Nulldimensionale Feldtheorie

Die nulldimensionale Quantenfeldtheorie ist genau wie eine Standard-Quantenfeldtheorie, außer dass die Hintergrundraumzeit genau ein Punkt ist.

Betrachten Sie für einen Moment a$d$-dimensionale QFT definiert durch ein Partitionsfunktional (in der euklidischen Signatur)

$$\mathcal{Z}[J]=\int\mathcal{D}\phi\,e^{-S[\phi,J]},$$

Wo$\phi$ist ein Platzhalter für alle Felder und$J$ist ein Platzhalter für alle Strömungen. Variierend$\mathcal{Z}$gegenüber$J$bietet eine Möglichkeit, Korrelationsfunktionen zu berechnen.

Jetzt wird eine nulldimensionale QFT im gleichen Licht formuliert, aber da die Felder nicht mit der Position variieren (da es keine Position gibt, mit der sie variieren können), wird das Pfadintegral einfach zu einem regulären Integral:

$$\mathcal{Z}(J)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\phi\,e^{-S(\phi,J)}.$$

In diesem Licht,$\mathcal{Z}$ist eine Funktion einer Variablen$J$Und$S$ist eine Funktion von$\phi$Und$J$, nicht funktional.

Warum ist es überhaupt sinnvoll, dies zu definieren? Der größte Nutzen besteht darin, die Eigenschaften von QFTs ohne die zusätzlichen Komplikationen untersuchen zu können, die durch die Arbeit mit mehreren Dimensionen entstehen. Betrachten Sie zum Beispiel eine nulldimensionale QFT, deren Aktion gegeben ist durch

$$S(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4}\phi^4.$$

Dies ist nur ein nulldimensionales Analogon von$\phi^4$Theorie, die wir alle zu lernen gewohnt sind. Nehmen wir an, ich möchte die Vierpunktfunktion berechnen

$$\langle\phi^4\rangle=\frac{1}{\mathcal{Z}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\phi\,\phi^4\,\exp\left(-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4}\phi^4\right).$$

Wenn wir das Exponential sowohl im Zähler als auch im Nenner erweitern, finden wir das$\langle\phi^4\rangle$ist eine perturbative Expansion in$\lambda$. Wenn ich ein wenig mehr Arbeit machen würde, könnte ich leicht das schematische Bild dieser Erweiterung entdecken! Wir haben gerade eine schematische Erweiterung mit minimalem Aufwand gefunden. Hurra!

Dies ist auch ein guter Spielplatz, um kompliziertere QFT-Themen wie Eichtheorie, fermionische Pfadintegrale, Resummation und sogar Supersymmetrie zu betrachten (siehe die folgenden wunderbaren Notizen von David Skinner).

Dies ist sogar außerhalb der Physik nützlich. Ein Mathematiker könnte die Kraft darin sehr schnell erkennen. Durch die Verwendung eines nulldimensionalen Pfadintegrals können wir einen Weg finden, die Anzahl der Graphen aufzuzählen$k$externe Leitungen,$n$Knoten und mit spezifischen Regeln dafür, wie viele Kanten einen Knoten treffen können. Nulldimensionale Pfadintegrale haben auch geometrische Bedeutung, da einige supersymmetrische Theorien Kohomologien haben, die denen interessanter topologischer Räume entsprechen.

Alles in allem sind nulldimensionale QFTs nur sehr nützliche Spielplätze, um Aspekte komplizierterer QFTs zu untersuchen, und sind auch in der reinen Mathematik nützlich.

Ich hoffe das hilft!

Ich wollte die obigen Antworten nur ergänzen, indem ich feststellte, dass die Wick-Rotation von 0D QFT mit der statistischen Mechanik identisch ist. Zum Beispiel die Zustandssumme eines Gases

$$Z(\beta)=\int d^3\vec{p}_1\cdots d^3\vec{p}_Nd^3\vec{r}_1\cdots d^3\vec{r}_N e^{-\beta\left(\sum_{i=1}^N\frac{\vec{p_i}^2}{2m}+V(\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_N)\right)}$$ Nimmt genau die Form einer 0D-QFT für ein Feld an$\phi=(\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_N,\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N):\{\text{pt}\}\rightarrow\mathbb{R}^{6N}$dessen euklidische Wirkung ist $$S_E(\phi)=\sum_{i=1}^N\frac{\vec{p_i}^2}{2m}+V(\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_N)$$ Und$\beta=\frac{1}{\hbar}$. Natürlich ist die Identifikation der Raumzeit mit einem Punkt willkürlich. Ich hätte genauso gut setzen können$\phi:\{1,\dots,N\}\rightarrow\mathbb{R}^6$von$\phi(i)=(\vec{r}_i,\vec{p}_i)$, oder$\phi:\{1,2\}\rightarrow\mathbb{R}^N$von$\phi(1)=(\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N)$Und$\phi(2)=(\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_N)$.