Beerenverbindung und Zeitumkehrsymmetrie

Question

Beerenverbindung und Zeitumkehrsymmetrie

Physik
Quantenmechanik
Hausaufgaben-und-Übungen
Zeitumkehr-Symmetrie
Beeren-Pancharatnam-Phase

Janet Zhong

Ich sehe, wie die Berry-Verbindung $\mathcal{A}(k)$ unter Zeitumkehrsymmetrie transformiert. Ich scheine einen Schluckauf über etwas Einfaches zu haben. Ich habe die Dinge vielleicht zu kompliziert gemacht, aber ich denke, es deutet auf einige Missverständnisse hin, die ich möglicherweise habe.

Aus der Definition der Berry-Krümmung wie gewohnt:

\begin{aligned} A (k) & = ich ⟨ ψ (k) | \frac{D}{D k} | ψ (k) ⟩ \\ = ich \int ψ^{⋆} (k) \frac{D ψ (k)}{D k} D \vec{R} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{A}(k) &= i \langle \psi(k) | \frac{d}{dk} |\psi(k)\rangle \\ &= i \int \psi^\star (k) \frac{d \psi (k)}{dk} d\vec{r} \end{align}$

Zeitumkehr anwenden $\hat{\mathcal{T}}$ ,

\begin{aligned} \hat{T} A (k) & = ich ⟨ \hat{T} ψ (k) | \frac{D}{D k} | \hat{T} ψ (k) ⟩ \\ = ich \int \hat{T} ψ^{⋆} (k) \frac{D \hat{T} ψ (k)}{D k} D \vec{R} \\ = ich \int ψ (- k) \frac{D ψ^{⋆} (- k)}{D k} D \vec{R} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\mathcal{T}} \mathcal{A}(k) &= i \langle \hat{\mathcal{T}} \psi(k) | \frac{d}{dk} | \hat{\mathcal{T}} \psi(k)\rangle \\ &= i \int \hat{\mathcal{T}} \psi^\star (k) \frac{d \hat{\mathcal{T}} \psi (k)}{dk} d\vec{r} \\ &= i \int \psi(-k) \frac{d \psi^\star (-k)}{dk} d\vec{r} \end{align}$ Seit

A

$\mathcal{A}$ muss real sein, wir können es konjugieren.

\begin{aligned} = - ich \int ψ^{⋆} (- k) \frac{D ψ (- k)}{D k} D \vec{R} \\ = - A (- k) \end{aligned}

$\begin{align} &= -i \int \psi^\star(-k) \frac{d \psi(-k)}{dk} d\vec{r} \\ &= - \mathcal{A}(-k) \end{align}$ Wenn ich mich also in einem Zeitumkehr-Invariantensystem befinde, habe ich es

\begin{aligned} \hat{T} A (k) & = A (k) \\ ⟹ A (k) & = - A (- k) \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\mathcal{T}} \mathcal{A} (k) &= \mathcal{A} (k) \\ \implies \mathcal{A} (k) &= - \mathcal{A}(-k) \end{align}$ Was falsch ist, ich bin beim Minuszeichen daneben.

Meine Fragen:

Stimmt es, dass die Berry-Verbindung immer real ist? Das war meine Rechtfertigung für die Konjugation. Ich denke, sie machen diesen Schritt in beiden unten aufgeführten Quellen.
Ist dies ein Notationsmissbrauch, wenn ich dies getan habe (die Ableitung mit dem Ket setzen): $\begin{aligned} A (k) & = ich ⟨ ψ (k) | \frac{D ψ (k)}{D k} ⟩ \\ \hat{T} A (k) & = ich ⟨ \hat{T} ψ (k) | \hat{T} \frac{D ψ (k)}{D k} ⟩ \end{aligned}$ $\begin{align} \mathcal{A}(k) &= i \langle \psi(k) | \frac{d \psi(k)}{dk} \rangle \\ \hat{\mathcal{T}} \mathcal{A} (k) &= i \langle \hat{\mathcal{T}} \psi(k) | \hat{\mathcal{T}} \frac{d \psi(k)}{dk} \rangle \end{align}$ Und wenn dies der Fall wäre, wie $\hat{\mathcal{T}}$ wirken auf den Differentialoperator? Würde $\begin{aligned} \hat{T} \frac{D}{D k} = \frac{D}{D (- k)} \hat{T} \end{aligned}$ $\begin{align} \hat{\mathcal{T}} \frac{d }{dk} = \frac{d }{d(-k)} \hat{\mathcal{T}} \end{align}$ wahr sein? Ich habe das Gefühl, dass Sie die Ableitung nicht einfach ohne Minuszeichen herausnehmen können, oder wie würde der Geschwindigkeitsoperator sonst negativ werden?
Warum tut $\hat{\mathcal{T}}$ nicht auf die einwirken $i$ außerhalb der Klammern in $\hat{\mathcal{T}} \mathcal{A}(k) = i \langle \hat{\mathcal{T}} \psi(k) | \frac{d}{dk} | \hat{\mathcal{T}} \psi(k)\rangle$ ?
War in meiner Herleitung noch etwas falsch?

Quellen:

Sie definieren die Berry-Verbindung mit einem zusätzlichen Minuszeichen, aber das sollte keine Rolle spielen http://www-personal.umich.edu/~sunkai/teaching/Fall_2012/chapter3_part8.pdf
Topological States on Interfaces Protected by Symmetry, von Takahashi 2015. Die Ableitung daraus ist folgende:

\begin{aligned} A^{a} (- k) & = - ich ⟨ u^{a} (- k) | \nabla u^{a} (- k) ⟩ \\ = - ich ⟨ \nabla Θ u^{a} (- k) | Θ u^{a} (- k) ⟩ \\ = ich ⟨ Θ u^{a} (- k) | \nabla Θ u^{a} (- k) ⟩ \\ = A^{β} (k) + ich \nabla χ (k) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf { a } ^ { \alpha } ( \mathbf { - k } ) & = - i \left\langle u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) | \nabla u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) \right\rangle \\ & = - i \left\langle \nabla \Theta u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) | \Theta u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) \right\rangle \\ & = i \left\langle \Theta u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) | \nabla \Theta u ^ { \alpha } ( - \mathbf { k } ) \right\rangle \\ & = \mathbf { a } ^ { \beta } ( \mathbf { k } ) + i \nabla \chi ( \mathbf { k } ) \end{align}$

Antworten (1)

Beerenverbindung und Zeitumkehrsymmetrie

Janet Zhong · Answer 1

Meine bisherige Schlussfolgerung ist, dass die Zeitumkehr auf die Ableitung einwirkt:

\begin{aligned} \hat{T} \frac{D}{D k} = \frac{D}{D (- k)} \hat{T} = - \frac{D}{D k} \hat{T} . \end{aligned}

$\begin{align} \hat { \mathcal { T } } \frac { d } { d k } = \frac { d } { d ( - k ) } \hat { \mathcal { T } } = - \frac { d } { d k } \hat { \mathcal { T } }. \end{align}$ Und dass es auch auf die wirkt

i

$i$ außerhalb der Klammern.

Mein negativer Vorzeichenfehler war, dass ich gleichgesetzt habe

\begin{aligned} A (- k) = ich ⟨ ψ (- k) | \frac{D ψ (- k)}{D k} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{A}(-k)= i \langle \psi ( -k ) | \frac { d \psi ( -k ) } { d k } \rangle. \end{align}$ Aber eigentlich ist es:

\begin{aligned} A (- k) = ich ⟨ ψ (- k) | \frac{D ψ (- k)}{D (- k)} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{A}(-k)= i \langle \psi ( -k ) | \frac { d \psi ( -k ) } { d (-k) } \rangle. \end{align}$ (Eine einfache Möglichkeit, dies zu überprüfen, ist, wenn

x (t) = \sin (t), v (t) = \cos (t)

$x(t)= \sin(t), v(t)= \cos(t)$ , So

v (- t) = \cos (- t) = \frac{d x (- t)}{d (- t)}

$v(-t)= \cos(-t) = \frac{dx(-t)}{d(-t)}$ und nicht

\frac{d x (- t)}{d t}

$\frac{dx(-t)}{dt}$ ).

Also meine Herleitung lautet jetzt wie folgt:

\begin{aligned} T A (k) & = T (ich ⟨ ψ (k) | \frac{D ψ (k)}{D k} ⟩) \\ = T (ich \int ψ^{⋆} (k) \frac{D ψ (k)}{D k} D \vec{R}) \\ = - ich \int T (ψ^{⋆} (k) \frac{D ψ (k)}{D k}) D \vec{R} \\ = - ich \int ψ (- k) \frac{D ψ^{⋆} (- k)}{D (- k)} D \vec{R} \\ = ich \int ψ^{⋆} (- k) \frac{D ψ (- k)}{D (- k)} D \vec{R} \\ = ich ⟨ ψ (- k) | \frac{D ψ (- k)}{D (- k)} ⟩ \\ = A (- k) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} \mathcal{A} (k) &= \mathcal{T} \left( i \langle \psi ( k ) | \frac { d \psi ( k ) } { d k } \rangle \right) \\ &= \mathcal{T} \left( i \int \psi ^ { \star } ( k ) \frac { d \psi ( k ) } { d k } d \vec { r } \right) \\ &= -i \int \mathcal{T} \left( \psi ^ { \star } ( k ) \frac { d \psi ( k ) } { d k }\right) d \vec { r } \\ &= -i \int \psi ( -k ) \frac { d \psi^\star( -k ) } { d (-k) } d \vec { r } \\ &= i \int \psi^\star ( -k ) \frac { d \psi( -k ) } { d (-k) } d \vec { r } \\ &= i \langle \psi ( -k ) | \frac { d \psi ( -k ) } { d (-k) } \rangle \\ &= \mathcal{A}(-k) \end{align}$ Einige Quellen können die nicht konjugieren

i

$i$ , aber das liegt daran, dass sie von beginnen

A (- k)

$\mathcal{A}(-k)$ und ersetzen Sie die Wellenfunktion durch die zeitumgekehrte Wellenfunktion, die sich von der Anwendung unterscheidet

T

$\mathcal{T}$ auf den ganzen Begriff, wie ich es getan habe, aber beide Ableitungen sind äquivalent.

Beerenverbindung und Zeitumkehrsymmetrie

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