientenkonstanten, treten auf der rechten Seite nur die symmetrischen aus der T- Menge auf, wenn beide Matrizen im Antikommutator auf der linken Seite antisymmetrisch sind, wie in Ihrer Frage: Die d s verschwinden, wenn die Anzahl der Indizes ab die Menge {2,5,7} ist ungerade!

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Antikommutator von zwei beliebigen σ eine lineare Kombination von T s ist, sodass das Invertieren dieser 6 Gleichungen (eingeschränkt durch Spurlosigkeit) die 5 T s in Bezug auf die 3 σ s definiert .

ZeroTheHero · Answer 2

Es kann sein, dass das, wonach Sie suchen, das ist $\mathfrak{so}(3)$ Grundlage von $\mathfrak{su}(3)$ aufgespannt durch die drei Drehimpuls- und die fünf Quadrupoloperatoren. Als reelle Matrizen sind die Drehimpulse antisymmetrische Matrizen und die Quadrupole spurlose symmetrische Matrizen. Als hermitesche Operatoren gibt es $i$ ist hier und da.

Diese Matrizen waren in den Tagen der Atomkraft sehr beliebt $\mathfrak{su}(3)$ Modell für Rotationsbänder in deformierten Kernen. Google bietet keine offensichtlich zugänglichen Referenzen, aber die beiden kanonischen Referenzen sind es

Harvey, Malcom. "Das nukleare SU 3-Modell." In Fortschritte in der Kernphysik, S. 67-182. Springer, Boston, MA, 1968, und die Originalarbeiten von Elliott: Elliot, JP, Proc. Roy. Soc., A 245: 128 und 562, 1958.

Es nahm die folgenden Matrizen ab

Rowe, DJ, Le Blanc, R. und Repka, J., 1989. A rotor expansion of thesu (3) Lie algebra. Journal of Physics A: Mathematical and General, 22(8), p.L309.

Mit $C_{ij}$ bezeichnet die $3\times 3$ Matrix mit $1$ in Reihe $i$ und Spalte $j$ , Und $0$ woanders haben wir:

\begin{aligned} L_{0} & = - ich (C_{23} - C_{32}), L_{\pm 1} = - ich (C_{31} - C_{13} \pm (C_{12} - C_{21}), \\ Q_{20} & = 2 C_{11} - C_{22} - C_{33}, Q_{2 \pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{2}} (C_{12} + C_{21} \pm ich C_{13} \pm ich C_{31} \\ Q_{2 \pm 2} & = \sqrt{\frac{3}{2}} (C_{22} - C_{33} \pm ich C_{23} \pm ich C_{32}) \end{aligned}

$\begin{align} L_0&=-i(C_{23}-C_{32})\, ,\quad L_{\pm 1}= -i (C_{31}-C_{13}\pm (C_{12}-C_{21})\, ,\\ Q_{20}&= 2C_{11}-C_{22}-C_{33}\, ,\quad Q_{2\pm 1}= \mp \sqrt{\frac{3}{2}}(C_{12}+C_{21}\pm i C_{13}\pm iC_{31}\\ Q_{2\pm 2}&=\sqrt{\frac{3}{2}}(C_{22}-C_{33}\pm i C_{23}\pm i C_{32}) \end{align}$ Die Quadrupolmomente sind Elemente von an

L = 2

$L=2$ Tensoroperator.

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Asier R.

Dast

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Kosmas Zachos

ZeroTheHero

Eine Zusammenfassung in Quantenoptik-Papier

Sind kohärente Lichtzustände „klassisch“ oder „Quanten“?

Wie schreibe ich den Ausgangszustand eines Strahlteilers?

Einzelnes Photon durch Prisma

Zustand vorbereiten |χ⟩=12√|12,+12⟩+12√|12,−12⟩|χ⟩=12|12,+12⟩+12|12,−12⟩|\chi\rangle=\ frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle

Matrixdarstellung des Strahlteilers zur numerischen Berechnung der Ausgabe basierend auf der Eingabe einer gegebenen Photonenzahl (Fock-Zustand).

Warum haben die angeregten Zustände eines Atoms eine Energiebreite?

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