Wie werden Linearkombinationen von Qubit-Zuständen in der Bloch-Sphäre dargestellt?

Die Blochkugel ist kein Vektorraum. Insbesondere die "Vektoren"/Pfeile, die Sie darauf zeichnen, können nicht wie gewöhnliche Vektoren hinzugefügt werden.

Die Bloch-Kugel ist das, was man erhält, wenn man den zweidimensionalen komplexen Vektorraum nimmt $\mathbb{C}^2$und fragen Sie, was Sie erhalten, wenn Sie keinen Unterschied zwischen Vektoren machen, die sich nur durch Multiplikation mit einem komplexen Skalar unterscheiden. Dies wird als projektiver Hilbert-Raum bezeichnet .

Beachten Sie, dass$\hat{z}$Und$-\hat{z}$unterscheiden sich nur durch Multiplikation mit dem Skalar$-1$, also würden sie identifiziert, wenn die Punkte auf der Bloch-Kugel noch Vektoren im ursprünglichen Hilbert-Raum wären. Sie sind es nicht, und die einzigen Punkte, die reinen Zuständen entsprechen, befinden sich wirklich auf der Kugel , weder in ihrem Inneren noch in ihrem Äußeren.

Wo eine Linearkombination von$\lvert 0\rangle$Und$\lvert 1 \rangle$sitzt auf der Bloch-Kugel ist genau das, was Ihre Formel dafür ist$\lvert \psi\rangle$sagt Ihnen - die Linearkombination$\lvert \psi\rangle$sitzt an den Koordinaten$(\phi,\theta)$auf der Kugel, wobei das die üblichen Polarkoordinaten auf einer Kugel sind.

Schreiben$\lvert 0\rangle = \hat{z}$Und$\lvert 1\rangle = -\hat{z}$ist sehr verwirrend - die Gleichheit ist keine Gleichheit als Vektoren , sondern nur eine Gleichheit als Punkte auf der Kugel . Sie können dies schreiben, indem Sie sich Ihr allgemeines Formular für ansehen$\lvert \psi\rangle$und Definieren der Karte$\mathbb{C}P^2\to S^2, \lvert \psi\rangle\mapsto (\phi,\theta)$unter Verwendung von Polarkoordinaten für die$S^2$, dann durch Einbetten der$S^2$In ein$\mathbb{R}^3$und dann beobachten, dass die beiden Pole auf abgebildet werden$\hat{z}$Und$-\hat{z}$im$\mathbb{R}^3$.

Ich denke, dass das Problem im Wikipedia-Bild besagt$\hat z=\left|0\right>$Und$-\hat z=\left|1\right>$. Das ist mathematisch falsch. Die Bloch-Kugel wird verwendet, um den Spinzustand eines Spins darzustellen$\frac12$Partikel. Somit ist der zugehörige Hilbert-Raum zweidimensional. Sie bezeichnen$\left|0\right>$Und$\left|1\right>$die Basisvektoren. Jetzt können Sie jeden Zustandsvektor in diesem Hilbert-Raum schreiben als

Nun, wenn Sie echte Parameter hätten$\alpha_k$, würden Sie einen Kreis verwenden, der wahrscheinlich definiert$\alpha_0=\cos\theta$Und$\alpha_1=\sin\theta$, was automatisch mit (1) übereinstimmen würde. Aber in einem komplexen Hilbert-Raum haben Sie einen weiteren Freiheitsgrad, der eine relative Phase dazwischen hinzufügt$\alpha_0$Und$\alpha_1$(eine globale Phase ist nutzlos). Sie benötigen dann eine zweiparametrische Darstellung für$\alpha_k$befriedigend (1). Am natürlichsten ist es, die beiden Winkel einer Einheitskugel zu nehmen, und das ist die Bloch-Kugel.

Dann der Einheitsvektor$\hat z$repräsentiert den Hilbert-Raumvektor$\left|0\right>$, Und$-\hat z$repräsentiert den Hilbert-Raumvektor$\left|1\right>$, aber sie sind nicht gleich, wie dieses Wiki-Bild sagt.

Um die vorherigen Antworten zu ergänzen: Ein Teil der anhaltenden Verwirrung bei der Verwendung der Bloch-Kugel besteht darin, dass Vektoren orthogonal im Hilbert-Raum sind, wie$\vert 0\rangle$Und$\vert 1\rangle$, werden auf Vektoren auf der Blochkugel abgebildet, die nicht mehr orthogonal, sondern in entgegengesetzter Richtung sind. Skalarprodukte und lineare Kombinationen aus dem Hilbert-Raum müssen daher beim „Export“ in die Bloch-Sphäre mit Vorsicht behandelt werden.