Lässt sich die Berry Connection aus einer Metrik ableiten?

Question

Lässt sich die Berry Connection aus einer Metrik ableiten?

Physik
Quantenmechanik
Beeren-Pancharatnam-Phase

Hühnergott

Die Beerenverbindung ist

A_{μ} (R) = - ich ⟨ Ψ (R) | \partial_{μ} Ψ (R) ⟩

$A_\mu(R)=-i \langle \Psi(R) |\partial_\mu \Psi(R) \rangle$ was es uns ermöglicht, einen Zustand parallel zu transportieren, der von indiziert ist

R

$R$ . Wir können die Beerenverbindung integrieren, um die Beerenphase zu erhalten, und wir können die Beerenverbindung differenzieren, um die Beerenkrümmung zu erhalten.

Lässt sich die Berry Connection aus einer Metrik ableiten? Als prototypisches Beispiel denke ich darüber nach, wie die Christoffel-Symbole in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) aus dem metrischen Tensor abgeleitet werden können. Außerdem denke ich, dass es für jede Verbindung eine Metrik gibt, für die die Verbindung eine Levi-Civita-Verbindung ist. Gibt es jedoch eine natürliche und physikalische Metrik, die die Berry Connection hervorruft?

In dieser Präsentation bringt der große und mächtige Haldane die „Quantendistanz“ mit der Beerenkrümmung in Beziehung, aber es sieht nicht so aus, als könnten Sie die Beerenkrümmung aus der Quantendistanz auf die gleiche Weise ableiten, wie Krümmung und Metrik in GR zusammenhängen.

Christoph

Außerdem denke ich, dass es für jede Verbindung eine Metrik gibt, für die die Verbindung eine Levi-Civita-Verbindung ist. Das ist nicht der Fall; siehe zB mathoverflow.net/questions/54434/…

Hühnergott

Ok cool danke. Wenn das nicht stimmt, bleibt meine Frage bestehen: Gibt es eine Metrik, die besagt, dass die Berry-Verbindung eine Levi-Civita-Verbindung ist?

Selene Rouley

@Christoph Danke für einen fantastischen Link. Ich dachte, ich hätte die meisten Antworten von Bill Thurston auf MO gelesen: Bill Thurston RIP und vielen Dank für die wirklich umwerfende Arbeit, die der Rest von uns gerne sieht.

Antworten (1)

Lässt sich die Berry Connection aus einer Metrik ableiten?

Außerdem denke ich, dass es für jede Verbindung eine Metrik gibt, für die die Verbindung eine Levi-Civita-Verbindung ist. Das ist nicht der Fall; siehe zB mathoverflow.net/questions/54434/…
Ok cool danke. Wenn das nicht stimmt, bleibt meine Frage bestehen: Gibt es eine Metrik, die besagt, dass die Berry-Verbindung eine Levi-Civita-Verbindung ist?
@Christoph Danke für einen fantastischen Link. Ich dachte, ich hätte die meisten Antworten von Bill Thurston auf MO gelesen: Bill Thurston RIP und vielen Dank für die wirklich umwerfende Arbeit, die der Rest von uns gerne sieht.

David Bar Mosche · Answer 1

Die Antwort ist positiv, außer dass die Berry-Verbindung eine Abelsche Verbindung ist und die entsprechende Metrik keine Metrik auf dem Tangentenbündel wie im Riemannschen Fall ist, sondern eher eine Metrik auf einem Linienbündel, dh eine eindimensionale Metrik.

Dieses Linienbündel wurde in In Barry Simons wegweisender Arbeit definiert , wo er bewies, dass die Berry-Phase die Holonomie eines (Verbindung) des hermitischen Linienbündels ist, gegeben durch: $\{R, |\Psi (R)\rangle \} \in (\mathcal{M}, C^\times )$ unter der Bedingung:

H (R) | Ψ (R) ⟩ = E (R) | Ψ (R) ⟩

$H(R) |\Psi(R) \rangle = E(R) |\Psi (R)\rangle$

Wo $\mathcal{M}$ ist der Parameterraum des Hamiltonoperators $H(R)$ . Das Linienbündel wird an jedem Punkt ausgerichtet $\mathcal{M}$ entlang des Eigenvektors $|\Psi (R)\rangle$ der Schrödingergleichung. Dieses Bündel besitzt eine Metrik für den Raum von Abschnitten, die es ermöglicht, Skalarprodukte zwischen zwei Abschnitten zu berechnen $x$ Und $y$ . ( $x$ Und $y$ sind lokal nicht verschwindende komplexe Funktionen auf $\mathcal{M}$ ):

(X, j) (R) = \bar{X} (R) e^{- ⟨ Ψ (R) | Ψ (R) ⟩} j (R)

$(x,y)(R) = \bar{x}(R) e^{-\langle \Psi(R) |\Psi (R)\rangle } y(R)$ Dieses Skalarprodukt ist beim Übergang zwischen Flecken der Mannigfaltigkeit unveränderlich

M

$\mathcal{M}$ .

Jetzt ist es einfach zu zeigen, dass die Berry-Verbindung mit dieser Metrik kompatibel ist (genauso wie die Levi-Civita-Verbindung mit der Riemannschen Metrik kompatibel ist:

\partial_{μ} (X, j) = (D_{μ} X, j) + (X, D_{μ} j)

$\partial_{\mu} (x,y) = (D_{\mu} x,y) + (x, D_{\mu} y)$ Wo:

D_{μ}

$D_{\mu}$ ist die kovariante Ableitung, die der Berry-Verbindung entspricht

D_{μ} = \partial_{μ} + ich A_{μ}

$D_{\mu} = \partial_{\mu}+iA_{\mu}$

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Hühnergott

Christoph

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Selene Rouley

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