Lokalisierung und Supersymmetrie-Erklärung

Question

Lokalisierung und Supersymmetrie-Erklärung

Physik
Superalgebra
Supersymmetrie
Grasmann-Nummern
Quantenfeldtheorie

Klavier

Ich bin verwirrt über Abschnitt 9.3 des Buches Mirror Symmetry . Insbesondere bin ich verwirrt über die Ableitung, die in den Gleichungen (9.32) bis (9.35) durchgeführt wird, wo sie behaupten, dass die Zustandssumme Null ist, wenn $h'$ hat keine Nullen.

Betrachten Sie insbesondere eine 0-dimensionale QFT mit fermionischen und bosonischen Variablen, die durch die Aktion definiert sind

\begin{matrix} (9.25) & S = S_{0} - S_{1} ψ_{1} ψ_{2} \end{matrix}

$S=S_0 - S_1\psi_1\psi_2 \tag{9.25}$ mit

\begin{matrix} (9.28) & S_{0} (X) = \frac{1}{2} [H^{'} (X)]^{2} Und S_{1} = H^{″} (X) . \end{matrix}

$S_0(x)=\frac{1}{2}[h'(x)]^2\quad\text{and}\quad S_1=h''(x).\tag{9.28}$ Die Partitionsfunktion ist

\begin{matrix} (9.26) & Z = \int D X D ψ_{1} D ψ_{2} e^{- S} . \end{matrix}

$Z=\int dxd\psi_1d\psi_2 e^{-S}.\tag{9.26}$ Diese Aktion hat ungerade Symmetrien:

\begin{matrix} (9.30') & v_{1} = ψ_{1} \frac{\partial}{\partial X} - H^{'} (X) \frac{\partial}{\partial ψ_{2}} Und v_{2} = ψ_{2} \frac{\partial}{\partial X} + H^{'} (X) \frac{\partial}{\partial ψ_{1}} . \end{matrix}

$V_1=\psi_1 \frac{\partial}{\partial x} - h'(x) \frac{\partial}{\partial \psi_2} \quad\text{and}\quad V_2 = \psi_2 \frac{\partial}{\partial x} + h'(x) \frac{\partial}{\partial \psi_1}.\tag{9.30'}$ Dies führt zu den infinitesimalen Transformationen

δ X = ϵ^{1} ψ_{1} + ϵ^{2} ψ_{2}

$\delta x=\epsilon^1 \psi_1 + \epsilon^2 \psi_2$

\begin{matrix} (9.30) & δ ψ_{1} = ϵ^{2} H^{'} \end{matrix}

$\delta \psi_1 = \epsilon^2 h'\tag{9.30}$

δ ψ_{2} = - ϵ^{1} H^{'} .

$\delta \psi_2 = -\epsilon^1 h'.$ Dann behaupten sie das, indem sie diese Symmetrien ausnutzen

Z = 0

$Z=0$ Wenn

h^{'}

$h'$ ist überall ungleich Null. Hier entsteht meine Verwirrung.

Ist die Verwendung "legal".
$\begin{matrix} (1) & ϵ^{1} = ϵ^{2} = - ψ_{1} / H^{'} \end{matrix}$ $\epsilon^1=\epsilon^2=-\psi_1/h'\tag{1}$ eine der fermionischen Variablen auf Null zu ändern? Ich dachte, die $\epsilon$ musste infinitesimal sein, damit die Transformation eine Symmetrie war und die Aktion invariant blieb.
Wie "motiviert" dies die Änderung der Variablen in Gleichung (9.32) unten?
$\hat{X} := X - \frac{ψ_{1} ψ_{2}}{H^{'}}$ $\hat{x} := x-\frac{\psi_1 \psi_2}{h'}$ $\begin{matrix} (9.32) & {\hat{ψ}}_{1} := a (X) ψ_{1} \end{matrix}$ $\hat{\psi}_1:=\alpha(x) \psi_1\tag{9.32}$ ${\hat{ψ}}_{2} := ψ_{1} + ψ_{2} .$ $\hat{\psi}_2 := \psi_1 + \psi_2.$
Wie kamen sie auf (9.33) und (9.34)? Gleichung (9.33) besagt das
$\begin{matrix} (9.33) & S (X, ψ_{1}, ψ_{2}) = S (\hat{X}, 0, {\hat{ψ}}_{2}) \end{matrix}$ $S(x, \psi_1, \psi_2) = S(\hat{x},0,\hat{\psi}_2)\tag{9.33}$ Vermutlich wegen der Symmetrie. Aber was tut $S(\hat{x},0,\hat{\psi}_2)$ eigentlich aussehen? Gleichung (9.34) ist die Transformation des Maßes aus der obigen Variablenänderung; $\begin{matrix} (9.34) & D X D ψ_{1} D ψ_{2} = (a (\hat{X}) - \frac{H^{″} (\hat{X})}{(H^{'} (\hat{X}))^{2}} {\hat{ψ}}_{1} {\hat{ψ}}_{2}) D \hat{X} D {\hat{ψ}}_{1} D {\hat{ψ}}_{2} . \end{matrix}$ $dxd\psi_1d\psi_2 = \left(\alpha(\hat{x}) - \frac{h''(\hat{x})}{(h'(\hat{x}))^2}\hat{\psi}_1 \hat{\psi}_2\right) d\hat{x} d\hat{\psi}_1 d\hat{\psi}_2 .\tag{9.34}$ Ich bin mir nicht ganz sicher, woher das kam.
Gleichung (9.35) ergibt sich direkt aus dem Einsetzen von (9.34) (der Maßänderung) in die Zustandssummenfunktion. Aber wo ist die totale Ableitung drin? $\hat{X}$ im zweiten Semester
$\begin{matrix} (9.35') & \int e^{- S (\hat{X}, 0, {\hat{ψ}}_{2})} \frac{H^{″} (\hat{X})}{(H^{'} (\hat{X}))^{2}} {\hat{ψ}}_{1} {\hat{ψ}}_{2} D \hat{X} D {\hat{ψ}}_{1} D {\hat{ψ}}_{2} ? \end{matrix}$ $\int e^{-S(\hat{x},0,\hat{\psi}_2)} \frac{h''(\hat{x})}{(h'(\hat{x}))^2} \hat{\psi}_1 \hat{\psi}_2 d\hat{x} d\hat{\psi}_1d\hat{\psi}_2?\tag{9.35'}$ Ich denke, das könnte deutlicher werden, wenn ich wüsste, was die Funktion ist $S(\hat{x},0,\hat{\psi}_2)$ sah aus wie.

Antworten (1)

Lokalisierung und Supersymmetrie-Erklärung

QMechaniker · Answer 1

Wir sollten uns zunächst bewusst machen, dass die infinitesimalen Grassmann-ungerade Parameter $\epsilon^1$ Und $\epsilon^2$ dürfen von den Variablen abhängen $x$ , $\psi_1$ Und $\psi_2$ in der infinitesimalen SUSY-Transformation (9.30). Das werden wir natürlich in Gl. (1).

OP stellt eine gute Frage zum Status endlicher SUSY-Transformationen. Betrachten wir dazu eine Unterklasse von infinitesimalen Parametern der Form
$\begin{matrix} (1') & \begin{aligned} ϵ^{1} (X, ψ_{1}, ψ_{2}) & = \frac{F^{1} (X)}{H^{'} (X)} ψ_{1}, \\ ϵ^{2} (X, ψ_{1}, ψ_{2}) & = \frac{F^{2} (X)}{H^{'} (X)} ψ_{1}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\epsilon^1(x,\psi_1,\psi_2)~&=~\frac{f^1(x)}{h^{\prime}(x)}\psi_1, \cr \epsilon^2(x,\psi_1,\psi_2)~&=~\frac{f^2(x)}{h^{\prime}(x)}\psi_1, \end{align}\tag{1'}$ Wo $f^1(x)$ Und $f^2(x)$ sind zwei beliebige infinitesimale Funktionen. [Hier haben wir die Annahme verwendet, dass $h^{\prime}(x)\neq 0$ zur späteren Vereinfachung.] Dann wird die infinitesimale SUSY-Transformation (9.30) zu $\begin{matrix} (9.30'') & \begin{aligned} δ X & = \frac{F^{2} (X)}{H^{'} (X)} ψ_{1} ψ_{2}, \\ δ ψ_{1} & = F^{2} (X) ψ_{1}, \\ δ ψ_{2} & = - F^{1} (X) ψ_{1} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\delta x ~&=~ \frac{f^2(x)}{h^{\prime}(x)} \psi_1 \psi_2,\cr \delta \psi_1 ~&=~ f^2(x) \psi_1 ,\cr \delta \psi_2 ~&=~ -f^1(x) \psi_1 . \end{align}\tag{9.30''}$ Dies kann bis auf die entsprechenden endlichen SUSY-Transformationen integriert werden $\begin{matrix} (9.30''') & \begin{aligned} \hat{X} & = X + \frac{F^{2} (X)}{H^{'} (X)} ψ_{1} ψ_{2}, \\ {\hat{ψ}}_{1} & = a (X) ψ_{1}, a (X) := 1 + F^{2} (X), \\ {\hat{ψ}}_{2} & = ψ_{2} - F^{1} (X) ψ_{1}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \hat{x} ~&=~x+\frac{F^2(x)}{h^{\prime}(x)}\psi_1\psi_2, \cr \hat{\psi}_1 ~&=~ \alpha(x) \psi_1, \qquad\qquad \alpha(x)~:=~1 + F^2(x),\cr \hat{\psi}_2 ~&=~\psi_2 - F^1(x) \psi_1 , \end{align}\tag{9.30'''}$ Wo $F^1(x)$ Und $F^2(x)$ sind zwei beliebige endliche Funktionen. [Der Leser sollte prüfen, ob die endliche SUSY-Transformation (9.30''') unter Komposition forminvariant ist.]

Insbesondere ist es einfach, die Aktion zu überprüfen
$S (\hat{X}, {\hat{ψ}}_{1}, {\hat{ψ}}_{2}) = S (X, ψ_{1}, ψ_{2})$ $S(\hat{x},\hat{\psi}_1,\hat{\psi}_2)~=~S(x,\psi_1,\psi_2)$ ist invariant unter der endlichen SUSY-Transformation (9.30''').

Es ist leicht zu sehen, dass die inverse endliche SUSY-Transformation (9.30''') wird
$\begin{matrix} (9.30'''') & \begin{aligned} X & = \hat{X} - \frac{F^{2} (\hat{X})}{a (\hat{X}) H^{'} (\hat{X})} {\hat{ψ}}_{1} {\hat{ψ}}_{2}, \\ ψ_{1} & = \frac{1}{a (\hat{X})} {\hat{ψ}}_{1}, \\ ψ_{2} & = {\hat{ψ}}_{2} + \frac{F^{1} (\hat{X})}{a (\hat{X})} {\hat{ψ}}_{1} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} x ~&=~\hat{x}-\frac{F^2(\hat{x})}{\alpha(\hat{x})h^{\prime}(\hat{x})}\hat{\psi}_1\hat{\psi}_2, \cr \psi_1 ~&=~ \frac{1}{\alpha(\hat{x})}\hat{\psi}_1, \cr \psi_2 ~&=~\hat{\psi}_2 + \frac{F^1(\hat{x})}{\alpha(\hat{x})}\hat{\psi}_1 .\end{align}\tag{9.30''''}$ [Tipp: Beginnen Sie mit der Aufstellung der mittleren Gleichung.]
Der Ansatz (1') [und der Ansatz (1)] wurden gewählt, weil es umständlich (aber wir vermuten nicht unmöglich) ist, die infinitesimalen SUSY-Transformationen (9.30) direkt zu integrieren. Es ist viel einfacher, nur Untervariationen proportional zu zu betrachten $\psi_1$ , denn dann können wir die Nilpotenz immer wieder verwenden $\psi_1^2=0$ vereinfachen. Um zu Gl. (9.32) aus Gl. (9.30''') Jetzt wähle
$F^{1} (X) = F^{2} (X) = - 1, a (X) := 1 + F^{2} (X) = 0, {\hat{ψ}}_{1} = a (X) ψ_{1} = 0.$ $F^1(x)~=~F^2(x)~=~-1 , \qquad \alpha(x)~:=~1 + F^2(x) ~=~0,\qquad \hat{\psi}_1~=~ \alpha(x) \psi_1~=~0.$ Dies ist jedoch eine singuläre Transformation, also nehmen wir das zunächst an $F^1$ Und $F^2$ Sind $x$ -unabhängige Konstanten unterschiedlich von $-1$ , und nehmen Sie erst ganz am Ende der Berechnung die Grenze zu $-1$ .
Seit Ref. 1 identifiziert Beresin-Integration mit Differenzierung von rechts, vgl. Gl. (9.20) sind die Ableitungen in der Jacobi-Supermatrix Rechtsableitungen. Die Jacobi-Supermatrix wird
$\frac{\partial_{R} (X, ψ_{1}, ψ_{2})}{\partial (\hat{X}, {\hat{ψ}}_{1}, {\hat{ψ}}_{2})} = (\begin{matrix} 1 + \frac{F^{2} H^{''} (\hat{X})}{a H^{'} (\hat{X})^{2}} {\hat{ψ}}_{1} {\hat{ψ}}_{2} & * & * \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & * & 1 \end{matrix}) .$ $\frac{\partial_R(x,\psi_1,\psi_2)}{\partial (\hat{x},\hat{\psi}_1,\hat{\psi}_2)} ~=~\begin{pmatrix} 1+\frac{F^2 h^{\prime\prime}(\hat{x})}{\alpha h^{\prime}(\hat{x})^2}\hat{\psi}_1\hat{\psi}_2 &\ast&\ast \cr 0&\frac{1}{\alpha} &0 \cr 0 & \ast &1 \end{pmatrix}.$ Die Superdeterminante/Berezinian wird $S D e T \frac{\partial_{R} (X, ψ_{1}, ψ_{2})}{\partial (\hat{X}, {\hat{ψ}}_{1}, {\hat{ψ}}_{2})} = a + \frac{F^{2} H^{''} (\hat{X})}{H^{'} (\hat{X})^{2}} {\hat{ψ}}_{1} {\hat{ψ}}_{2},$ ${\rm sdet}\frac{\partial_R(x,\psi_1,\psi_2)}{\partial (\hat{x},\hat{\psi}_1,\hat{\psi}_2)} ~=~\alpha+\frac{F^2 h^{\prime\prime}(\hat{x})}{ h^{\prime}(\hat{x})^2}\hat{\psi}_1\hat{\psi}_2,$ was Gl. (9.34).
Nehmen wir endlich das Limit. Die Aktion
$S (\hat{X}, {\hat{ψ}}_{1} = 0, {\hat{ψ}}_{2}) = S_{0} (\hat{X}) = \frac{1}{2} H^{'} (\hat{X})^{2}$ $S\left(\hat{x},\hat{\psi}_1\!=\!0,\hat{\psi}_2\right)~=~S_0(\hat{x})~=~\frac{1}{2}h^{\prime}(\hat{x})^2$ macht den Integranden (9.35') der Form $H^{''} (\hat{X}) F C T (H^{'} (\hat{X})),$ $h^{\prime\prime}(\hat{x})~{\rm fct}(h^{\prime}(\hat{x})),$ was eindeutig eine totale Ableitung bzgl. $\hat{x}$ .

Verweise:

K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil und E. Zaslow, Mirror Symmetry, 2003; Abschnitte 9.2-9.3. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

Danke, das ist unglaublich hilfreich! Ein paar Fragen: 1. Gibt es im Allgemeinen ein Verfahren zum Integrieren infinitesimaler Transformationen, um endliche zu erhalten? (Wenn nicht, wie haben Sie (9.30''') erhalten?) 2. Und haben Sie die inverse Transformation erhalten, indem Sie das Vorzeichen der infinitesimalen Transformation geändert und integriert haben? Wenn nein, wie wurde die Rücktransformation erhalten?
3. Können Sie einfach ersetzen $x$ mit $\hat{x}$ innerhalb der Funktionen $F^1(x), F^2(x), h'(x)$ ?
1. Dies scheint zu allgemein für einen Kommentar zu sein. 2. Nein, direkt aus der endlichen SUSY-Transformation (9,30'''). 3. Ja, wenn Sie daneben stehen $\psi_1$ .
Ich gehe die gleichen Berechnungen durch und habe einige Zweifel an der Antwort von @Qmechanic. Zuerst bei der Berechnung der inversen Transformation für $\psi_1$ , Ich erhalte auch einen Begriff, der mit kommt $\hat{\psi}_1 \hat{\psi}_2$ dass ich nicht sehe, warum es abbrechen sollte. Und für die Jacobianer ist das der Grund $\alpha(\hat{X})$ nicht abgeleitet?

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