Feynman-Graphen in der nichtkommutativen Quantenfeldtheorie

1. Wenn Physiker von nichtkommutativer Feldtheorie sprechen , sprechen sie oft von einem Sternprodukt$\star$innerhalb der Lagrange-Dichte, zB nicht kommutativ$\phi^4$-Theorie ist

   $${\cal L}~=~-\frac{1}{2}\partial_{\mu} \phi ~\partial^{\mu} \phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi\star\phi\star\phi\star\phi,$$ dh oben$^1$im Wegintegral .

   Das Starprodukt$\star$wird oft nur in räumlichen Richtungen als nicht-kommutativ angenommen. Dann das Starprodukt$\star$beeinträchtigt nicht die Zeitscheiben-/Ordnungsvorschrift im Pfadintegral, und es wird keine geben$\star$-Differenzierungen unten im Pfadintegral. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier und darin enthaltene Links.

2. Planare , nicht kommutative Feynman-Diagramme verwenden die doppelte Index/Linien-Notation von 't Hooft . Das macht Sinn, weil das Star-Produkt$\star$kann als Multiplikation von (möglicherweise unendlichdimensionalen) Matrizen angesehen werden. Das Momentum$p=\ell_a-\ell_b$in einem Doppellinienpropagator ist die Differenz zwischen den Impulsen der beiden Einzellinien. Auf diese Weise wird die Gesamtimpulserhaltung automatisch implementiert und Knoten nehmen eine einfachere Form an.

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$^1$Eine Korrelatorfunktion$\langle F \rangle$im Weg ist die Integralformulierung schematisch von der Form$\langle F \rangle=\frac{1}{Z} \int F e^{\frac{i}{\hbar}S}$. Die Wörter unten und oben beziehen sich auf$F$Und$S$, aus hoffentlich offensichtlichen Gründen.