Zwei-Qubit-System in Polarkoordinaten

Ein gültiger Dichteoperator ist jede hermitische Spur 1-Matrix (mit komplexen Einträgen) und alle Eigenwerte zwischen 0 und 1. Jedes Zwei-Qubit-System kann daher durch eine hermitische Spur 1 4x4-Matrix dargestellt werden.

Ihre Qubit-Darstellung könnte umgeschrieben werden, suggestiver als:

$$\begin{align} \rho &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + a_1 \sigma_x + a_2 \sigma_y + a_3\sigma_z \right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + \vec{a} \cdot\vec{\sigma}\right) \end{align}$$

Wo$\operatorname{I}$ist die 2x2 Identitätsmatrix und die$\sigma_i$sind die Pauli-Matrizen, die eine Basis für den Raum hermitischer, Spur 0 2x2 komplexer Matrizen sind.

Ähnlich wie bei Qubits können wir jedes n-dimensionale Quantensystem unter Verwendung der Identität und jeder Basis für den Raum von hermiteschen, spurlosen nxn-Komplexmatrizen zerlegen, eine gute Wahl der Basis sind die Gell-Mann-Matrizen, und eine Konstruktion in Dimension n ist hier angegeben .

Da sie Hilbert-Schmidt-orthogonal sind, können Sie die Koeffizienten finden$a_i$für deinen Staat$\rho$indem man das innere Produkt nimmt:

$$a_i = \operatorname{tr}\sigma_i \rho$$

Wenn Sie möchten, können Sie den Vektor dann umschreiben$\vec{a}$in einem beliebigen Koordinatensystem (einschließlich Polaren).

Es gibt jedoch ein Problem, denn obwohl jeder gültige Dichteoperator auf diese Weise umgeschrieben werden kann (mit$\vec{a}$Da es sich um einen n-dimensionalen subnormalisierten Vektor handelt) ist nicht jeder Operator dieser Form ein gültiger Dichteoperator. Das Problem besteht darin, dass einige Ihrer Eigenwerte negativ und andere größer als 1 werden, um dies auszugleichen . Dies passiert nicht für Qubits (jeder Operator der Form$\rho$Ich habe oben geschrieben, dass es ein gültiger Dichteoperator sein wird) und es macht das Arbeiten in höheren Dimensionen manchmal ziemlich nervig.

Ja. Wir können dies für eine beliebige Anzahl von Qubits tun, indem wir N-dimensionale sphärische Koordinaten verwenden . Für zwei Qubits können wir eine allgemeine Dichtematrix als Linearkombination aus direkten Produkten von Pauli-Matrizen und Identität schreiben.

$$\rho = \sum_{ij=0}^3 a_{ij}~ \sigma_{i} \otimes \sigma_{j}$$ .

Hier$\sigma_{0} = I$, und der Rest sind die üblichen Pauli-Matrizen. Für eine gültige Dichtematrix$a_{00} = 1/4$. Es kann gezeigt werden, dass alle gültigen Dichtematrizen innerhalb einer höherdimensionalen Kugel liegen, die an der entsprechenden Koordinate zentriert ist$a_{00}$. Und diese Punkte können mit höherdimensionalen Kugelkoordinaten dargestellt werden. Aber im Gegensatz zur Bloch-Kugel für ein einzelnes Qubit stellen nicht alle Punkte gültige Dichtematrizen dar, da es Matrizen mit negativen Eigenwerten geben kann. In allen höheren Dimensionen ist es ein konvexer Körper innerhalb dieser Kugel. Eine ausführliche Erklärung finden Sie hier und hier .

Ein Ein-Qubit-Zustand kann im Allgemeinen geschrieben werden als

$$\begin{equation} |\psi_1\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \end{equation}$$ Wo $\alpha,\beta \in \mathbb C$und es gibt die weitere Einschränkung, dass $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Allerdings nur die relative Phase dazwischen $|0\rangle$Und $|1\rangle$ist physikalisch sinnvoll (Quantenzustände sind Strahlen im Hilbert-Raum), also können wir eine Phase ausklammern $e^{i\theta}$. Lassen Sie uns diese Phase so wählen $a=e^{-i\vartheta}\alpha$ist real während $b=e^{-i\vartheta} \beta$komplex bleiben kann. Unser Zustand ist dann $$\begin{equation} |\psi_1\rangle=e^{i\vartheta}(a|0\rangle+b|1\rangle). \end{equation}$$ Der vorherige Zustand ist jetzt $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|a|^2+|b|^2=1$. Wir haben drei reale Parameter und eine Einschränkung, und so können wir sagen, dass unser Zustand $|\psi_1\rangle$lebt auf der Einheit 2-Sphäre.

Analog kann ein Zwei-Qubit-Zustand allgemein geschrieben werden als

$$\begin{equation} |\psi_2\rangle=a|00\rangle+b|01\rangle+c|10\rangle+d|11\rangle \end{equation}$$ wo wir wählen können $a\in \mathbb R$Und $b,c,d \in \mathbb C$mit der weiteren Einschränkung, dass $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 =1$. In diesem Fall gibt es sieben freie Parameter und eine Einschränkung, sodass ein Zwei-Qubit-System auf der Einheits-6-Sphäre leben und eine entsprechende höherdimensionale polare Zerlegung aufweisen würde.