Satz von Uhlmann: Beweis von tr(A†B)=⟨m|A⊗B|m⟩tr(A†B)=⟨m|A⊗B|m⟩\text{tr}(A^{\dagger} B ) = \langle m | A \otimes B |m\rangle [geschlossen]

In S. 228, Kapitel 9 von Mark Wildes Text, wird im Zuge des Beweises von Uhlmanns Theorem für die Quantentreue behauptet

$$\sum_{i,j} \langle i|^R \langle i|^A (U^R \otimes (\sqrt{\rho}\sqrt{\sigma})^A) |j\rangle^R |j\rangle^A$$ $$=\sum_{i,j} \langle i|^R \langle i|^A (I^R \otimes (\sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}U^T)^A) |j\rangle^R |j\rangle^A$$ das sind die Gleichungen (9.97) und (9.98) im vorgenannten Text.

Im Text von Nielsen & Chuang muss dies in Übung 9.16 bewiesen werden

$$\text{tr}(A^{\dagger} B) = \langle m | A \otimes B |m\rangle$$ für $|m\rangle = \sum_{i} |i\rangle|i\rangle$Wo $\{ |i\rangle \}$ist eine orthonormale Basis auf einem Hilbert-Raum und A und B sind Operatoren auf diesem Raum.

Alle oben genannten Dinge sind entscheidend für den Beweis des Uhlmann-Theorems im jeweiligen Lehrbuch, aber ich habe keine Ahnung, warum sie gelten.$\text{tr}(A^{\dagger} B) = \sum_{i,j} {a_{ij}}^{*}b_{ij}$wohingegen$\langle m | A \otimes B |m\rangle = \sum_{i,j} {a_{ij}} b_{ij }$Warum sind sie gleich? Kann mir jemand einen Tipp geben?