Zustand vorbereiten |χ⟩=12√|12,+12⟩+12√|12,−12⟩|χ⟩=12|12,+12⟩+12|12,−12⟩|\chi\rangle=\ frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle

Betrachten Sie den Spinzustand eines Spinteilchens S = 1 2 . Was die Spin-Freiheitsgrade betrifft, die Operatoren S 2 Und S z bilden den vollständigen Satz von pendelnden Observablen, d. h. [ S 2 , S z ] = 0 . Angenommen, wir messen beides S 2 Und S z . Messung von S z liefert entweder die Werte M S = + 1 2 oder M S = − 1 2 . Nehmen Sie außerdem an, dass wir in 50 % der Fälle feststellen, dass sich das Partikel im befindet + 1 2 Zustand (bezeichnet mit | 1 2 , + 1 2 ⟩ ) und die anderen 50 % der Zeit in der M S = − 1 2 Zustand (bezeichnet mit | 1 2 , − 1 2 ⟩ ).

  1. Was stellt das obige Ensemble basierend auf diesen Informationen dar? Ist es ein reines oder ein gemischtes Ensemble? Ich vermute, dass es sich um ein gemischtes Ensemble handelt.

  2. Wenn rein (was ich bezweifle), der normalisierte Spin-Zustand | χ ⟩ des Teilchens kann geschrieben werden als

    (1) | χ ⟩ = e ich ϕ 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + e ich ϕ 2 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩
    Wo ϕ 1 , ϕ 2 sind willkürliche Phasen. Daher ist der Spinzustand des Systems nicht eindeutig spezifiziert, da die relative Phase nicht festgelegt werden kann.

  3. Wie bereitet man einen Zustand mit ϕ 1 = ϕ 2 = 0 so dass

    (2) | χ ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ?

Es könnte eine gute Idee sein, in Ihren Titel aufzunehmen, dass es bei dieser Frage speziell um den Phasenfaktor geht
1. "Daher kann der Zustand des Systems nicht eindeutig angegeben werden, obwohl es sich um einen reinen Zustand handelt." - warum ist das überraschend? Sie haben unvollständige Informationen gegeben - ein echter Parameter, nämlich die Wahrscheinlichkeit, in einer bestimmten Situation zu sein S z Zustand - aber der Raumzustand, die Blochkugel, hat zwei reale Parameter. Bitte stellen Sie keine Fragen, auf die die Antwort wahrscheinlich einfach „Ja“ lautet. 2. Wenn dies eine Frage zum experimentellen Verfahren sein soll, scheint dies eine ganz andere Frage als die erste zu sein und sollte separat gestellt werden. Ich würde empfehlen, das erste zu entfernen / zu klären und das zweite zu erweitern.
@ACuriousMind 1. Wie weiß man a priori, ob die Antwort ja sein wird? Eine Frage wird normalerweise gestellt, wenn die Person, die fragt, verwirrt ist. 2. Ich denke nicht, dass es eine experimentelle Frage ist. Es ist eine konzeptionelle Frage.
Wenn es sich nicht um eine experimentelle Frage handelt (was nicht vom Thema abweicht!), Weiß ich nicht, was Sie mit "vorbereiten" meinen.

Antworten (4)

Basierend auf den von Ihnen bereitgestellten Informationen,

[Wenn wir messen S z , dann] 50% der Zeit finden wir das Teilchen in der + 1 2 Zustand (bezeichnet mit | 1 2 , + 1 2 ⟩ ) und die anderen 50 % der Zeit in der M S = − 1 2 Zustand (bezeichnet mit | 1 2 , − 1 2 ⟩ )

Es gibt nicht genügend Informationen, um zu sagen, ob sich das System in einem reinen oder gemischten Zustand befindet. Als zwei konkrete Beispiele, beides

  • der vollständig gemischte Zustand ρ = 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , − 1 2 | + | 1 2 , 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , 1 2 | ) , Und
  • der reine Zustand | ψ ⟩ = 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ + | 1 2 , 1 2 ⟩ ) ,

mit diesen Messstatistiken kompatibel sind. Der allgemeinste Zustand, der diese Messergebnisse erzeugt, hat eine Dichtematrix der Form

ρ = ( 1 2 ρ 12 ∗ ρ 12 1 2 ) ,
im { | 1 2 , + 1 2 ⟩ , | 1 2 , − 1 2 ⟩ } Grundlage, wo ρ 12 ist die Kohärenz zwischen den beiden Basiszuständen; Dies kann Null sein (was den vollständig gemischten Zustand ergibt) oder eine beliebige komplexe Zahl mit einem Modul bis zu 1 / 2 (in diesem Fall ist der Zustand ein reiner Zustand mit der Phase von ρ 12 was die relative Phase zwischen den Basiszuständen in der Überlagerung angibt) oder irgendwo dazwischen (was auf eine teilweise Kohärenz zwischen den beiden Zuständen hinweist).

Wenn Sie ausdrücklich wissen, dass Sie keine weiteren Informationen über den Status haben, dann verwenden Sie standardmäßig den vollständig gemischten Status. Dies liegt daran, dass, wie Sie bemerken, um mit diesen Statistiken von einem reinen Zustand sprechen zu können, es sich um einen Überlagerungszustand der Form mit geraden Gewichten handeln muss

| χ ϕ ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + e ich ϕ 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
und Sie müssen eine relative Phase angeben ϕ zwischen den beiden (die globale Phase ist dagegen irrelevant), und wenn Sie keine weiteren Informationen haben, können Sie nicht wissen, was Sie einplanen sollen ϕ . Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, eine Mittelung durchzuführen, bei der alle verschiedenen Phasen gleich wahrscheinlich sind, und dies gibt Ihnen ...
ρ = ∫ 0 2 π | χ ϕ ⟩ ⟨ χ ϕ | D ϕ = ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 e − ich ϕ e ich ϕ 1 ) D ϕ = 1 2 ( 1 0 0 1 )
der vollständig gemischte Zustand.

Wenn Sie andererseits mehr Informationen über den Zustand haben (wie Messstatistiken auf S X Und S j ), dann können Sie mehr über die Phase sagen, aber in einer so verallgemeinerten Situation können Sie sehr wenig mehr sagen.

Und schließlich, wie Sie die Überlagerung der positiven Phase vorbereiten,

| + ⟩ = 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
der bequemste Weg ist zu messen S X und warte auf ein Ergebnis von + 1 / 2 , aber wirklich, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, zu diesem Ergebnis zu gelangen, also ist es keine besonders beantwortbare Frage.

Bauen Sie ein Stern-Gerlach-Experiment auf, filtern Sie den Strahl darüber z ^ mit einem magnetischen Gradienten entlang dieser Achse messen Sie die X ^ Komponente des Spins: Ihr Zustand ist eine Kombination aus dem ± Eigenzustände von σ X .

  1. Wenn Sie messen S z mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu finden = 1 / 2 oder − 1 / 2 es bedeutet, dass das Spin-System in einer Richtung senkrecht dazu präpariert wurde z . Nennen wir es ohne Beschränkung der Allgemeinheit das X Richtung. Der Zustand, den Sie geschrieben haben, ist nur der allgemeine Zustand des Spins in der X Richtung, die eine Linearkombination ist

    | χ ⟩ = A | + 1 / 2 ⟩ + B | − 1 / 2 ⟩ ,
    auf eine Normalisierungsbedingung beschränkt,
    | ⟨ χ | χ ⟩ | 2 = 1 ,
    und zu den Fundwahrscheinlichkeiten S z = ± 1 / 2 Bedingungen,
    | ⟨ + 1 / 2 | χ ⟩ | 2 = 1 / 2 , | ⟨ − 1 / 2 | χ ⟩ | 2 = 1 / 2.
    Die Lösung für die Koeffizienten ist A = e ich ϕ 1 / 2 Und B = e ich ϕ 2 / 2 .

  2. Der Staat

    | + X ⟩ = 1 2 ( | + 1 / 2 ⟩ + | − 1 / 2 ⟩ ) ,
    ist so, dass beim Messen S X es gibt + 1 / 2 stets. Nehmen wir nun an, Sie beginnen mit einem Ensemble von Spins, mit denen Sie vorbereitet sind S z = + 1 / 2 . Wollen Sie jetzt das System auf den Stand vorbereiten S X = + 1 / 2 , drehen Sie einfach den Apparat (z. B. ein Stern-Gerlach-Gerät) in die X Richtung und messen Sie den Spin. Die Hälfte der Messungen wird angezeigt S X = + 1 / 2 und diese Spins sind alle vorbereitet | + X ⟩ . Die andere Hälfte gibt S X = − 1 / 2 und werden darin zubereitet | − X ⟩ .

  1. Ja, der Spinzustand ist nicht eindeutig festgelegt. Du kannst die Phase eigentlich weglassen e ich ϕ 1 und dann | χ >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + e ich ϕ 2 | 1 2 , − 1 2 > , da es egal ist, ob das System isoliert ist.

  2. Es ist wie, wenn man die Richtung kennt z ^ , können Sie die Richtung angeben X ^ ? Nein, Sie können nur die xy-Ebene bestimmen und definieren X ^ falls Sie es wollen. Sie müssen also die Richtung von definieren | χ + >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + 1 2 | 1 2 , − 1 2 > Erste.

    Sagen wir die Richtung von | 1 2 , + 1 2 > : z ^ , und die Richtung Ihres gesuchten | χ + > : X ^ . Sie können dann ein Ensemble von Zuständen in Richtung messen X ^ , und nehmen Sie die Zustände auf, die zusammenbrechen | χ + >

Zustand vorbereiten |χ⟩=12√|12,+12⟩+12√|12,−12⟩|χ⟩=12|12,+12⟩+12|12,−12⟩|\chi\rangle=\ frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle
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