Verschränkte Vektoren im Hilbertraum

Wir betrachten ein System aus zwei Spinteilchen 1 2 , die jeweils durch den zweidimensionalen Ein-Teilchen-Hilbert-Raum beschrieben werden H . Lassen | ± ⟩ ∈ H bezeichnen die Eigenvektoren des Spinoperators S ^ 3 .

Ich möchte zeigen, dass die Vektoren

φ ± = 1 2 ( | + ⟩ ⊗ | + ⟩ ± | − ⟩ ⊗ | − ⟩ ) ψ ± = 1 2 ( | + ⟩ ⊗ | − ⟩ ± | − ⟩ ⊗ | + ⟩ )
bilden eine orthonormale Basis von maximal verschränkten Vektoren (Bell-Basis) in H ⊗ H .

Nun, es ist sehr einfach zu zeigen, dass die Vektoren orthonormal sind und eine Basis im Hilbertraum bilden. Ich habe Probleme zu beweisen, dass die Vektoren maximal verschränkt sind.

Ich weiß, dass ein reiner Zustand maximal verschränkt heißt, wenn die Eigenwerte der reduzierten Dichtematrix gleich sind. Also soll ich die Dichtematrix berechnen ϱ = | φ ± ⟩ ⟨ φ ± | . Kann ich wirklich davon ausgehen, dass die Vektoren reine Zustände sind?

Was ist ein reiner Zustand, wenn nicht ein einzelner Vektor? Außerdem sind die beiden Bell-Vektoren keine Basis des vollständigen Hilbert-Raums.
@ACuriousMind Vielleicht hast du die Tatsache übersehen, dass die Vektoren vier sind! Sie sind eine orthonormale Basis von C 2 ⊗ C 2 da sie vier sind, paarweise orthogonal und normalisiert.
@ValterMoretti: Oh, du hast natürlich Recht. Ich würde trotzdem fragen, wie das OP einen reinen Zustand definiert.
Wenn er den Zustand als Vektoren ausdrückt, dann sind es reine Zustände.

Antworten (1)

Wie @ACuriousMind in seinem Kommentar betonte, ist die Definition eines reinen Zustands eine, die ein Vektor von ist H , in diesem Fall C 2 ⊗ C 2 . Wenn Sie zum Beispiel nehmen ρ = | φ + ⟩ ⟨ φ + | , die Matrix mit reduzierter Dichte auf dem ersten Raum ist

ρ 1 = Tr 2 ⁡ ρ = ( ICH ⊗ ⟨ + | ) ρ ( ICH ⊗ | + ⟩ ) + ( ICH ⊗ ⟨ − | ) ρ ( ICH ⊗ | − ⟩ ) = ( ICH ⊗ ⟨ + | ) | φ + ⟩ ⟨ φ + | ( ICH ⊗ | + ⟩ ) + ( ICH ⊗ ⟨ − | ) | φ + ⟩ ⟨ φ + | ( ICH ⊗ | − ⟩ ) = 1 2 | + ⟩ ⟨ + | + 1 2 | − ⟩ ⟨ − | = ICH 2
So, ρ 1 hat gleiche Eigenwerte 1 / 2 . Wenn Sie ähnliche Berechnungen für die anderen Vektoren oder den zweiten Vektor durchführen, erhalten Sie dasselbe Ergebnis, was zeigt, dass diese maximal verschränkt sind.

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