Wie finden Sie den Projektionsoperator auf einen Eigenraum, wenn Sie den Eigenvektor nicht kennen?

Ich habe an Übung 2.60 von Nielsen-Chuang gearbeitet, die wie folgt lautet:

Zeige, dass v → ⋅ σ → hat Eigenwerte ± 1 , und dass die Projektoren auf die entsprechenden Eigenräume durch gegeben sind P ± = ICH ± ( v → ⋅ σ → ) / 2 .

Ich hab geschrieben v = A X → + B j → + C z → , So v → ⋅ σ → ist eine Matrix mit Elementen C , A − B ich , A + B ich , − C . Ich konnte dann nach den Eigenwerten auflösen ± 1 durch Finden λ für die die Determinante von v → ⋅ σ → − λ ICH Ist 0 . Aber ich habe mehr Probleme mit dem zweiten Teil des Problems.

Normalerweise würde ich einfach für jeden Eigenwert nach dem Eigenvektor auflösen und diesen verwenden, um den Projektionsoperator zu finden, aber immer wenn ich versuche, nach dem Eigenvektor aufzulösen, bekomme ich 0 = 0 . Zum Beispiel für den Eigenwert von 1 Ich bekomme die folgenden zwei Gleichungen:

( C − 1 ) X + ( A − B ich ) j = 0
( A + B ich ) X + ( − C − 1 ) j = 0
und wenn ich versuche, die abzubrechen j Bedingungen, die ich bekomme ( A 2 + B 2 + C 2 − 1 ) X = 0 was gerecht ist 0 = 0 .

Die Form der Antwort lässt mich jedoch glauben, dass es einen einfacheren Weg gibt.

ICH + ( v → ⋅ σ → ) ist nur v → ⋅ σ → − λ ICH für λ = − 1 . Und ICH − ( v → ⋅ σ → ) ist das Negativ von v → ⋅ σ → − λ ICH für λ = 1 . Und dann ist da noch ein 1 2 Faktor also die Summe der Projektionsoperatoren ist ICH . Kann jemand erklären, warum das so ist und wie man die Projektionsoperatoren von Grund auf neu finden kann, wenn man die Eigenvektoren nicht kennt? (Ich kann zeigen, dass dies Projektionsoperatoren sind, weiß aber nicht, wie ich sie finden würde, ohne dass die Frage mir ausdrücklich sagt, was sie sind.)

Kann mir jemand sagen, wie ich das obige Gleichungssystem lösen kann?

Ich werde für den Abschluss stimmen, da dies eine rein mathematische Frage ist. Allerdings gibt es eine fast triviale Möglichkeit, diese Behauptung zu beweisen, denn Sie haben die Antwort bereits: a) Sie beweisen das P ± sind Projektionen mit P + P − = 0 . b) Schau mal P + − P − und denken Sie über die Eindeutigkeit der spektralen Zerlegung nach.
Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Projektionen von Grund auf neu zu finden, ohne zuerst die Eigenvektoren zu finden? Ich weiß, wie ich überprüfen kann, ob es sich bei den angegebenen Operatoren um Projektionen handelt.

Antworten (2)

Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit, die Projektionsoperatoren zu konstruieren, wenn man nur den Operator selbst und seine Eigenwerte kennt. Die Herleitung findet sich in Julian Schwingers „Quantum Mechanics: Symbolism of Atomic Measurement“ und führt zu

P J = ∏ ich ≠ J A − A ich A J − A ich ,

wobei das Produkt über alle verschiedenen Eigenwerte geht A ich von A . Es ist ziemlich leicht zu sehen, dass es tatsächlich erfüllt

P ich | ψ J ⟩ = δ ich J | ψ J ⟩ ,
wo keine Summierung impliziert ist.

Wenn Sie dies auf Ihr Problem anwenden, erhalten Sie die (richtigen) Projektoren

P + = v → ⋅ σ → − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) = ICH + v → ⋅ σ → 2 P − = v → ⋅ σ → − 1 ( − 1 ) − 1 = ICH − v → ⋅ σ → 2

Auf welcher Seite findet man die Herleitung?
@AlexProvost: Frobenius-Kovariante .

Eigenvektoren sind bis auf ein skalares Vielfaches unbestimmt. Wenn also zum Beispiel c = 1, dann ist die erste Gleichung bereits 0 = 0 (keine Arbeit erforderlich) und die zweite erfordert, dass y = 0, was uns sagt, dass x alles sein kann. Das ist in Ordnung und richtig, da X = R e ich θ , j = 0 ist eine feine Lösung, wenn c = 1.

Wenn C ≠ 1 dann ist keine der Gleichungen bereits 0 = 0, also können wir eine beliebige auswählen und sie verwenden, um nach x in Bezug auf y oder nach y in Bezug auf x aufzulösen. Diese Lösung funktioniert tatsächlich auch in der anderen Gleichung.

Nehmen Sie zum Beispiel Ihre Gleichungen:

( C − 1 ) X + ( A − B ich ) j = 0 ,
( A + B ich ) X + ( − C − 1 ) j = 0.

Ich kann die zweite Gleichung lösen und notieren

X = A − B ich A 2 + B 2 ( C + 1 ) j = 0
löst
( A + B ich ) X + ( − C − 1 ) j = 0.

Aber

X = A − B ich A 2 + B 2 ( C + 1 ) j
löst sich auch
( C − 1 ) X + ( A − B ich ) j = 0
Weil

( C − 1 ) A − B ich A 2 + B 2 ( C + 1 ) j + ( A − B ich ) j
gleich

( A − B ich ) j ( C 2 − 1 A 2 + B 2 + A 2 + B 2 A 2 + B 2 ) = 0.

Wenn c=1 ist, ist die Lösung x=was auch immer, y=0. Wenn c nicht 1 ist, dann ist die Lösung y=was auch immer, X = ( A − B ich ) ( C + 1 ) j / ( A 2 + B 2 ) . Alles nach dem Wort „löst“ ist nur eine explizite Bestätigung, dass die (bereits gefundene) Lösung tatsächlich eine Lösung ist. Also 0 für die linke Seite zu bekommen, ist genau das, was wir wollen, da die rechte Seite 0 ist. Unsere Gleichungen sind redundant, wir wollen sie nicht alle verwenden, und ich zeige das nur für C ≠ 1 wir könnten beide Gleichungen verwenden.
Wow, ich kann nicht glauben, dass ich diesen Fehler gemacht habe -.- Danke für die Hilfe.
Wie finden Sie den Projektionsoperator auf einen Eigenraum, wenn Sie den Eigenvektor nicht kennen?
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