Warum enthält der bosonische Feldoperator im Impulsraum sowohl einen Schöpfungs- als auch einen Zerstörungsoperator?

Für das fermionische Feld ist die Transformation vom Realraum zum Impulsraum eine einfache Fourier-Transformation

ψ † ( X ) = ∑ k C k † e ich k ⋅ X
Aber im bosonischen Fall ist der Feldoperator
ϕ ( X ) = ∑ k [ B − k † + B k ] e ich k ⋅ X
Wie kommt dieser Unterschied zustande? Welche physikalische Bedeutung hat dieser Unterschied?

Nicht sicher was du meinst. Sie können einen beliebigen vollständigen Satz von Einzelpartikelfunktionen auswählen { ϕ ich ( X ) } ich = 1 , . . . , ∞ Und Ψ ( X ) = ∑ ich B ich ϕ ich ( X ) , mit [ B ich , B J † ] = δ ich J . Normalerweise kürzen Sie dann die Basis für jede praktische Berechnung.
der Grund für diesen Ausdruck von ϕ ist nicht die bosonische Statistik, sondern die Realität des Feldes (oder Hermitizität des Feldoperators). Ein komplexes bosonisches Feld würde geschrieben werden als ϕ † = ∑ a C a A a †
Ja, die zweite Gleichung ist nicht der bosonische Feldoperator. Der analoge Ausdruck für Bosonen ist Ψ ( X ) † = ∑ k B k † e ich k X Verwendung ebener Wellen als Basisfunktionen (Modulo-Normierung).

Antworten (3)

Ich habe noch nie einen Ausdruck wie deinen ersten gesehen. Für ein Fermionenfeld würde ich schreiben

ψ ( X ) = ∑ k , S ( A k , S u k , S e − ich k X + B k , S † v k , S e ich k X ) .
Abgesehen von einigen Details, A k , S ist ein Zerstörungsoperator für ein Teilchen mit Impuls k und Helizität S , während B k , S † ein Erzeugungsoperator für das entsprechende Antiteilchen ist. Natürlich
ψ † ( X ) = ∑ k , S ( A k , S † u k , S ∗ e ich k X + B k , S v k , S ∗ e ich k X ) .

Für ein geladenes Bosonenfeld gilt eine ganz analoge Gleichung, für ein neutrales, bei dem Teilchen und Antiteilchen zusammenfallen, hätte man es A ist anstelle von B 'S.

OP spricht von einem nicht-relativistischen Vielkörpersystem, deshalb enthält das Fermionenfeld keine Antiteilchen.

Das Fermifeld gehorcht { ψ ( X ) , ψ † ( X ' ) } = δ 3 ( X − X ' ) also brauchen wir beides nicht A k Und A k † im Feld ψ ( X ) um dies zu bekommen { A k , A k ' † } = δ k k ' . Für das Bose-Feld brauchen wir [ ϕ ( X ) , ∂ T ϕ ( X ' ) ] = ich δ 3 ( X − X ' ) also brauchen wir beides B k Und B k † im Feld, um einen Kommutator ungleich Null zu erhalten.

Ich denke, das wirft die Frage nur zurück, warum wir diese komisch aussehende Kommutierungsbeziehung für ein Bosonenfeld brauchen, aber nicht für ein Fermionenfeld.
@tparker Guter Punkt. Ich dachte an Phononen wo Π ( X ) = ϕ ˙ eher als Schrödinger-Bosonen (wie Heliumatome) wo Π ( X ) = ich ϕ . Im letzteren Fall brauchen wir nur [ ϕ ( X ) , ϕ † ( X ' ) ] = δ 3 ( X − X ' ) Und ϕ hat nur B k ist genau wie der Fermi-Fall und wie von Kase oben erklärt.

Der Unterschied läuft nicht wirklich auf Bosonisch vs. Fermionisch hinaus. Stattdessen treten die beiden Arten von Feldern in unterschiedlichen Kontexten auf. Die erstere Art von Feld, die nur eine Fourier-Transformation einer Art von Leiteroperator enthält, tritt typischerweise in nichtrelativistischen Situationen auf, in denen es keine Antiteilchen gibt. Die letztere Art von Feld, die sowohl einen Erzeugungs- als auch einen Vernichtungsoperator enthält, tritt tendenziell in relativistischen Situationen oder in nicht-relativistischen Situationen auf, in denen die effektive Beschreibung der Feldtheorie eine entstehende Lorentz-Invarianz und/oder Antiteilchen aufweist. Beide Arten von Feldern können entweder aus bosonischen oder fermionischen Leiteroperatoren bestehen, aber sie sind in verschiedenen Kontexten nützlich und gehorchen leicht unterschiedlichen (Anti-)Kommutationsbeziehungen.

Warum enthält der bosonische Feldoperator im Impulsraum sowohl einen Schöpfungs- als auch einen Zerstörungsoperator?
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