Eine Zusammenfassung in Quantenoptik-Papier

Question

Eine Zusammenfassung in Quantenoptik-Papier

W. Voltera

Ich gehe die Zeitung „ Moments of $P$ Funktionen und nichtklassische Tiefen von Quantenzuständen “, die folgende Passage enthält:

A. Thermischer Zustand

Die Dichtematrix des thermischen Zustands kann geschrieben werden als
$\begin{matrix} (3.1) & {\hat{ρ}}_{th} = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{⟨ N ⟩^{N}}{(⟨ N ⟩ + 1)^{N + 1}} | N ⟩ ⟨ N | . \end{matrix}$ $\hat{\rho}_{\text{th}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\lvert n\rangle\langle n\rvert.\tag{3.1}$ Wir können also die Momente wie folgt erhalten: $\begin{aligned} μ_{k, l} & = Tr [({\hat{A}}^{†})^{l} (\hat{A})^{k} {\hat{ρ}}_{th}] \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{⟨ N ⟩^{N}}{(⟨ N ⟩ + 1)^{N + 1}} ⟨ N | ({\hat{A}}^{†})^{l} (\hat{A})^{k} | N ⟩ \\ = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{⟨ N ⟩^{N}}{(⟨ N ⟩ + 1)^{N + 1}} \frac{N!}{(N - k)!} δ_{k, l} \\ (3.2) & = k! ⟨ N ⟩^{k} δ_{k, l} . \end{aligned}$ $\begin{align}\mu_{k,l} &= \operatorname{Tr}\bigl[(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k \hat{\rho}_{\text{th}}\bigr] \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}}\langle n\rvert(\hat{a}^\dagger)^l (\hat{a})^k\lvert n\rangle \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\langle n\rangle^n}{\bigl(\langle n\rangle + 1\bigr)^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} \delta_{k,l} \\ &= k!\langle n\rangle^k \delta_{k,l}.\tag{3.2} \end{align}$

Ich möchte den letzten Schritt von Gl. 3.2. Wie wird diese Summierung durchgeführt, um die endgültige Antwort zu erhalten?

Knzhou

Hinweis: Verwenden Sie den Binomialsatz.

Sunyam

Die Endsumme sollte aus sein

k

$k$ Zu

\infty

$\infty$ .

Durch Symmetrie

Wenn Sie eine neue Frage stellen möchten, stellen Sie sie bitte als neue Frage, anstatt eine vorhandene bis zur Unkenntlichkeit zu bearbeiten. Das Ziel der Beantwortung von Fragen auf dieser Website besteht nicht nur darin, der Person zu helfen, die die Frage stellt, sondern auch anderen zu helfen, die möglicherweise dieselbe Frage haben. Diese Frage hat jetzt Antworten, die keinen Bezug zu dem haben, was Sie fragen, was die Dinge für andere Menschen, die nach Antworten suchen, schwieriger macht. Bitte machen Sie Ihre Änderung rückgängig und stellen Sie Ihre neue Frage separat.

W. Voltera

Dieser Fehler tut mir leid. Ich werde mich an die Frage erinnern und sie erneut posten.

Antworten (2)

Eine Zusammenfassung in Quantenoptik-Papier

Wenn Sie eine neue Frage stellen möchten, stellen Sie sie bitte als neue Frage, anstatt eine vorhandene bis zur Unkenntlichkeit zu bearbeiten. Das Ziel der Beantwortung von Fragen auf dieser Website besteht nicht nur darin, der Person zu helfen, die die Frage stellt, sondern auch anderen zu helfen, die möglicherweise dieselbe Frage haben. Diese Frage hat jetzt Antworten, die keinen Bezug zu dem haben, was Sie fragen, was die Dinge für andere Menschen, die nach Antworten suchen, schwieriger macht. Bitte machen Sie Ihre Änderung rückgängig und stellen Sie Ihre neue Frage separat.
Dieser Fehler tut mir leid. Ich werde mich an die Frage erinnern und sie erneut posten.

QMechaniker · Answer 1

Hinweis: Verwenden Sie den verallgemeinerten Binomialsatz

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{(1 - X)^{S}} = \sum_{N = 0}^{\infty} (S)^{N} \frac{X^{N}}{N!}, X, S \in C, | X | < 1, \end{matrix}

$\frac{1}{(1-x)^s}~=~\sum_{n=0}^{\infty} (s)^n\frac{x^n}{n!}, \qquad x,s\in\mathbb{C} , \qquad|x|<1 , \tag{1}$ Wo

\begin{matrix} (2) & (S)^{N} := \frac{Γ (S + N)}{Γ (S)} = \frac{(N + S - 1)!}{(S - 1)!} \end{matrix}

$(s)^n~:=~\frac{\Gamma(s+n)}{\Gamma(s)}~=~\frac{(n+s-1)!}{(s-1)!}\tag{2}$ ist das Pochhammer-Symbol / steigende Fakultät .

Ich hatte die Notation noch nie gesehen $(s)^n$ für das Pochhammer-Symbol - normalerweise sehe ich es notiert $(s)_n$ . Gibt es einen bestimmten Grund für die Änderung?
Zugegebenermaßen habe ich das auch nicht. Ich dachte, dass durch Erhöhen des Indexes zu einem Hochgestellten es nicht mit der fallenden Fakultät verwechselt werden könnte .
Fair genug - nur wird es jetzt nur mit einer gewöhnlichen Kraft verwechselt ;-). Es ist deutlich beschriftet, also ist es kein Problem.

Sunyam · Answer 2

Sunyam

Wie in meiner Kommentarzusammenfassung ( over $n$ ) läuft von $k$ Zu $\infty$ da kannst du nicht mehr zerstören $n$ Photonen in einem Zustand $|n\rangle$ .

Tipp: Verwenden

\sum_{N = k}^{\infty} \frac{N!}{(N - k)!} X_{}^{N - k} = (\frac{D}{D X})_{}^{k} \frac{1}{1 - X}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{(n-k)!}x_{}^{n-k}=(\frac{d}{dx})_{}^{k}\frac{1}{1-x}$ .

W. Voltera

Danke @Sunyam. Du meinst, das Papier hat eine Korrektur? Aber das ist die Art und Weise, die Spur zu definieren. Man muss die Summe über alle Zustände n nehmen.

Sunyam

Der zweite Schritt ist vollkommen in Ordnung, aber der dritte Schritt kann wahrscheinlich ein Tippfehler sein, die Summe sollte von sein

k

$k$ Zu

\infty

$\infty$ (als

⟨ n | (a_{}^{†})_{}^{l} (a_{}^{})_{}^{k} | n ⟩ \neq 0

$\langle n|(a_{}^{\dagger})_{}^{l}(a_{}^{})_{}^{k}|n\rangle \neq 0$ nur für

n \geq k = l

$n\geq k=l$ ).

W. Voltera

Ich bekomme immer noch keine endgültige Antwort. Hast du das erreicht

k! ⟨ n ⟩^{k}

$k! \langle n \rangle^k$ ?

Sunyam

Ja. Verwenden

\sum_{n = k}^{\infty} \frac{⟨ n ⟩_{}^{n}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{n + 1}} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} \sum_{n = k}^{\infty} (\frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}})_{}^{n - k} \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{⟨ n ⟩_{}^{k}}{(1 + ⟨ n ⟩)_{}^{k + 1}} (\frac{d}{d x})_{}^{k} (\frac{1}{1 - x}) |_{x = \frac{⟨ n ⟩_{}^{}}{1 + ⟨ n ⟩_{}^{}}} = k! ⟨ n ⟩_{}^{k}

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\langle n \rangle_{}^{n}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{n+1}}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}\sum_{n=k}^{\infty}(\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}})_{}^{n-k}\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\langle n \rangle_{}^{k}}{(1 + \langle n \rangle)_{}^{k+1}}(\frac{d}{dx})_{}^{k}(\frac{1}{1-x})|_{x=\frac{\langle n \rangle_{}^{}}{1 + \langle n \rangle_{}^{}}}=k!\langle n \rangle_{}^{k}$

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