Praktische Berechnung der geometrischen Phase

Ich bin Doktorand und arbeite auf dem Gebiet der Quantenchemie, insbesondere auf dem Gebiet der nicht-adiabatischen Dynamik molekularer Systeme. Ich bin in einem Projekt, auf das ich gestoßen bin, auf ein kleines Problem gestoßen, da ich die geometrische (Berry's) Phase um eine geschlossene Schleife herum berechnen muss, die einen konischen Schnittpunkt zweier adiabatischer elektronischer Zustände enthält (innerhalb des Born-Oppenheimer ca ). Mein aktuelles Problem manifestiert sich in der Wegwahl für die Integration. Ich muss das Wegintegral berechnen

$\tau_{ij}(\Gamma) = \oint_\Gamma d s_\mu \langle\Psi_i \vert \nabla^\mu \Psi_j\rangle = n\pi$

Wo$n$ist die Anzahl der konischen Schnittpunkte (oder Punkte, an denen der Yang-Mills-Feldtensor nicht Null ist), die in der geschlossenen Schleife eingeschlossen sind$\Gamma$. Hier$\mu$läuft über alles$3N$nukleare kartesische Komponenten der$N$Atome im molekularen System.

Nach dem, was ich gelesen habe, sollte diese Integration angesichts eines konischen Schnittpunkts relativ trivial sein: Zeichnen Sie einfach einen Kreis im Parameterraum um einen konischen Schnittpunkt und führen Sie die Pfadintegration durch. Das erscheint mir seltsam, denn wie können wir sagen, dass jeder beliebige Pfad, der den konischen Schnittpunkt in (im Wesentlichen)$\mathbb{R}^2$wird der konische Schnittpunkt "enthalten", sobald er in die volldimensionale Mannigfaltigkeit der adiabatischen elektronischen Zustände eingebettet ist?

Ich sehe, wie dies sinnvoll wäre, wenn der genaue konische Schnittpunkt bekannt ist (dh im Abschnitt zur analytischen Lösung), aber die konischen Schnittpunkte, die ich erhalte, sind ungefähr (die Zustände sind bis zu etwa einem Nano-Hartree degeneriert), was mich mit verlässt Zweifel, ob die gleiche einfache Kontur noch ausreichen würde.

Ich denke, die allgemeine Frage ist, wie garantiere ich, dass die Schleife, die ich erzeuge, tatsächlich den konischen Schnittpunkt (praktisch) "enthält"?