Wie kann man diese beiden Formulierungen bezüglich der Notwendigkeit einer Dichtematrix in der Quantenmechanik verbinden?

$\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \rvert}\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\H}{\mathcal{H}}\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Die Verbindung zwischen Subsystemen und statistischen Ensembles ist einfach: Verschränkung .

Verschränkung ist das Phänomen, dass ein Quantenzustand eines größeren Systems nicht eindeutig spezifizierten Zuständen von Subsystemen entsprechen muss (aber darf). Formal gegebene Systeme$A,B$mit Zuständen$\H_A,\H_B$und Basen$\{\ket{a_i}\},\{\ket{b_j}\}$, die sich zu einem System mit Zustandsraum verbinden$\H_{AB} := \H_A\otimes \H_B$, die Zustände, die eindeutigen Zuständen der Teilsysteme entsprechen (die nicht verschränkten oder trennbaren Zustände), sind diejenigen, deren einfache Tensoren, dh der Form, sind$\ket{\phi}\otimes\ket{\psi}\in\H_{AB}$für$\ket{\phi}\in\H_A,\ket{\psi}\in\H_B$.

Geben wir nun einen beliebigen Zustand des kombinierten Systems an,$\ket{\chi}\in\H_{AB}$, was können wir über den Zustand sagen$A$? Wenn der Zustand nicht trennbar ist, können wir keinen reinen Zustand für erhalten$A$. Aber trotzdem sollten wir in der Lage sein, das größere System zu „vergessen“ und unsere Betrachtungen darauf zu beschränken$\H_A$(z. B. weil wir wissen, dass es nicht mit interagieren wird$\H_B$weiter, weil wir nur System messen können$A$aber nicht$B$, oder Wasauchimmer). Dies geschieht über die Teilspur ¹ vorbei$B$auf die Dichtematrix angewendet$\rho_{AB} = \ket{\chi}\bra{\chi}$:

Umgekehrt geht es auch. Ausgehend von einem gemischten Zustand, dh einer Menge von Wahrscheinlichkeiten$p_i$angesagt sein$\ket{a_i}\in\H_A$, können wir den Zustand reinigen , dh einen künstlichen größeren Raum konstruieren${\H}$in dem es sich um einen verschränkten reinen Zustand handelt: Wir quadrieren einfach den Raum, dh$\H := \H_A\otimes\H_A$und definieren$\ket{\chi'} := \sum_i\sqrt{p_i}\ket{a_i}\otimes\ket{a_i}$. Vergleichen mit$(1)$, wir sehen das$c_{ij} = p_i\delta_{ij}$, und so$p(\ket{a_i}) = p_i$. Daher haben wir einen reinen verschränkten Zustand konstruiert, der den ursprünglichen gemischten Zustand zurückgibt, wenn wir zum Subsystem zurückkehren.

Insgesamt haben wir die Äquivalenz von "einen gemischten Zustand haben" und "ein Subsystem eines größeren Systems betrachten" gesehen.

¹ Warum uns die partielle Spur das Subsystem liefert, ergibt sich aus seiner Definition, wenn es geeignet niedergeschrieben wird, liegt aber in seiner Reproduktion$(1)$, was einfach die statistisch korrekte Art ist, sich um den Zustand von "nicht zu kümmern".$B$:

Überlege zu schreiben$\H_B = \bigoplus_j \mathbb{C}(\ket{b_j})$, das ist nur die Aussage, dass die$\ket{b_i}$sind eine orthogonale Basis, und somit$\H_{AB} = \bigoplus_j (\H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_j}$. Dann jeder Betreiber$T : \H_{AB}\to\H_{AB}$zerfällt in die direkte Summe von Operatoren$T_{kl} : \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_k} \to \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_l}$. Wir wollen solche Operatoren, die nur auf wirken$\H_A$, da wir vergessen wollen$B$. Das sind genau die mit$k = l$, und wir summieren sie, um den teilweise verfolgten Operator einzuschalten$\H_A$:

Im Allgemeinen sind Teile eines größeren geschlossenen Systems korreliert, und wenn Sie also nur einen Teil beobachten, dann stimmen Ihre Messvorhersagen damit überein, dass sich dieser Teil in einem statistischen Ensemble befindet, dh gemischt ist.
Ich würde nicht sagen, dass diese beiden Formulierungen äquivalent sind, zB um ein System in einem gemischten Zustand zu haben, braucht es kein größeres System, das Ihres als Teil enthält.

Mathematisch wies Norbert Schuch auf die „Reinigung von Quantenzuständen“ hin: Gegeben sei ein Ensemble auf einem Hilbertraum$\mathcal{H}$, Sie können es immer als reinen Zustand auf einem größeren Raum schreiben$\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}^{\prime}$so dass die Beschränkung auf den reinen Zustand zu$\mathcal{H}$ergibt die Ensemblebeschreibung.

Es gibt vielleicht eine zweite und etwas "duale" Beschreibung dafür: Bei einer Dichtematrix für ein statistisches Ensemble wäre dies dasselbe, als würde ich sagen, dass ich einen Zustand habe, aber ich weiß nicht genau, welcher von mehreren Zuständen es ist Ist; Auf diese Weise wird ein Ensemble von reinen Zuständen genauso beschrieben wie ein Zustand, bei dem wir eine gewisse Unkenntnis darüber haben, um welchen Zustand es sich tatsächlich handelt. Nun, da ein System Teil eines größeren geschlossenen Systems ist, sehen wir uns einer ähnlichen Ignoranz gegenüber - wir haben nicht das ganze System, also scheint es lokal nicht klar zu sein, in welchem ​​​​Zustand sich das System befindet, also wird es ein so eingeschränkter Zustand sehen aus wie ein Ensemble.