Bedeutung von Null- und Nicht-Null-Eigenwerten der Dichtematrix

Was können wir aus der Anzahl der Null- und Nicht-Null-Eigenwerte der entsprechenden Dichtematrix über den Quantenzustand sagen? Irgendetwas im Zusammenhang mit Verschränkung oder anderen Eigenschaften? Variieren sie mit der Beschaffenheit von Zuständen, wie z. B. rein oder gemischt?

Bitte fügen Sie einige Referenzen hinzu.

Ich verstehe, dass Sie von einem gemischten Zustand sprechen ρ , und seine Dichtematrix? Diese Eigenwerte haben nichts mit Verschränkung zu tun. --- Wenn Sie andererseits einen reinen Zustand mit zwei Teilen haben und die reduzierte Dichtematrix eines Teils betrachten, werden Ihnen seine Eigenwerte etwas sagen. über Verstrickung.
@NorbertSchuch: Ich weiß nicht, wer mir die -1 gegeben hat, aber die Antwort ist richtig. Für identisch verschränkte Teilchen impliziert der Gesamtspin Null eine hohe Symmetrie.
@Dutta: Deine Vermutung ist richtig. Siehe bitte meine Antwort. Ich weiß nicht, warum es eine -1 gibt.
@Sofia: Soweit ich sehen kann, fragt die Frage nach Eigenwerten des Dichteoperators (was bei einem reinen Zustand der Fall wäre | ψ ⟩ ⟨ ψ | , und hätte somit immer einen Eigenwert Eins und der Rest Nullen. Ich sehe nicht, wie der Spin damit zusammenhängt. Aber vielleicht könnte Dutta helfen, die Frage zu klären?
@NorbertSchuch: Ich verstehe, was du sagst. Ich glaube in der Tat, dass sie einen Fehler gemacht hat. Nun, ich stelle eine Frage an Dutta. Es tut mir so leid, wenn ich die Frage (wahrscheinlich falsch) verstanden hätte, wäre es eine interessante Frage. Ich ziehe meine Antwort vorerst - bis zur Klärung - zurück.
@NorbertSchuch & Sofia Betrachten Sie sowohl reine als auch gemischte Zustände. Ich habe die Frage entsprechend bearbeitet.
Ich bin mir immer noch nicht sicher, wonach Sie fragen. Aber für jeden reinen Zustand sind die Eigenwerte des Dichteoperators 1 (mit Multiplizität 1) und 0, also sagen sie Ihnen, ob der Zustand rein ist, und sonst nichts. Allgemeiner sagen Ihnen die Eigenwerte der reduzierten Dichtematrix etwas. über das Ausmaß der Vermischung, aber nichts über die Verstrickung. --- Wenn Sie jedoch mehr Details wünschen, sollten Sie versuchen, Ihre Frage ausführlicher zu erläutern und formeller zu sein.
@Dutta, ich bin mir nicht sicher, welche der folgenden beiden Fragen Sie stellen: 1) Wenn Sie die Dichtematrix als die Matrix verwenden, die einen Operator darstellt , schlagen Sie vor, ihre Eigenwerte zu berechnen - eine Sache, die in QM für mich nicht von großem Interesse ist wissen; 2) Da Sie wissen, dass die Dichtematrix einem Eigenzustand einer Observablen entspricht, fragen Sie für den Eigenwert Null, ob der Eigenwert Null auf eine mögliche Verschränkung hinweist (wenn der Zustand für zwei oder mehr Teilchen gilt). Meine Antwort war für den 2. Fall. Nun, gemischte Zustände helfen nicht viel gegen diese Unklarheit.
@Sofia: Spektren von Dichtematrizen sind interessant, wenn diese Dichtematrix einen Teil eines global reinen Zustands beschreibt (z. B. bei einem reinen verschränkten Zustand von zwei Spins könnten wir den gemischten Zustand betrachten, der einen der Spins beschreibt). Das Spektrum der reduzierten Dichtematrix ermöglicht dann die Quantifizierung der Verschränkung im Zustand.
@NorbertSchuch : wir können uns erst morgen nachmittag unterhalten, ich muss mich vorbereiten, schlechtes Wetter war angesagt.

Antworten (1)

Was können wir aus der Anzahl der Null- und Nicht-Null-Eigenwerte der entsprechenden Dichtematrix über den Quantenzustand sagen?

Die Anzahl der Null-Eigenwerte hat keine Bedeutung und ist sowieso nicht wirklich gut definiert.

Wenn die Anzahl der Nicht-Null-Eigenwerte nicht eins ist, gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, die Dichtematrix zu schreiben ρ als kohärente Zerlegungen der Form ρ = ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | mit ⟨ ψ k | ψ k ⟩ = 1 Und P ich ≥ P J ≥ 0 für ich ≤ J . Iff ⟨ ψ ich | ψ J ⟩ = δ ich J , dann ist diese Zerlegung eine Eigenzerlegung . Weil ρ hermitesch und positiv ist, ist eine Eigenzerlegung auch eine Singulärwertzerlegung und beschreibt daher alle optimalen Näherungen mit niedrigem Rang (in Bezug auf die euklidische Norm) in prägnanter Form. Daher wird diese Zerlegung manchmal von einigen Gemeinschaften als optimale kohärente Zerlegung bezeichnet .

Pragmatischer habe ich das kürzlich so erklärt :

Für praktische Berechnungen kann man die Dichtematrix einfach in eine Summe reiner Zustände zerlegen. Der optimale Weg, dies zu tun (dh dass Sie den geringsten Fehler für die Anzahl der verwendeten reinen Zustände erhalten), ist die optimale kohärente Zerlegung, bei der Sie die Eigenwertzerlegung der Dichtematrix berechnen. Die Dynamik der Schrödinger-Gleichungen ist so, dass jede solche Zerlegung während der Zeitfortpflanzung gültig (und optimal) bleibt, dh Sie können einfach jeden einzelnen reinen Zustand fortpflanzen.

Davon geht der letzte Satz dieser pragmatischen Erklärung aus ⟨ ψ ich ( T ) | ψ J ( T ) ⟩ = ⟨ ψ ich ( T 0 ) | ψ J ( T 0 ) ⟩ bleibt während der Zeitfortpflanzung erhalten, was für "geschlossene" Systeme gilt.

Irgendetwas im Zusammenhang mit Verschränkung oder anderen Eigenschaften? Variieren sie mit der Beschaffenheit von Zuständen, wie z. B. rein oder gemischt?

Wie andere betonten, ist ein verschränkter Zustand auch ein reiner Zustand. Wenn Sie eine Teilspur über einen verschränkten Zustand berechnen, erhalten Sie einen gemischten Zustand, der jedoch nicht wirklich mit der Eigenzerlegung zusammenhängt. Dies ist aber dennoch eine interessante Beobachtung, da die optimale kohärente Zerlegung für das entsprechende Subsystem während der Zeitausbreitung im Allgemeinen nicht erhalten bleibt und daher aus Sicht des Subsystems eine Art Quantensprung in Bezug auf die optimale Kohärenz auftreten kann Zersetzung. Aber die optimale kohärente Zerlegung ist nur dann eindeutig, wenn P ich > P J ≥ 0 für ich < J Trotzdem.

Danke. Ich glaube nicht, dass die Anzahl der Null-Eigenwerte keine Bedeutung hat. Aber ich kenne dieses Thema nicht viel.
Die Anzahl der Null-Eigenwerte ist sicherlich wohldefiniert, weil die Eigenwerte jeder Matrix wohldefiniert sind. Das bedeutet nicht, dass eine Zerlegung in reine Zustände wohldefiniert sein muss (ist es nicht, wenn die Zustände nicht orthogonal sind oder die Eigenwerte Vielfachheiten haben).
@Martin Nun, man könnte sagen, dass es genau einen Null-Eigenwert gibt, nämlich "0", oder man könnte sagen, dass es unendlich viele Null-Eigenwerte gibt (weil die kanonischen Kommutatorbeziehungen nur in einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum erfüllt werden können ), aber beide Antworten sind ziemlich nutzlos. Das meine ich mit "Die Anzahl der Null-Eigenwerte hat keine Bedeutung". Sie könnten einwenden, dass die Anzahl der Nicht-Null-Eigenwerte auch unendlich ist. Wenn wir jedoch mit einer bestimmten Genauigkeit (z. B. 1%) zufrieden sind, reicht eine "wohldefinierte" Anzahl von Nicht-Null-Eigenwerten aus, um diese Genauigkeit zu erreichen.
Beispielsweise erzeugt ein 193-nm-ArF-Laser unpolarisiertes, quasi-monochromatisches Licht mit einer kleinen schmalen Bandbreite um 193,3 nm. Mindestens zwei Eigenwerte werden benötigt, um das unpolarisierte Licht zu modellieren. Ob Sie zusätzliche Eigenwerte benötigen, um das quasi-monochromatische Licht (oder seine sehr schmale Bandbreite) zu modellieren, hängt davon ab, was Sie damit machen. Wenn Sie es so verschüttet haben, dass es sich auf ganz anderen Wegen bewegt, dann benötigen Sie zusätzliche Eigenwerte dafür. Wenn der kleine Wellenlängenunterschied nie nennenswerte Folgen hat, dann brauchen Sie ihn auch nicht durch zusätzliche Eigenwerte zu modellieren.
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