Berry-Phase für Bloch-Elektronen

Im realen Raum misst die adiabatische Berry-Phase einer geschlossenen Umlaufbahn nur den magnetischen Fluss durch den Bereich der Umlaufbahn.

Erklärung: (siehe Sundaram und Niu )

Die semiklassischen Bewegungsgleichungen eines Blockelektrons im Phasenraum sind gegeben durch (Sundaram- und Niu-Gleichung 3.8)

$$\mathbf{\dot{x}_c} = \frac{\partial \mathcal {E}_M}{\partial \mathbf{k_c} }-\mathbf{\dot{k}_c} \times\mathbf{ \Omega}$$ $$\mathbf{\dot{k}_c} = -e \mathbf{E} - \mathbf{\dot{x}_c} \times\mathbf{ B}$$

Wo:$\mathbf{x_c}$,$\mathbf{k_c}$, sind die Massenschwerpunktposition bzw. der Impuls des Elektronenwellenpakets,$\mathcal{E}_M$ist die magnetische Blochbandenergie,$\mathbf{ E}$Und$\mathbf{ B}$sind die elektrischen bzw. magnetischen Felder und$\mathbf{ \Omega}$ist die Beerenkrümmung.

Diese Bewegungsgleichungen können aus der Lagrange-Funktion (Sundaram- und Niu-Gleichung 3.7) erhalten werden:

$$L = \mathcal {E}_M(\mathbf{k_c}) + e \phi(\mathbf{x_c})+ \mathbf{\dot{x}_c}\cdot\mathbf{k_c} – e \mathbf{\dot{x}_c} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{\dot{k}_c} \cdot \mathbf{A}_B$$ Wo $\phi$ist das elektromagnetische Skalarpotential $\mathbf{A}$ist das elektromagnetische Vektorpotential und $\mathbf{A} _B$ist das Beerenpotential.

Bitte beachten Sie, dass die obige Formulierung zwischen dem Konfigurationsraum und dem Impulsraum symmetrisch ist. Die Berry (geometrische) Phase ergibt sich aus den Vektorpotentialtermen im Lagrange. So wie die adiabatische Berry-Phase im Impulsraum das Berry-Potential über der Umlaufbahn integriert, integriert die Berry-Phase im Konfigurationsraum das elektromagnetische Potential über der Umlaufbahn, was den magnetischen Fluss ergibt.

Die vollständige Berry-Phase ist nämlich gegeben durch:

$$\phi_B = e^{i \oint e \mathbf{A} \cdot d\mathbf{x} + i \oint e \mathbf{A}_B \cdot d\mathbf{k}} = e^{i \int_{\Sigma} e \mathbf{B} \cdot d\hat{\mathbf{x}} + i \int_{\Sigma_k} \mathbf{\Omega} \cdot d\hat{\mathbf{k}}}$$

Wobei die Linienintegrale über einer Umlaufbahn im Phasenraum liegen. Die zweite Gleichheit ist eine Folge des Satzes von Stokes; Das zweite Oberflächenintegral ist die übliche Berry-Phase, die im Impulsraum ausgewertet wird, während das erste der magnetische Fluss ist.