Wie bringt man zwei verschiedene Ableitungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in Einklang?

Einerseits unter Verwendung der Spektralzerlegung des Hamilton-Operators H , angenommen als ein hermitescher Operator, ist es relativ einfach, die Gleichung herzuleiten U ( T ) = ∑ | v J ⟩ ⟨ v J | e − ich λ J T / ℏ , Wo λ J ist der Eigenwert und | v J ⟩ ist der entsprechende Eigenvektor - unter der Annahme einer diskreten Zerlegung und eines nicht entarteten Falls.

Verwenden Sie andererseits das Matrixexponential und lösen Sie die lineare partielle Differentialgleichung. U ( T ) = e − ich H T / ℏ . Angenommen, der Hamilton-Operator ist ein hermitescher Operator, der über einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum definiert ist H N , ist der Operator beschränkt und die Matrixexponentialkonvergenz konvergiert.

Ich versuche, beide Gleichungen in Einklang zu bringen. Einstecken der Spektralzerlegung von H in der zweiten Gleichung scheint mir die erste nicht zu geben.

Können Sie die Schwierigkeiten, die Sie haben, näher erläutern? Die rechte Seite der ersten Gleichung wird oft als Definition des Matrix-Exponentials in der zweiten genommen, also ist es wichtig, welche Definitionen Sie verwenden und welchen Ansatz Sie verfolgen, damit wir Ihnen helfen können.
Die Definition der von mir verwendeten Matrixexponentiation ist einfach e M = ∑ ich ∞ M ich ich ! . Die Antwort unten war in Ordnung. So einfach! Ich hätte es selbst finden sollen :-(

Antworten (1)

Seit H | v J ⟩ = λ J | v J ⟩ , du hast :

H N | v J ⟩ = λ N | v J ⟩ und deshalb e a H | v J ⟩ = e a λ J | v J ⟩

Darüber hinaus sorgt der Spektralsatz dafür, dass die | v J ⟩ kann als orthonormale Basis angenommen werden und daher:

1 = ∑ J | v J ⟩ ⟨ v J |

Daher haben Sie:

U ( T ) = e − ich H T / ℏ = ∑ J e − ich H T / ℏ | v J ⟩ ⟨ v J | = ∑ J e − ich λ J T / ℏ | v J ⟩ ⟨ v J |

Wie bringt man zwei verschiedene Ableitungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung in Einklang?
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