Form des Zustandsraums unter verschiedenen Tensorprodukten

Ich studiere derzeit verallgemeinerte probabilistische Theorien. Lassen Sie mich grob in Erinnerung rufen, wie eine solche Theorie aussieht (Sie können dies überspringen und zu "Meine Frage" gehen, wenn Sie damit vertraut sind).

Zur Erinnerung : In einer verallgemeinerten probabilistischen Theorie (GPT) ist die Menge der Zustände durch eine konvexe Teilmenge gegeben$\Omega \subset V$eines reellen Vektorraums (im Spezialfall der Quantentheorie$\Omega$die Menge der Dichteoperatoren und ist$V$ist der Vektorraum der hermiteschen Operatoren auf einem Hilbert-Raum). A Die Statistik einer Messung wird durch eine Reihe von Effekten beschrieben . Ein Effekt ist eine lineare Funktion$e \in V^*$so dass$0 \leq e(\omega) \leq 1$für alle$\omega \in \Omega$. Der Satz von Effekten sei mit bezeichnet$E(\Omega)$. Der Einheitseffekt $u \in E(\Omega)$wird von gegeben$u(\omega) = 1$für alle$\omega \in \Omega$(in einer GPT die Menge der Zustände$\Omega$ist immer so, dass ein solcher funktionsfähig ist$u \in V^*$existiert). Eine Messung ist eine Menge$\{ e_1, \ldots, e_n \}$von Effekten wie dem$\sum_{i=1}^n e_i = u$.

Um zusammengesetzte Systeme in einer GPT zu beschreiben, wird der Begriff der Tensorprodukte (im Folgenden ein „Tensorprodukt“ von Zustandsräumen) eingeführt$\Omega_A$und$\Omega_B$ist eine Regel, die Ihnen sagt, wie Sie Systeme kombinieren, und diese Regel muss nicht mit dem übereinstimmen, was in der Mathematik üblicherweise als Tensorprodukt bezeichnet wird, während das Tensorprodukt$e_A \otimes e_B$bedeutet das übliche Tensorprodukt; Ich denke, das ist eine schlechte Terminologie, aber sie ist in der Theorie der GPTs sehr verbreitet). Ein Staat$\omega^{AB} \in \Omega^{AB}$eines Systems, das aus zwei Teilsystemen besteht$A$und$B$befriedigen muss

$$\begin{equation} \text{normalization:} \quad (u^A \otimes u^B)(\omega^{AB}) = 1 \end{equation}$$ und $$\begin{equation} \text{positivity:} \quad (e_A \otimes e_B)(\omega^{AB}) \geq 0 \quad \forall e_A \in E(\Omega_A), \forall e_B \in E(\Omega_B), \end{equation}$$ wo $\otimes$bezeichnet das übliche (in der mathematischen Terminologie) Tensorprodukt. Diese beiden Anforderungen müssen von jedem Zustand eines Verbundsystems erfüllt werden; sie sind die minimalen Einschränkungen für ein zusammengesetztes System.

Das maximale Tensorprodukt $\Omega_A \otimes_\text{max} \Omega_B$zweier Systeme ist durch die Menge aller gegeben$\omega^{AB} \in V_A \otimes V_B$die Normalisierung und Positivität erfüllen (man nennt es maximal, da minimale Einschränkungen zu einer maximal großen Menge von Zuständen führen).

Der andere Extremfall ist das minimale Tensorprodukt, das durch alle konvexen Kombinationen von Produktzuständen gegeben ist$\omega_A \otimes \omega_B$, dh durch alle Mischungen von Produktzuständen.

Es gibt auch andere Möglichkeiten, Systeme zu kombinieren, dh andere Tensorprodukte außer dem maximalen und dem minimalen Tensorprodukt. Zum Beispiel das „Tensorprodukt“ im Quantenfall (umfasst alle Dichteoperatoren auf$\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$) ist weder das minimale noch das maximale Tensorprodukt.

Meine Frage: Ich frage mich, wie viel man auf die Struktur des Zustandsraums schließen kann$\Omega_A \otimes \Omega_B$aus der Struktur der lokalen Zustandsräume$\Omega_A$,$\Omega_B$bei der Betrachtung verschiedener Arten von Tensorprodukten. Genauer gesagt frage ich mich, ob man die Aussagen, dass die lokalen Zustände ein Polytop bilden, und dass die zusammengesetzten Zustände ein Polytop bilden, in Beziehung setzen kann (gibt es Tensorprodukte, bei denen eine Aussage die andere impliziert?). Gibt es Tensorprodukte, bei denen die zusammengesetzten Zustände ein Polytop bilden, während die lokalen Zustände dies nicht tun? Gibt es Tensorprodukte, bei denen die zusammengesetzten Zustände immer ein Polytop bilden? Ich interessiere mich für alle Arten von Argumenten, die Aussagen darüber machen, dass Mengen von Zuständen (nicht-)polytop sind, wenn sie aus bestimmten Arten von Tensorprodukten hervorgehen.

Ich freue mich über jede Art von Argument oder Kommentar usw.