von-Neumann-Messmodell eines Qubits mit kontinuierlichem Detektor

Question

von-Neumann-Messmodell eines Qubits mit kontinuierlichem Detektor

Physik
Dichteoperator
Quantencomputer
Quantenmechanik
Quanteninformation

Parven

Ich habe ein Qubit-System mit zwei Zuständen und einem Anfangszustand $|\psi_s\rangle_i = a|0\rangle+b|1\rangle$ und einen Detektor mit Anfangszustand

| ψ_{D} ⟩_{ich} = \int_{- \infty}^{\infty} {(N \exp [- \frac{Q^{2}}{2 σ^{2}} + ich k Q])}^{\frac{1}{2}} | Q ⟩ D Q

$|\psi_d\rangle_i = \int_{-\infty}^{\infty}\left(N \exp[-\frac{q^2}{2\sigma^2}+ik q]\right)^{\frac{1}{2}}|q\rangle dq$ Wo

N

$N$ ist die Konstante so dass

| ψ_{d} ⟩_{i}

$|\psi_d\rangle_i$ ist ein normalisierter Zustand. Der kombinierte Anfangszustand kann geschrieben werden als

| ψ ⟩_{ich} = | ψ_{S} ⟩_{ich} | ψ_{D} ⟩_{ich} .

$|\psi\rangle_i = |\psi_s\rangle_i |\psi_d\rangle_i \, .$ Die Wechselwirkung Hamiltonian ist

H / ℏ = - g (σ_{z} \otimes P)

$H/\hbar = -g (\sigma_z \otimes P)$ , Wo

P

$P$ ist der Impulsoperator. Daher wirkt der unitäre Operator weiter

| ψ ⟩_{i}

$|\psi\rangle_i$ Ist

U = \exp [i g T (σ_{z} \otimes P)]

$U=\exp[i g T (\sigma_z \otimes P)]$ . Nach der Interaktion wird der Systemzustand

| ψ ⟩_{T} = U | ψ ⟩_{ich} .

$|\psi \rangle_T = U|\psi\rangle_i \, .$ Das von Neumann-Messmodell besagt, dass wir eine projektive Messung am Detektor durchführen und dann eine partielle Spur über den Detektor durchführen sollten, um den Systemzustand nach der Messung zu erhalten.

Was wäre der geeignete Messoperator für die projektive Messung über Detektor?

ZeroTheHero

Vielleicht finden Sie das Gesuchte hier: arxiv.org/abs/1711.00080 , vg Eq.(23) zum Beispiel.

Antworten (1)

von-Neumann-Messmodell eines Qubits mit kontinuierlichem Detektor

Vielleicht finden Sie das Gesuchte hier: arxiv.org/abs/1711.00080 , vg Eq.(23) zum Beispiel.

OON · Answer 1

Durch Linearität,

U | ψ_{D} ⟩_{ich} (A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩) = A | ψ, 0 ⟩_{T} + B | ψ, 1 ⟩_{T}

$\begin{equation} U\vert\psi_d\rangle_i\Big(a\vert 0\rangle+b\vert 1\rangle\Big)=a\vert\psi, 0\rangle_T+b\vert\psi, 1\rangle_T \end{equation}$ Wo,

| ψ, σ ⟩ = U | ψ_{D} ⟩_{ich} | σ ⟩

$\begin{equation} \vert\psi, \sigma\rangle=U\vert\psi_d\rangle_i\vert\sigma\rangle \end{equation}$ Um den endgültigen Zustand zu erhalten, müssen wir also überlegen, wie

U

$U$ wirkt, wenn sich das Qubit im Zustand mit definiertem Spin befindet.

Wenn der Spin definitiv ist, können Sie ersetzen $\sigma_z$ mit $\pm 1$ je nach Spin des Bqubits. Aber dann ist der Evolutionsoperator einfach ein Verschiebungsoperator für $q$ in die eine oder andere Richtung.

Der Anfangszustand des Detektors ist ein nahe Null konzentriertes Gaußsches Wellenpaket. Wir können es so bezeichnen,

| ψ_{D} ⟩_{ich} = | Q \approx 0 ⟩

$\begin{equation} \vert\psi_d\rangle_i=\vert q\approx 0\rangle \end{equation}$ Dann kann der resultierende Zustand des kombinierten Systems geschrieben werden als

A | Q \approx - G T ⟩ | 0 ⟩ + B | Q \approx + G T ⟩ | 1 ⟩

$\begin{equation} a\vert q\approx -gT\rangle\vert 0\rangle + b\vert q\approx +gT\rangle\vert 1\rangle \end{equation}$ Stell dir das vor

q

$q$ bezeichnet die Position des Pfeils auf der Skala Ihres Detektors. Nun wird diese Position verschränkt, dh mit dem Spin des Qubits korreliert. Dh alles, was Sie brauchen, ist zu messen

q

$q$ . Die einfachste beobachtbare Größe, die Ihnen nur zwei mögliche Antworten gibt, ist das Vorzeichen von

q

$q$ - negativ für

0

$0$ und positiv für

1

$1$ das kann geschrieben werden als,

\hat{S G N (Q)} = - \int_{- \infty}^{0} D Q | Q ⟩ ⟨ Q | + \int_{0}^{+ \infty} D Q | Q ⟩ ⟨ Q |

$\begin{equation} \widehat{\mathrm{sgn}(q)}=-\int\limits_{-\infty}^0dq\vert q\rangle\langle q\vert+\int\limits_0^{+\infty}dq\vert q\rangle\langle q\vert \end{equation}$

Beachten Sie jedoch, dass

⟨ Q \approx - G T | Q \approx + G T ⟩ \neq 0

$\begin{equation} \langle q\approx -gT\vert q\approx+gT\rangle \neq 0 \end{equation}$ Dies impliziert, dass unabhängig davon, welche Observable Sie für Ihren Detektor messen, es immer einen Fehler in Ihrer Messung des Qubit-Spins gibt. Nach dem Verfolgen des Detektors wird die resultierende Dichtematrix des Qubits beispielsweise nicht sein

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\vert 0\rangle\langle 0\vert$ , aber das ist nur eine Annäherung. Der größere

g T

$gT$ verglichen wird

σ

$\sigma$ desto besser. Wenn Sie diese Nicht-Null-Überlappung in Bezug auf das Qubit berücksichtigen, ist Ihre Messung nicht ideal projektiv, sondern wird mit POVM-Formalismus beschrieben.

Danke für deine Antwort. Diese Art der Messung wird als schwache Messung anstelle von projektiver Messung bezeichnet. Nun stellt sich die Frage, was Ihr Messoperator ist, der etwas über das Vorzeichen des Detektorzustands aussagt. Wie würden Sie einen solchen Messoperator schreiben?
@Parveen Ich dachte, das sollte ziemlich offensichtlich sein, aber ok. Ich habe es hinzugefügt. Hoffentlich führen Sie die Berechnungen der Auswirkungen seiner Messung auf die Dichtematrix des Qubits selbst durch.
@Parveen und bitte beachten Sie, dass ich nie über das "Zeichen des Detektorzustands" gesprochen habe, sondern über das Zeichen von $q$ Dadurch kann der Bus die Zustände des Detektors unterscheiden, die den Zuständen des Qubits zugeordnet sind
@ONN: Danke für deine Antwort. Ich verstehe jetzt, was Sie sagen wollen. Nach der Interaktion wird der kombinierte Zustand des Systems sein $| ψ ⟩_{ich N T} = \int_{- \infty}^{\infty} A | 0 ⟩ {(N \exp [\frac{- (Q - G T)^{2}}{2 σ^{2}} - ich k (Q - G T)])}^{1 / 2} | Q ⟩ D Q + \int_{- \infty}^{\infty} B | 1 ⟩ {(N \exp [\frac{- (Q + G T)^{2}}{2 σ^{2}} - ich k (Q + G T)])}^{1 / 2} | Q ⟩ D Q$ $|\psi\rangle_{int} = \int_{-\infty}^{\infty} a|0\rangle \left(N \exp[\frac{-(q-gT)^2}{2\sigma^2}-i k(q-gT)]\right)^{1/2}|q\rangle dq + \int_{-\infty}^{\infty} b|1\rangle \left(N \exp[\frac{-(q+gT)^2}{2\sigma^2}-i k(q+gT)]\right)^{1/2}|q\rangle dq$ Jetzt bin ich immer noch verwirrt, wie würde der Betreiber $sgn(q)$ wirkt auf den obigen Detektorzustand. Geben Sie dies bitte auch an. Ich weiß, das muss sehr einfach sein, aber ich bin ein Anfänger darin.
@Parveen Es ändert das Vorzeichen der Wellenfunktion zum Negativen $q$ und belässt es positiv $q$ . ZB die Funktion $\psi(q)=q$ wird werden $\psi(q)=|q|$ . Beachten Sie, dass Diskontinuitäten erlaubt sind

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