Erhalten der Wellenfunktion aus der Feldgleichung

Das Dirac-Feld Ψ ( X ) erfüllt die Dirac-Gleichung

( ich γ μ ∂ μ − M ) Ψ ( X ) = 0

Wenn wir quantisieren, wird jede der vier Komponenten des Dirac-Feldes zu einem Operator, der Elektronen oder Positronen mit verschiedenen Spinzuständen erzeugt oder zerstört.

Die Dirac-Feldgleichung in einem EM-Feld reduziert sich jedoch auf die Pauli-Gleichung in der nichtrelativistischen Grenze, die eine Gleichung für ein Zweikomponentenobjekt ist, wobei jede Komponente dem Spinzustand des Elektrons entspricht.

Aber so wird die Pauli-Gleichung normalerweise nicht dargestellt. Seine Komponenten werden normalerweise als Wellenfunktionen mit der üblichen Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet, und dies stimmt mit dem Experiment überein.

Meine Frage ist , wie erhält man bei einem Quantenfeldoperator die entsprechende Wellenfunktion der üblichen QM?

Ich habe mir unzählige Lehrbücher über QFT angesehen, und dies wird nie diskutiert, abgesehen vom letzten Kapitel von Weinberg QFT Vol1, aber was dort passiert, scheint sehr willkürlich und ad hoc zu sein.

Antworten (2)

Weinbergs letztes Kapitel ist nicht ad hoc. Es ist die Antwort auf Ihre Frage.

In der gewöhnlichen Quantenmechanik entspricht die Wellenfunktion einem Zustand eines einzelnen Teilchens | ψ ⟩ , Ist

ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩
Wo | X ⟩ ist ein Eigenzustand des Positionsoperators mit Position X .

Jetzt in relativistischer QFT, mit Quantenfeld Ψ , ist es problematisch, einen Positionsoperator zu definieren, aber

Ψ † ( X ) | 0 ⟩
erzeugt ein einzelnes Teilchen, das in gewissem Sinne so wirkt, als wäre es lokalisiert X . Es ist eine Fourier-Transformation von Impulszuständen und hat die richtigen Transformationseigenschaften unter der Poincaré-Gruppe.

Wenn wir also einen Einzelteilchenzustand haben | ψ ⟩ im QFT,

ψ ( X ) = ⟨ 0 | Ψ ( X ) | ψ ⟩
ist ein Objekt, das genau wie die gewöhnliche QM-Wellenfunktion definiert ist. Und aus der Operator-Bewegungsgleichung für Ψ wir erhalten die Wellenfunktionsgleichung der Bewegung für ψ . Die im Sinne der Wellenfunktion gedachten Lösungen der Dirac-Gleichung sind also wirklich auf diese Zustände anwendbar | ψ ⟩ im echten QFT.

Eine Wellenfunktion ist die Projektion eines Zustands in die Koordinatenbasis, wobei die Koordinatenbasis als Basis definiert ist, die den Positionsoperator diagonalisiert X ^ . In der QFT ist das Analogon dazu der fundamentale Feldoperator Ψ ^ selbst. Eigenwerte davon sind definiert als

Ψ ^ ( T , X → ) | ϕ ⟩ = ϕ ( X → ) | ϕ ⟩
Dann wird ein Zustand gegeben | a ⟩ , seine Wellenfunktion ist definiert
a [ ϕ ( X → ) ] = ⟨ ϕ | a ⟩   .
Denken Sie daran, dass in QFT die Wellenfunktion wirklich eine Wellenfunktion ist.

Könnten Sie hier vielleicht ein paar Referenzen hinzufügen? Danke.
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