Geometrische Phase, erfasst durch ein Photon auf der Poincare-Kugel

Die Poincaré-Kugel als Parameterraum ist weder für Photonen noch für Elektronen exklusiv. Es kann in der Evolution verschiedener physikalischer Systeme auftreten; zum Beispiel die Dynamik zwischen zwei hyperfeinen atomaren Zuständen, die von einem Laserstrahl angetrieben werden. Siehe die folgende Arbeit von Viennot für eine allgemeine Charakterisierung generischer Parametrisierungsräume.

Eine wichtige Eigenschaft der Parameterräume ist, dass sie Kählersch sind, dh symplektisch mit einer kompatiblen komplexen Struktur. Die Berechnung der symplektischen Form wird sehr einfach als Nebenprodukt der Berry-Phasenberechnung wie folgt durchgeführt:

Angenommen, wir haben eine Familie von Hamiltonianern$H(R)$parametrisiert durch einen Parameterraum$\mathcal{M} \ni R$. Nehme an, dass$\psi(R)$ist ein normalisierter Eigenvektor, der dem Eigenwert entspricht$E(R)$von$H(R)$:

$$H(R) \psi(R) = E(R) \psi(R)$$ Angenommen, die Parameter $R$werden so variiert, dass das Niveau $E(R)$überquert keine andere Ebene; dann die Berry-Verbindung: $$A = \psi(R)^{\dagger} d \psi(R)$$ Lassen $P(R)$der Projektor auf den Staat sein $\psi(R)$: $$P(R) = \psi(R) \psi(R) ^{\dagger}$$ Dann die symplektische Struktur des Parameterraums $\mathcal{M}$wird gegeben von: $$\omega = \mathrm{tr} \left(P(R) dP(R) \wedge dP(R)\right)$$

(Das ist nicht schwer zu überprüfen$\omega$ist geschlossen). Wenn der Parameterraum die Poincaré-Kugel ist,$\mathcal{M} = S^2$, ist die symplektische Struktur immer ein ganzzahliges Vielfaches des Flächenelements der Poincaré-Kugel, unabhängig von dem Hamilton-Operator, von dem wir ausgegangen sind.

$$\omega = n \omega_{S^2}$$ (mit $\omega_{S^2} = \sin \theta d\theta d\phi$in sphärischen Koordinaten).

Also nur der Parameter$n$bestimmt, wie viele Vielfache des Raumwinkels gleich der Berry-Phase sind.

Die symplektische Form jedes wie oben berechneten Parameterraums ist ganzzahlig, dh sein Fluss durch jeden zweidimensionalen Zyklus geteilt durch$4\pi$ist eine ganze Zahl). Der Grund dafür ist nur dann, dass die Berry-Verbindung eine Verbindung auf einem Leitungsbündel sein wird. Dies geschieht, wenn die Quantisierungsbedingung von Dirac ($n\in \mathbb{Z}$ist befriedigt).

Die Anforderung an die Berry-Phase, eine Bündelholonomie zu sein, ist sehr wichtig; zum Beispiel ist es der tiefe Grund hinter der Klassifizierung von topologischen Isolatoren.

Nun, um zu wissen, was die ganze Zahl ist$n$entsprechend einer physikalischen Situation braucht man nur den Eigenvektor zu berechnen:

Zum Beispiel für eine Spritztour$s$Elektron in einem Magnetfeld ist der Hamiltonoperator$H = \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{B }$Hier$\mathbf{\sigma}$Sind$2s+1 \times 2s+1$Matrizen. Nehmen wir den dem Zustand entsprechenden Eigenvektor$(m_s, s)$, wir bekommen:$n = 2 m_s$Also für das Elektron$m_s = \pm \frac{1}{2}$, wir bekommen$n= \pm 1$.

Beim Photon findet die Polarisationsdynamik in der Ebene senkrecht zur Bewegungsrichtung statt. Der Hamiltonoperator ist zweidimensional. Die explizite Form des Hamilton-Operators ist beispielsweise angegeben in: dem Artikel von Bliokh, Niv, Kleiner und Hasman:

$$H = S_z \mathbf{A(p)}\cdot \dot{\mathbf{p}}$$ ( $S_z$ist die dritte Komponente des Stokes-Vektors, $\mathbf{A(p)}$ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung)

Also haben wir auch in diesem Fall$m_s = \pm \frac{1}{2}$, wir bekommen$n= \pm 1$, obwohl die Eigenwerte von$S_z$(die Helizitäten) sind gleich$\pm 1$.