Ist Verschränkung nicht zustandsintrinsisch, sondern abhängig von der Teilung in Subsysteme? (Süsskind QM)

Question

Ist Verschränkung nicht zustandsintrinsisch, sondern abhängig von der Teilung in Subsysteme? (Süsskind QM)

johndecker

Ich arbeite mich gerade durch Susskinds „Quantum Mechanics“-Buch (TTM-Serie), das mir sehr gefällt.

Hintergrund

In Vorlesung 7 (Kapitel 7) untersucht er ein 2-Spin-System. Ein einzelner Spin hat Eigenvektoren:

| u ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | D ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$|u\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~~ |d\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

und dann hat ein 2-Spin-Zustand Eigenvektoren:

| u u ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | u D ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | D u ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | D D ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$|uu\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},~~ |ud\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},~~ |du\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},~~ |dd\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

Alice studiert die erste mit einem Operator $\sigma$ und Bob der zweite mit einem Operator $\tau$ (Dies sind wirklich Produktoperatoren von Single-Spin $\sigma_z$ mit der Identität $I$ : $\sigma_z\bigotimes I$ Und $I\bigotimes\sigma_z)$ :

σ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) τ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ~~~ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Nun zu den interessanten Sachen .

Wir können einen Produktzustand haben, in dem die beiden Spins ("Subsysteme") unabhängig sind (keine Verschränkung):

ψ = (A_{1} | u ⟩ + A_{2} | D ⟩) ⨂ (B_{1} | u ⟩ + B_{2} | D ⟩)

$\psi ~=~ (a_1|u\rangle+a_2|d\rangle)\bigotimes(b_1|u\rangle+b_2|d\rangle)$

= A_{1} B_{1} | u u ⟩ + A_{1} B_{2} | u D ⟩ + A_{2} B_{1} | D u ⟩ + A_{2} B_{2} | D D ⟩ (1)

$~~~=~a_1b_1|uu\rangle+a_1b_2|ud\rangle+a_2b_1|du\rangle+a_2b_2|dd\rangle~~~(1)$

bei dem die $a_i$ Und $b_i$ separat normalisiert werden $1$ so dass, wenn wir die Erwartung für einen der Spins berechnen, der andere überhaupt nicht berücksichtigt wird. Zum Beispiel $\langle\psi|\sigma|\psi\rangle=a_1^2-a_2^2$ ohne Aussehen der $b_i$ .

Dann sagt Susskind, dass die meisten zufällig gewählten Koeffizienten der $|uu\rangle...$ (normalisiert) wird nicht wie in faktorisiert $(1)$ . Dann sind sie verstrickt. Und ein Beispiel für einen maximal verschränkten Zustand ist der Singulett-Zustand:

| S ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| u D ⟩ - | D u ⟩)

$|S\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle-|du\rangle)$

Jetzt $\langle S|\sigma|S\rangle=0$ Sie haben also null Informationen über die einzelnen Drehungen. Sie haben jedoch Informationen über korrelierte Messungen, weil $\langle S|\tau\sigma|S\rangle=-1$ wo durch Matrixmultiplikation

τ_{z} σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\tau_z\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Susskind diskutiert dann, wie Sie testen können, ob ein Zustand verschränkt ist oder nicht (und wie stark verschränkt), indem Sie die Korrelation von Operatoren berechnen $A$ Und $B$ , oder Überprüfung der Eigenwerte von Einzustandsdichtematrizen ( $\rho_{2x2})$ , was sein sollte $\{1,0,0,0...\}$ , oder Überprüfung, ob die Zustandskoeffizienten $\{0,\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2},0\}$ kann wie in faktorisieren $(1)$ (sie können nicht).

Frage (umgeschrieben nach hilfreichen Antworten von tparker und Emilio Pisanty)

Sind diese Verschränkungstests nicht alle relativ zu den gewählten 4x4-Operatoren, $\sigma_z$ Und $\tau_z$ , die eine besondere Wahl der Aufteilung des Staates in Subsysteme widerspiegeln?

Anstelle einer Unterteilung basierend auf den beiden Spins können wir basierend auf unterteilen $|S\rangle$ und die Triplettzustände $|T_1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle+|du\rangle),~~|T_2\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle+|dd\rangle)$ Und $|T_3\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle-|dd\rangle)$ . Lassen Sie uns die Basis mit einer Ähnlichkeitsmatrix ändern $P=(|T_3\rangle~|T_2\rangle~|T_1\rangle~|S\rangle)$ . Auf dieser neuen Grundlage $|S\rangle...|T_3\rangle$ sind Basisvektoren und

A = τ_{z} σ_{z, N e w B A S ich S} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$A=\tau_z\sigma_{z,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

B = τ_{j} σ_{j, N e w B A S ich S} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$B=\tau_y\sigma_{y,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Wir betrachten die neuen Basisvektoren als Produktvektoren, die isomorph zu einzelnen Spins sind, die jeweils in gekennzeichneten Zuständen sein können $|+\rangle$ Und $|-\rangle$ (um nicht zu verwechseln $|u\rangle$ Und $|d\rangle$ ) und das bekommen wir

| S ⟩ = | - - ⟩, | T_{1} ⟩ = | - + ⟩, | T_{2} ⟩ = | + - ⟩, | T_{3} ⟩ = | + + ⟩

$|S\rangle = |{--}\rangle,~~~~ |T_1\rangle = |{-+}\rangle,~~~~ |T_2\rangle = |{+-}\rangle,~~~~ |T_3\rangle = |{++}\rangle$

Seit $A$ Und $B$ in Form von Produktoperatoren sind, können wir sie eine neue Unterteilung des Gesamtsystems definieren lassen. Jedes neue Subsystem entspricht nicht mehr einem Elektron an einem bestimmten Ort, wie bei der ursprünglichen Teilung. Man kann sich vorstellen, dass A und B jeweils auf einem Etikett arbeiten (A auf dem ersten + oder -, B auf dem zweiten).

Mit dieser neuen Unterteilung wird jeder von $|S\rangle...|T_3\rangle$ sind nicht verstrickt.

Schlussfolgern

Die Verschränkung liegt im Auge des Betrachters (4x4-Fahrer oder Untersystemabteilung). Ja?

Biophysiker

Sie schlagen also vor, den willkürlichen Zustand als Überlagerung der Singulett- und Triplettzustände anstelle der 2-Spin-Zustände zu erweitern? Ich schätze, Sie bräuchten ein Messgerät, das nur den Singulett-/Triplettzustand bestimmt, ohne einzelne Spins zu messen?

johndecker

Ja. Ich bin sicher, es gibt praktische Probleme beim Bau von Geräten. Aber auf einer abstrakten Ebene erlaubt uns QM, beliebige Observablen zu erstellen und Operatoren in ihrer Eigenvektorbasis zu definieren. Verschränkung ist keine intrinsische Eigenschaft eines Staates. Verschränkung wird normalerweise diskutiert, wobei die "Subsysteme" als zwei Spins ausgewählt werden, die physisch entfernt werden, denn genau das passiert in dem interessanten EPR/Bell-Fall. Ich denke: Ein Zustand ist nur ein Zustand, und ob er verstrickt erscheint oder nicht, hängt davon ab, wie Sie damit interagieren (beobachten, darauf reagieren).

Biophysiker

Um es etwas anders zu formulieren, schlagen Sie vor, dass es möglich sein sollte, einen Zustand einzunehmen, in dem eine Überlagerung keine Sätze von Koeffizienten hat, deren Quadrate sich summieren

1

$1$ , aber wenn wir denselben Zustand als Überlagerung mit einer anderen Basis ausdrücken würden, würden wir feststellen, dass eine Partition der Koeffizienten existiert, so dass die Summe der Quadrate innerhalb jeder Partition summiert

1

$1$ . Wenn Sie das sagen, dann gebe ich Ihnen Recht, aber das ist nicht mein zentrales Studiengebiet. Hoffentlich kann sich jemand mit mehr Erfahrung dazu äußern.

johndecker

@AaronStevens, im Wesentlichen ja. (Obwohl ich nicht sicher bin, ob ich die Teile Überlagerungen nennen würde; vielleicht "Faktor-Subzustände".

Biophysiker

Aber genau das sind sie ... sie sind Überlagerungen. Indem wir einen Zustand nehmen und ihn als Summe anderer Zustände ausdrücken, bilden wir buchstäblich eine Superposition. Das ist eine Superposition. Ich nenne nicht jeden Term der Superposition eine Superposition.

wcc

Sie haben diesen Ausdruck ... "dann ist weder |S⟩ noch |T⟩ verschränkt, sondern reine Zustände." Sie scheinen anzudeuten, dass ein verstrickter Zustand kein reiner Zustand sein kann. Das ist falsch.

Emilio Pisanty

"Betreiberabhängig" ist eine schreckliche Charakterisierung des Inhalts dieser Frage. Ich empfehle dringend, den Titel zu bearbeiten, um deutlich zu machen, dass Sie nach der Tensorpartition fragen und nicht nur nach der Freiheit des "Operators" (was entweder bedeutungslos ist oder nicht, was Sie eigentlich fragen).

Emilio Pisanty

Beachten Sie auch die Unterschiede im Abstand zwischen $|++\rangle$ und $|{++}\rangle$ (die als

| + + ⟩

$|++\rangle$ Und

| + + ⟩

$|{++}\rangle$ , bzw.). Letzteres ist im Allgemeinen besser. (Der Unterschied liegt darin, dass $-$ und $+$ von LaTeX/MathJax normalerweise als binäre Operatoren interpretiert werden, aber das ist hier nicht der Fall.)

Antworten (2)

Ist Verschränkung *nicht* zustandsintrinsisch, sondern abhängig von der Teilung in Subsysteme? (Süsskind QM)

Sie schlagen also vor, den willkürlichen Zustand als Überlagerung der Singulett- und Triplettzustände anstelle der 2-Spin-Zustände zu erweitern? Ich schätze, Sie bräuchten ein Messgerät, das nur den Singulett-/Triplettzustand bestimmt, ohne einzelne Spins zu messen?
Ja. Ich bin sicher, es gibt praktische Probleme beim Bau von Geräten. Aber auf einer abstrakten Ebene erlaubt uns QM, beliebige Observablen zu erstellen und Operatoren in ihrer Eigenvektorbasis zu definieren. Verschränkung ist keine intrinsische Eigenschaft eines Staates. Verschränkung wird normalerweise diskutiert, wobei die "Subsysteme" als zwei Spins ausgewählt werden, die physisch entfernt werden, denn genau das passiert in dem interessanten EPR/Bell-Fall. Ich denke: Ein Zustand ist nur ein Zustand, und ob er verstrickt erscheint oder nicht, hängt davon ab, wie Sie damit interagieren (beobachten, darauf reagieren).
Um es etwas anders zu formulieren, schlagen Sie vor, dass es möglich sein sollte, einen Zustand einzunehmen, in dem eine Überlagerung keine Sätze von Koeffizienten hat, deren Quadrate sich summieren $1$ , aber wenn wir denselben Zustand als Überlagerung mit einer anderen Basis ausdrücken würden, würden wir feststellen, dass eine Partition der Koeffizienten existiert, so dass die Summe der Quadrate innerhalb jeder Partition summiert $1$ . Wenn Sie das sagen, dann gebe ich Ihnen Recht, aber das ist nicht mein zentrales Studiengebiet. Hoffentlich kann sich jemand mit mehr Erfahrung dazu äußern.
@AaronStevens, im Wesentlichen ja. (Obwohl ich nicht sicher bin, ob ich die Teile Überlagerungen nennen würde; vielleicht "Faktor-Subzustände".
Aber genau das sind sie ... sie sind Überlagerungen. Indem wir einen Zustand nehmen und ihn als Summe anderer Zustände ausdrücken, bilden wir buchstäblich eine Superposition. Das ist eine Superposition. Ich nenne nicht jeden Term der Superposition eine Superposition.
Sie haben diesen Ausdruck ... "dann ist weder |S⟩ noch |T⟩ verschränkt, sondern reine Zustände." Sie scheinen anzudeuten, dass ein verstrickter Zustand kein reiner Zustand sein kann. Das ist falsch.
"Betreiberabhängig" ist eine schreckliche Charakterisierung des Inhalts dieser Frage. Ich empfehle dringend, den Titel zu bearbeiten, um deutlich zu machen, dass Sie nach der Tensorpartition fragen und nicht nur nach der Freiheit des "Operators" (was entweder bedeutungslos ist oder nicht, was Sie eigentlich fragen).
Beachten Sie auch die Unterschiede im Abstand zwischen $|++\rangle$ und $|{++}\rangle$ (die als $|++\rangle$ Und $|{++}\rangle$ , bzw.). Letzteres ist im Allgemeinen besser. (Der Unterschied liegt darin, dass $-$ und $+$ von LaTeX/MathJax normalerweise als binäre Operatoren interpretiert werden, aber das ist hier nicht der Fall.)

Parker · Answer 1

Ich glaube, ich verstehe Ihre Frage, aber ich verstehe die Kommentare von Aaron Stevens überhaupt nicht, von denen Sie behaupten, dass sie eine gültige Umformulierung sind. Daher ist es möglich, dass ich Ihre Frage nicht richtig verstehe. Mit dieser Einschränkung:

Ihre Grundidee ist richtig, aber Ihre Aussagen sind mathematisch nicht genau genug, um ganz richtig zu sein. (Zum einen verwenden Sie die Wörter „verschränkt“ und „rein“, als ob sie sich gegenseitig ausschließen würden, aber sie sind es nicht – der maximal verstrickte Zustand, den Sie beschreiben, ist sowohl verstrickt als auch rein.) Ja, ob ein Zustand interne Verschränkung hat, hängt tatsächlich davon ab, wie man den Hilbert-Raum in Subsysteme einteilt.

Aber Sie übersehen einen wichtigen Punkt, nämlich dass die Hilbert-Räume für ein zusammengesetztes System ein Tensorprodukt der Hilbert-Räume der einzelnen Systeme sind, keine direkte Summe . Der Hilbertraum $\mathcal{H}_{AB} = \{ |uu\rangle, |ud\rangle, |du\rangle, |dd\rangle \}$ für ein System mit zwei Spins ist das Tensorprodukt $\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , Wo $\mathcal{H}_A$ Und $\mathcal{H}_B$ sind beide isomorph zum Hilbertraum $\{ u, d \}$ für eine einzelne Drehung. Wir können also sinnvollerweise von Operatoren sprechen, die nur auf ein Subsystem wirken. Aber die Menge der Linearkombinationen der $|S\rangle$ Und $|T\rangle$ Staaten bildet die direkte Summe $\{|S\rangle\} \oplus \{|T\rangle\}$ , also können wir nicht an die denken $|S\rangle$ Und $|T\rangle$ Staaten als Subsysteme, auf die Bediener unabhängig reagieren können.

Manchmal kann der Hilbert-Raum eines zusammengesetzten Systems auf zwei unäquivalente Arten als Tensorprodukt geschrieben werden. Dies entspricht wirklich zwei verschiedenen gültigen Arten, das vollständige System in Subsysteme zu unterteilen, und ob die Subsysteme verschränkt sind oder nicht, kann tatsächlich von dieser Unterteilung abhängen. (Aber das ist nicht ganz dasselbe wie Basisabhängigkeit , denn es stellt sich heraus, dass die Verschränkung unabhängig von der Basis ist, die man für jedes Subsystem wählt. Sobald man sich für eine Aufteilung des Gesamtsystems in physikalische Subsysteme entschieden hat, dann jede Änderung der Basis innerhalb ein Subsystem wird die Verschränkung nicht beeinflussen.)

Wir können dies bei Ihrem Beispiel mit zwei Drehungen nicht sehen, aber wir können es sehen, wenn wir ein System mit drei Drehungen betrachten $A$ , $B$ , Und $C$ , dessen Hilbertraum ist $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C = \{ uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd \}$ . Betrachten Sie den Staat

\frac{1}{\sqrt{2}} (| u_{A} D_{B} ⟩ - | D_{A} u_{B} ⟩) \otimes | u_{C} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| u D u ⟩ - | D u u ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (|u_A d_B\rangle - |d_A u_B\rangle) \otimes |u_C\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|udu\rangle - |duu\rangle).$ In diesem Zustand sind die Spins A und B maximal verschränkt, aber der Spin C ist mit keinem von ihnen verschränkt. Eine Person hat möglicherweise nur experimentellen Zugang zu Operatoren, die entweder auf (a) die A- und B-Spins oder (b) den C-Spin wirken. Diese Person würde natürlich die A- und B-Spins zusammen als ein einzelnes Subsystem und den C-Spin als ein separates Subsystem umfassend betrachten. Sie würden daher den Hilbertraum natürlich als faktorisieren

H = H_{A B} \otimes H_{C}

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C$ , und sagen, dass der Staat nicht verstrickt ist. Sie würden keine ungewöhnlichen Korrelationen zwischen Spins in "getrennten Subsystemen" beobachten.

Aber jemand anderes könnte experimentellen Zugang zu einem anderen Satz von Operatoren haben, der nur entweder (a) auf den A-Spin oder (b) auf die B- und C-Spins wirken kann. Diese zweite Person würde natürlich den A-Spin als ein einzelnes Subsystem umfassend betrachten und die B- und C-Spins zusammen als ein separates Subsystem umfassend. Sie würden daher den Hilbertraum natürlich als faktorisieren $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , und sagen, dass der Zustand verschränkt (tatsächlich maximal verschränkt) ist . Sie würden perfekte Korrelationen zwischen (wie sie es beschreiben) "getrennten Subsystemen" beobachten.

Aber noch einmal, sobald Sie eine bestimmte Tensorfaktorisierung Ihres Hilbert-Raums in feste Subsysteme spezifizieren, dann ist die Verschränkung zwischen den Subsystemen sowohl basis- als auch beobachterunabhängig.

Ich mag die Antwort, aber ich fühle mich ein wenig unwohl mit der Aussage, dass Beobachter die Freiheit haben, den Hilbert-Raum zu faktorisieren ... In Ihrem Beispiel, was die Beobachter daran hindert, vollständig zu faktorisieren $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C$ ? Können Sie ein Beispiel für den Satz von Observablen geben, der den Beobachter zum Schluss "zwingt". $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ ?
@IamAStudent Ich denke, es kommt darauf an, was der Beobachter messen kann. Wenn sie nur jeden Spin einzeln messen können, wäre es in ihrem besten Interesse, die von Ihnen vorgeschlagene Faktorisierung zu verwenden. Wenn sie nur A und B zusammen oder C allein messen können, ist die erste vorgeschlagene Faktorisierung in der Antwort nützlicher.
tparker, mach dir keine Sorgen über meine Kommentare zu der Frage. Ich denke, Ihr Absatz beginnt mit "Manchmal kann der Hilbert-Raum eines zusammengesetzten Systems auf zwei unäquivalente Arten als Tensorprodukt geschrieben werden." ist wirklich das, worauf ich hinaus wollte, und ich denke, dies ist der beste Teil, der die Frage des OP ausreichend beantwortet.
@IAmAStudent Gute Frage. Es gibt eine große Subtilität, die ich in meiner Antwort unter den Teppich gekehrt habe - ich habe nur die zweiteilige Verschränkung innerhalb reiner Zustände in Betracht gezogen. Wir könnten auch mehrteilige Verschränkung oder zweiteilige Verschränkung innerhalb gemischter Zustände in Betracht ziehen (die dank des Reinigungssatzes eigentlich mathematisch äquivalente Konzepte sind). In diesem Fall wird das Konzept der Verstrickung viel komplizierter und subtiler. Dem Beobachter steht es sicherlich frei, den Hilbert-Raum weiter zu faktorisieren, aber darauf wollte ich nicht eingehen.
Der Kommentar von @IAmAStudent Aaron Stevens unter Ihrem ist genau richtig. Mathematisch steht es Ihnen frei, Ihren Hilbert-Raum auf viele verschiedene Arten zu faktorisieren, die sich formal davon unterscheiden können, ob der Zustand verschränkt ist. Aber der physikalisch natürliche Weg, dies zu tun, besteht darin, Teilsysteme zusammenzufassen, die experimentell machbar sind, alle auf einmal zu messen (ohne die Quantenkohärenz zu verlieren).
@tparker, vielleicht war das, worauf ich letztendlich hinaus will, $\mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C$ . Wenn nicht, würde ich gerne ein Beispiel wissen und wie es möglich ist, dasselbe auszudrücken $\mathcal{H}$ als $\mathcal{H}_A \otimes ( \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C )$ Und $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , wobei der Faktorraum auf der rechten Seite mathematisch verschieden ist.
@IAmAStudent Ja, Sie haben absolut Recht mit den Hilbert-Leerzeichen $\mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C = (\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B) \otimes \mathcal{H}_C$ Und $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_A \otimes (\mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C)$ sind mathematisch äquivalent - der Unterschied zwischen unseren Klammern ist nur "in unseren Köpfen". Wenn Sie einen grundlegenden "elementaren" Hilbert-Raum haben, von dem Sie sicher wissen, dass er nicht faktorisiert werden kann, können Sie im Prinzip eindeutig angeben, ob ein Zustand verschränkt ist, ohne eine Faktorisierung anzugeben.
@IAmAStudent Aber das Problem ist, dass wir in der Physik nie sicher wissen, was wirklich elementar ist - es könnte immer eine interne Verschränkung in kleineren Maßstäben geben, auf die wir experimentell zugreifen können. Daher ist es konzeptionell sinnvoll, grobkörnige zusammengesetzte Systeme zu denken und sie als nicht faktorisierbar zu behandeln und über die Verschränkung zwischen den grobkörnigen Subsystemen zu sprechen, ohne sich um ihre interne Verschränkung zu sorgen. Ob ein Zustand verschränkt ist, kann in diesem Rahmen auflösungsabhängig sein, was als „beobachterabhängig“ interpretiert werden könnte.
Danke für deine ausgezeichnete Antwort, @tparker . Mir ging es in der Tat um eine andere Unterteilung, nicht nur um eine neue Grundlage für die bestehende Unterteilung. Ich habe den Abschnitt "Frage" aktualisiert .

Emilio Pisanty · Answer 2

Die Verschränkung liegt im Auge des Betrachters (4×4-Operator oder Teilsystemteilung). Ja?

Ja, aber das ist eine ziemlich nutzlose Beobachtung.

Die formale Definition eines verschränkten Zustands eines bipartiten Quantensystems mit Zustandsraum $\mathcal H = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$ ist wie folgt:

ein trennbarer Zustand ist einer, dessen Dichtematrix als Summe von Tensorprodukten einzelner Dichtematrizen getrennt werden kann, dh wenn $\rho\in \mathcal B(\mathcal H)$ ist die Dichtematrix des Systems, $\rho$ ist separabel genau dann, wenn es Dichtematrizen gibt $\rho_{A,i}\in \mathcal B(\mathcal H_A)$ Und $\rho_{B,i}\in \mathcal B(\mathcal H_B)$ und Gewichte $p_i\geq 0$ so dass $ρ = \sum_{ich} P_{ich} ρ_{A, ich} \otimes ρ_{B, ich} .$ $\rho = \sum_i p_i \rho_{A,i}\otimes \rho_{B,i}.$
Ein verschränkter Zustand ist jeder Zustand, der nicht trennbar ist.

Zur Verdeutlichung: Verschränkung ist eine intrinsische Eigenschaft des Zustands, zusammen mit der Aufteilung des Zustandsraums in Tensorfaktoren.

Wenn Sie bereit sind, Ihren gesamten Zustandsraum in eine andere Tensorprodukt-Faktorisierung umzufaktorisieren, dann ist ein Zustand, der in die verstrickt ist $A$ , $B$ Das zweigliedrige Schema kann in der Tat als trennbar in irgendeiner Alternative angesehen werden $A'$ , $B'$ Faktorisierung.

Wenn Sie jedoch in der Lage sind, Ihren gesamten Zustandsraum auf diese Weise neu zu faktorisieren, sagt Ihnen das, dass Ihre anfängliche Aufteilung in Parteien von Anfang an nicht sehr aussagekräftig war. In realen Szenarien verwenden wir Verschränkung als relevantes Konzept für bipartite Systeme, bei denen die Tensor-Produkt-Faktorisierung des Zustandsraums (dh die Aufspaltung des Systems in die zwei "Parteien", auf die in "bipartite" angespielt wird) von der festgelegt ist Kontext und kann nicht einfach geändert werden. Wenn Sie sehen, dass es in einem Kontext verwendet wird, in dem dies nicht der Fall ist ( ähm ), dann werden alle Schlussfolgerungen, die aus der Verschränkung gezogen werden, entsprechend abgeschwächt.

Eine nützliche Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, festzustellen, dass die Theorie der Verschränkung sehr oft am besten als Ressourcentheorie angesehen wird . Ressourcentheorien sind großartige Möglichkeiten, um Situationen zu analysieren, in denen Sie eine Klasse von Operationen haben, die einfach zu implementieren ist, aber möglicherweise nicht ausreicht, um ein vordefiniertes Ziel zu erreichen. Andere gute Beispiele sind Thermodynamik (wobei die Operationen energiesparende Prozesse sind und die Ressource Entropie ist) und Gaußsche Verteilung (wobei die Operationen lineare optische Operationen sind); bei der Verschränkung ist die Klasse der freien Operationen die der Local Operations and Classical Communication, allgemein als LOCC abgekürzt, und sie ist offensichtlich strikt an eine Aufspaltung des Systems in Parteien gebunden, die „lokal“ operieren und klassisch kommunizieren können.

Ressourcentheorien sind natürlich nur dann nützlich, wenn die von ihnen beschriebene Ressource tatsächlich wertvoll ist und wenn ihre eingeschränkten Operationen tatsächlich schwer zu implementieren sind: Genauso wie das Studium der Thermodynamik ziemlich nutzlos ist, wenn Sie eine magische Blackbox haben, die injizieren kann und Wenn Sie auf Ihren Befehl hin Energie aus jedem Teil Ihres Systems entfernen, ist das Studium der Verschränkung ziemlich bedeutungslos, wenn Sie freien Zugang zu nicht-LOCC-Einheitsoperationen haben, die die Trennung von A nach B durchqueren.

Das heißt nicht, dass man in einer solchen Situation nicht von Verschränkung sprechen kann, wie z. B. die Spins zweier Elektronen, die sich in gebundenem Zustand im gleichen Atom oder Molekül befinden, aber wenn die Umfaktorisierung in irgendetwas physikalisch möglich ist wie in einer vernünftigen Sinn, dann werden die Schlüsse, die sich aus dem Vorhandensein der Verschränkung ergeben, entsprechend trivialisiert.

Aber was noch wichtiger ist, wenn Sie sich die Verwendung in der realen Welt ansehen, ist es immer die Form

Dieses System ist mit diesem System verstrickt.

Unter Ihrer Umfaktorisierung ist der erste Teil dieses Satzes, der seine Bedeutung verliert, nicht "verschränkt", sondern "System".

(Die folgende Antwort bezieht sich auf eine spezifische Interpretation von v6 der Frage, die ehrlich gesagt viel interessanter war als die aktuelle Version. Aus diesem Grund behalte ich sie bei.)

Was Susskind liefert, ist als Verstrickungszeuge bekannt , und hier bekommt man ein gewisses Maß an "Augen-des-Betrachter"-Verhaltens. Im Allgemeinen ist ein Verstrickungszeuge ein Operator $A$ so dass sein Erwartungswert im Zustand $\rho$ , $\mathrm{Tr}(\rho A)$ , wird befriedigen

T R (ρ A) \geq 0 \forall trennbar ρ,

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0 \qquad \forall\text{ separable }\rho,$ so dass

T R (ρ A) < 0 ⟹ ρ ist verstrickt .

$\mathrm{Tr}(\rho A) < 0 \implies \rho\text{ is entangled}.$ Die meisten Verstrickungszeugen sind jedoch unvollkommen: das heißt, für jeden gegebenen Verstrickungszeugen

A

$A$ , gibt es typischerweise verschränkte Zustände

ρ

$\rho$ wofür

T r (ρ A) \geq 0

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0$ , so dass

A

$A$ kann die Verschränkung dieses bestimmten verschränkten Zustands nicht erkennen.

Dennoch wird es für jeden gegebenen Verstrickungszustand immer mindestens einen Verstrickungszeugen geben, der bestätigen kann, dass er verstrickt ist.

Mit anderen Worten, die Definition der Verschränkung ist unabhängig von den Operatoren, die verwendet werden, um ihre Anwesenheit zu erkennen, aber typischerweise haben diese Operatoren einen begrenzten Umfang, in dem sie verschränkte Zustände erkennen können.

Und wenn das so klingt, als wäre Verschränkung ein schwierig zu erkennendes und zu charakterisierendes Objekt, dann … ja, ziemlich genau.

Ich denke - obwohl ich nicht sicher bin -, dass die Freiheit, den Hilbert-Raum auf unterschiedliche Weise zu tensorfaktorisieren (mit unterschiedlichen resultierenden Bewertungen von verschränkt vs. nicht für denselben Zustand), der Kern der Frage des OP war.
@tparker Das mag tatsächlich der Fall sein, aber ich denke, die Frage ist zu verwirrt, um sie mit Sicherheit zu sagen. Wie ich bereits sagte, bricht das Einfordern dieser Freiheit den zweigeteilten Aspekt des Systems vollständig und macht jede Rede von Verstrickung bedeutungslos. Aber ich habe das Gefühl, dass wir warten müssen, bis Johndecker explizit klarstellt, ob das gemeint war.
Danke @EmilioPisanty für deine Antwort. Ich habe den Frageabschnitt in meiner Frage aktualisiert, um mich auf die Unterteilung des Hilbert-Raums zu konzentrieren.
Ich denke, wir alle versuchen zu sagen, dass Verschränkung relativ zu einer Faktorisierung des Raums definiert wird. Die Frage ist nicht so verwirrt und fragt einfach, ob untrennbare Zustände trennbar werden, wenn Sie die Basis ändern. die antwort darauf ist "ja".
@johndecker Ihre überarbeitete Frage macht keinen Sinn. Ihre neuen „Parteien“ existieren nicht physisch, und alle Operationen, die jede neue „Partei“ durchführt, müssen gemeinsame, korrelierte Operationen der ursprünglichen A und B sein anfängliche Unterteilung.) In gewissem Sinne ist die Antwort auf Ihre umformulierte Frage ein eingeschränktes Ja: Wie bereits in dieser Antwort angemerkt, wird Verschränkung immer nur relativ zu einer Aufteilung des gesamten Zustandsraums in Tensorfaktoren definiert.
Aber das Wichtigste ist: Diese Beobachtung ist ziemlich nutzlos. Wenn Sie einen Kontext nehmen, in dem Verschränkung nützlich ist, und Ihren Tensor-Refaktorisierungstrick versuchen, werden Sie feststellen, dass die neuen "Parteien" Operationen darstellen, die zu komplex sind, um nützlich zu sein. Wenn Sie beispielsweise Verschränkung für Quantenteleportation, Kommunikation oder Schlüsselverteilung verwenden, sind Ihre neuen „Parteien“ gemeinsame Operationen über die beiden ursprünglichen Orte, und es gibt keine Möglichkeit, sie physisch zu trennen, also keines der klassischen Protokolle auch Sinn machen.
@EmilioPisanty, ja, das neue System ist physisch weniger klar zu visualisieren und vielleicht schwierig experimentell zu implementieren. Wenn wir jedoch in der anfänglichen Unterteilung von Drehungen an zwei Orten sprechen, fügen wir implizit ein drittes Etikett hinzu, Ort. Wir könnten uns zwei Spins ohne Ort vorstellen – nicht an Elektronen gebunden oder vielleicht in einem Atom gebunden? -- und dann denke ich, dass die mathematische Behandlung und Basisänderung, die ich vorschlage, sinnvoll sind. Danke fürs Engagement.
@DanielSank Nitpick: Wenn Sie die Tensorfaktorisierung ändern, nicht, wenn Sie "Basis" ändern. Eine Tensorfaktorisierung eines Hilbertraums ist ein völlig basisunabhängiges Konzept. Die Wahl einer solchen Faktorisierung macht die Arbeit mit bestimmten Basen natürlicher (Basis, deren Basisvektoren Produktzustände in Bezug auf diese Faktorisierung sind), aber genau genommen sind "Tensorfaktorisierung" und "Basis" völlig unabhängige Konzepte.
@DanielSank In der Praxis wird diese Unterscheidung jedoch ständig verwischt - z. B. über "Verschränkung in der Positionsbasis" vs. "Verschränkung in der Impulsbasis" - daher ist Ihre Verwendung in meinem Buch im Gespräch mit Experten völlig akzeptabel. Ich dachte nur, es wäre einen Hinweis wert für Leute, die noch lernen.
Ich stimme Ihrer Behauptung nicht zu, dass es immer eine überwältigend natürliche/nützliche Möglichkeit gibt, den Hilbert-Raum zu faktorisieren. Es stimmt, dass eine Faktorisierung im Realraum in der Praxis oft am nützlichsten ist, aber manchmal ist stattdessen die Faktorisierung auf "Teilchenbasis" nützlich - so funktioniert im Grunde die "erste Quantisierung". Betrachten Sie eine Wellenfunktion $\psi(x,y) = \phi_A(x) \phi_B(y)$ für zwei unterscheidbare Teilchen $A$ Und $B$ . ...
Eine solche Wellenfunktion ist ein Produktzustand in Bezug auf die Partikel "Basis" (siehe oben, warum Anführungszeichen), ist aber in der Position "Basis" verstrickt - wenn Sie messen $n = 0, 1, \text{ or } 2$ Teilchen in der linken Hälfte des Systems, dann weißt du sofort, dass es genau diese gibt $2 - n$ Teilchen in der rechten Hälfte des Systems. Nicht so aufregend wie eine Verletzung der Bellschen Ungleichungen, zählt aber dennoch als Verstrickung. Tatsächlich bestehen die Born-Oppenheimer- und Hartree-Fock-Näherungen in der DFT und der Quantenchemie beide darin, keine Verschränkung in der Teilchen- "Basis" anzunehmen.
Darüber hinaus gab es in letzter Zeit einige Mainstream-theoretische Forschungen darüber, die Verschränkung auf Partikelbasis genauso ernst und quantitativ zu nehmen wie die räumliche Verschränkung.
@tparker Ich behaupte nicht, dass es immer eine natürliche Möglichkeit gibt, einen bestimmten Zustandsraum zu faktorisieren. Wie Sie bemerken, ist eine solche Behauptung falsch. Meine einzige Behauptung ist eine Bedingung: Wenn die Umfaktorisierung auf natürliche Weise erfolgen kann, werden die Schlüsse aus der Verschränkung entsprechend abgeschwächt. Das heißt, wenn Sie nicht nur "ein Quantensystem" erhalten, sondern stattdessen "ein zweiteiliges Quantensystem" (was die typische Einstellung ist, wenn eine Diskussion über Verschränkung auf dem Tisch liegt), dann ist tatsächlich eine natürliche Faktorisierung impliziert durch den "zweiteiligen" Qualifizierer.
Einverstanden. Ich würde mit Ihrer fettgedruckten Ein-Satz-TLDR "Ja, aber das ist eine ziemlich nutzlose Beobachtung" als genaue Zusammenfassung Ihrer vollständigen Antwort streiten, aber ich stimme der vollständigen Version voll und ganz zu.

Ist Verschränkung *nicht* zustandsintrinsisch, sondern abhängig von der Teilung in Subsysteme? (Süsskind QM)

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