Erweiterung des Mehrteilchen-Zustandsvektors als Summe von n verschränkten Zuständen

Physikalisch reicht die Quantenverschränkung von der vollständigen Langstreckenverschränkung (Bose-Einstein-Kondensat), die durch eine Basis von Zuständen beschrieben wird, die wie folgt aussehen:

| Ψ ⟩ = | ϕ ich 0 ich 1 . . . ich N ⟩

zur vollständigen Dekohärenz (ein ideales Maxwell-Boltzmann-Gas), die eine Basis von Zuständen ist, die wie folgt aussehen:

| Ψ ⟩ = ∏ ich | ϕ ich ⟩

Und in der Mitte dieses Bereichs haben wir 2-Teilchen-Verschränkungsterme, 3-Teilchen-Verschränkung usw.

Daher erscheint es naheliegend, die Wellenfunktion als Reihe anzuordnen, die wie folgt aussieht:

| Ψ ⟩ = ∑ ∏ ich | ϕ ich ⟩ + ∑ { ∏ ich 0 , ich 1 > ich 0 | ϕ ich 0 ich 1 ⟩ } + ∑ { ∏ ich 0 , ich 1 > ich 0 , ich 2 > ich 1 | ϕ ich 0 ich 1 ich 2 ⟩ } + ⋯

BEGIN EDIT Ich habe das Gefühl, dass ich die Mathematik hinter dieser Trennung etwas klarer darstellen muss. Nehmen wir einen beliebigen Zustandsvektor | Ψ ⟩ , wir könnten es so schreiben:

| Ψ ⟩ = ∏ ich C ich 0 | ϕ ich ⟩ + | Ψ R e M A ich N D e R ⟩

Das heißt, wir schreiben den Zustandsvektor als einen vollständig separierbaren Vektor und einen nicht separierbaren Rest. Diese Zerlegung ist einzigartig . Beweis: Nimm eine weitere Zerlegung mit C ich 0 ^ , nehmen Sie die Differenz zwischen beiden Zerlegungen und verifizieren Sie, dass beide Reste vollständig trennbar sind, was gegen die Definition verstößt

Die Idee ist, dass man in der Lage sein sollte, diese Zerlegung des Restzustandsvektors voranzutreiben, zum Beispiel nehmen wir einen Vektor mit null vollständig trennbarem Teil (das heißt, wir befinden uns in der Äquivalenzklasse unseres Rests oben) und versuchen, ihn so zu schreiben :

| Ψ R 0 ⟩ = ∏ ich 0 , ich 1 > ich 0 C ich 0 ich 1 1 | ϕ ich 0 ich 1 ⟩ + | Ψ R 1 ⟩

Analog kann man beweisen, dass die C ich 0 ich 1 1 sind einzigartig und hängen nur von der ab | Ψ R 0 ⟩ Vektor. Und wir müssen keine Symmetrisierungsoperation durchführen, um dieses Ergebnis zu erhalten, also ist dies eine universelle Zerlegung des Zustandsvektors (für Bosonen und Fermionen)

(Anmerkung: Ich bin mir bewusst, dass dies viele Produkte mit gemischter Verschränkung auslässt, dh: einige Ein-Teilchen-Zustände multipliziert mit zwei-Teilchen-Verschränkungszuständen, aber da sie diesem speziellen Argument nichts hinzufügen, habe ich mich entschieden zu gehen sie beiseite)

ENDE BEARBEITEN

2. BEARBEITUNG BEGINNEN

Die Trennbarkeit von Zuständen ist eine Eigenschaft, die unter einheitlichen Transformationen unveränderlich ist, sodass ein trennbarer Zustand auf keiner von Ihnen gewählten Basis einem trennbaren entspricht.

Ich habe ein bisschen mehr nachgeforscht und das Problem im Allgemeinen, zu wissen, ob ein Zustand trennbar ist oder nicht, ist als QSP (Quantum Separability Problem) bekannt. Für eine Definition schauen Sie sich bitte dieses Papier an

ENDE 2. BEARBEITUNG

Frage: Wo kann ich mehr über diese Art der Erweiterung lesen und wissen Sie, ob es einen Berechnungsrahmen gibt, um die relativen Größen der einzelnen Terme abzuschätzen (zum Beispiel würde ich erwarten, dass Sie für Bose-Einstein-Kondensate alle Terme beibehalten müssen der Expansion, während Sie für Feststoffe mit relativ hoher Temperatur mit 3 oder 4 Termen davonkommen würden)

Ich glaube nicht, dass es eine solche allgemeine Methode gibt, um einen allgemeinen Vielteilchenzustand auf diese Weise zu zerlegen. Wenn Sie einen entdecken würden, wäre das riesig. Aber geniale Idee.
Ich mag die Idee. Aber sprechen Sie von der Wellenfunktion oder von einem Ensemble, das durch eine Dichtematrix repräsentiert wird? Für die Wellenfunktion die (anti-)symmetrisierten Produkte ∏ ich | ϕ ich ⟩ bilden bereits einen vollständigen Satz von Basiszuständen, sodass jede Wellenfunktion als Linearkombination dieser Zustände geschrieben werden kann. Für Fermionen wäre es zB eine Linearkombination von Slater-Determinanten.
In der klassischen statistischen Mechanik verwendet man die Clusterentwicklung , um die Van-der-Waals-Gleichung herzuleiten. Dies ist eine Potenzerweiterung der Anzahl der wechselwirkenden Teilchen. Ich weiß nichts über seine Anwendung auf die statistische Quantenmechanik.
@Johannes, genau! das ist, was ich suche; ich kannte den Begriff nicht, eine Quantenversion der virialen Expansion; Ich denke jedoch, dass dies subtil wird, da Wechselwirkungen und Verschränkung miteinander zusammenhängen, sich jedoch nicht sehr deutlich überschneiden
@Lurscher Die Frage, ob ein Zustand trennbar ist oder nicht, wird in Miyakes Artikel zur Klassifizierung der mehrteiligen Verschränkung ausführlich beantwortet. Man muss sich darüber im Klaren sein, dass der Zustandsraum für einen Vektor, der in a lebt k + 1 Der dimensionale Hilbert-Raum ist der komplexe projektive Raum C P k . Der Raum des zusammengesetzten Systems aus zwei "Teilchen" in a k 1 + 1 Und k 2 + 1 dimensionale Hilbert-Räume bzw. ist C P ( k 1 + 1 ) ( k 2 + 1 ) − 1 . Der aus trennbaren Zuständen bestehende Unterraum hat die Form C P k 1 × C P k 2 . Letztere hat eine Einbettung in die
ehemalig: C P k 1 × C P k 2 ∈ C P ( k 1 + 1 ) ( k 2 + 1 ) − 1 bekannt als Segre-Einbettung. Das Verständnis der Struktur dieser Einbettung ermöglicht es uns, alle mehrteiligen verschränkten Zustände in Bezug auf Hyperdeterminanten zu klassifizieren , die eine Verallgemeinerung der Determinante für den Fall von Objekten mit mehr als zwei Indizes sind. Für eine sehr pädagogische und intuitive Beschreibung dieses geometrischen Bildes siehe den Artikel von Bengtsson et al. . Das Endergebnis von all dem ist, dass man über die Schiefer-Determinanten hinausgehen muss , um mehrteilige Verschränkung zu verstehen!
@Deepak, sehr interessante Sachen..

Antworten (1)

Lagerbaer macht es in den Kommentaren richtig:

Die Menge aller (eigentlich [anti-]symmetrisierten) Produktzustände ist eine vollständige Basis. Das war's, Spiel vorbei. Die erste Summe in Ihrer Reihe repräsentiert also jeden möglichen Zustand.

Wir könnten auch (im Allgemeinen übervollständige) Basen herstellen, die vollständig aus Produkten von maximal verschränkten Paaren bestehen – zum Beispiel ist die Valenzbindungsbasis die natürliche Beschreibung für resonante Valenzbindungszustände (oder Valenzbindungsfestkörper). Somit könnte der zweite Term in Ihrer Reihe für sich genommen auch eine vollständige Vielteilchenbasis darstellen.

Es gibt jedoch einen impliziten Fehler in der Notation, und dieser hat mit der Monogamie der Verschränkung zu tun – wenn zwei Teilchen in meinem System maximal verschränkt sind, können sie mit nichts anderem verschränkt werden! Mein Punkt ist: Sie müssen deutlicher machen, was Sie mit "Verschränkung in einem BEC" meinen. Ja, ein BEC hat weitreichende Korrelationen, aber das ideale BEC ist immer noch ein Produktzustand !!

In jedem Fall ist das Aufschreiben des bestmöglichen Produkt-Grundzustands für einen bestimmten wechselwirkenden Hamilton-Operator, soweit es um die Schätzung relativer Beiträge geht, im Wesentlichen eine Mean-Field-Theorie. Der wahre Grundzustand wird Korrekturen haben, die Überlagerungen von Zuständen sein werden, aber immer noch in der Produktbasis. Als Randbemerkung, für eine besonders niedliche Art, etwas über MFT hinauszugehen, in einer Sprache, die hilft zu verstehen, was Verschränkung in Vielkörperzuständen mit sich bringt, schlagen Sie Steve Whites „Minimally Entangled Typical Thermal States“-Algorithmus nach.

BEARBEITEN: nach der Bearbeitung im OP ... Okay, der Punkt ist also, dass nicht trennbare Zustände keine so unterschiedlichen Objekte von trennbaren Zuständen sind (zumindest wenn es um reine Zustände geht). Die Struktur des Hilbert-Raums ist so, dass ich, wenn ich zwei Objekte nehme und sie kombiniere, eine vollständige Basis aus allen möglichen Tensorprodukten der beiden ursprünglichen Basen erhalte! Nehmen wir als Beispiel an, ich mische zwei Qubits: Ich kann jeden beliebigen Zustand als Vektor schreiben

| Ψ ⟩ = ∑ ich J C ich J | ich ⟩ | J ⟩
Nicht trennbare Zustände sind Zustände wie Bell-Zustände mit beispielsweise C 01 = C 10 = 0 , C 11 = C 00 = 1 / 2 . Es gibt keinen trennbaren Teil gegenüber einem nicht trennbaren Teil, der Zustand ist eine Überlagerung von Produktzuständen und nicht trennbar, weil er ohne die Summe nicht als einzelnes Produkt geschrieben werden kann. Aus Ihrer Bearbeitung geht hervor, dass Sie dies verstehen, aber ich habe das Bedürfnis, dies ausdrücklich zu sagen.

Zusätzlich könnten wir uns vorstellen, Zustände in der Bell-Basis zu schreiben; Niemand kann mich vom Schreiben abhalten

| Ψ ⟩ = C 1 ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) + C 2 ( | 00 ⟩ − | 11 ⟩ ) + C 3 ( | 10 ⟩ + | 01 ⟩ ) + C 4 ( | 10 ⟩ − | 01 ⟩ )
Es scheint, als wäre dies das, was Sie sich als zweiten Begriff in Ihrer Serie vorstellen, aber es ist nichts weiter als eine Rotation meiner ursprünglichen Basis. Ich gewinne überhaupt nichts, wenn ich meine Beschreibungen vermische – die ursprüngliche Basis lieferte bereits eine vollständige Beschreibung von nicht trennbaren Zuständen.

@wsc nette Antwort +1. Ja, ein BEC hat weitreichende Korrelationen, aber das ideale BEC ist immer noch ein Produktzustand!! ... gibt es eine Arbeit von C. Simon, die behauptet, dass jedes BEC hochgradig verschränkt ist. Ich bin mir nicht sicher, ob ich seiner Argumentation folgen kann. Also welches ist es? oder gleich, welche soll es sein? für ein BEC.
Ah, deshalb sagte ich, das OP müsse klarer sein. Wenn Sie sich Simons Artikel ansehen, zeigt er eine Verschränkung zwischen zwei räumlich getrennten Regionen, nicht eine Verschränkung zwischen den inneren Freiheitsgraden (den Bosonen). Es ist eine subtile Sache, aber wenn Sie wirklich genau darüber nachdenken (und ein wenig rechnen!), können Sie auch zeigen, dass selbst eine einfache ebene Welle auf einem 1D-Gitter zwei Hälften des Gitters über einen Schnitt "verschränken" kann
Und während ich weiter lese, stellt Simons sehr gut klar, dass sein Ergebnis eine Besonderheit darin ist, seine BEC-Wellenfunktion auf der Basis fester Zahlen zu schreiben [ und hier kommt der Teil, in dem ich zugebe, dass ich an BECs fast ausschließlich in Bezug auf kohärente Zustände denke. .. ]
@wsc Ich LOL, als ich deine Kommentare lese. Richtig für das Beispiel der ebenen Welle. Ist auch nach Srednickis Argumentation kein Subsystem einer QFT mit seinem Komplement über ihre gemeinsame Grenze verschränkt? Er betrachtet nur den Grundzustand eines nicht-wechselwirkenden masselosen Skalars. Aber wenn es ein solches Ergebnis für einen masselosen Skalar gibt, dann sollte man es erweitern können ... zeigt, wie viel Nachholbedarf ich haben muss, um auf das heutige Verständnis dieses Materials zu kommen!
Ich bin mit Srednickis Arbeit zu diesem Thema nicht vertraut, aber selbst in dem von Ihnen verlinkten Artikel gab es eine Fußnote über das Vakuum relativistischer QFTs, das im Allgemeinen in dem von ihm beschriebenen Sinne verstrickt ist. Wie auch immer, ich erhebe keinen Anspruch auf Fachwissen, aber ich denke, dass viel über die Natur der Verschränkung sowohl in der relativistischen als auch in der nicht-relativistischen QFT gelernt wird, und wir tun uns keinen Gefallen, wenn wir unsere Worte und elementaren QM-Intuitionen verwechseln, wenn es so viel gibt Mathe zu tun!
@wsc, danke für deine Antwort! Mir ist klar, dass meine Sprache sehr mehrdeutig war. Ich habe meine Frage bearbeitet, um die Trennung der Wellenfunktion in Verschränkungsgruppen formaler zu gestalten. Ich bin mir nicht sicher, aber wahrscheinlich sind einige dieser Zerlegungsfaktoren nach dem @Lagerbaer-Argument nach Symmetrisierung oder Antisimmetrisierung tatsächlich Null. Aber das ist mir noch nicht so ganz klar.
@wsc das ist nicht wahr, die Trennbarkeit von Zuständen ist eine Eigenschaft, die unter einheitlichen Transformationen unveränderlich ist, sodass ein trennbarer Zustand auf keiner von Ihnen gewählten Basis einem trennbaren entspricht. Das allgemeine Problem zu wissen, ob ein Zustand trennbar ist oder nicht, ist als QSP (Quantum Separability Problem) bekannt. Eine Definition finden Sie unter arxiv.org/abs/cs/0603047
Was genau stimmt nicht? Unitäre Invarianz bedeutet genau , dass ein trennbarer Zustand in jeder Basis trennbar ist. Verschränkte Zustände sind nur spezielle Überlagerungen unverschränkter Produktzustände. Sie haben keine spezielle andere Basis.
ok, dann muss ich deine Aussage falsch verstanden haben. Zusammenfassend, was ich aus dieser Diskussion gelernt habe; 1) Ein Zustand kann in trennbare, teilweise trennbare und nicht trennbare Komponenten aufgeteilt werden, die bei jeder einheitlichen Transformation gleich bleiben, und 2) die Mathematik zur Berechnung der Eigenschaften dieser Komponenten wird im Miyake-Papier über Hyperdeterminanten erklärt, das Deepak als Kommentar gepostet hat zu meiner frage (was mir zwar zu hoch geht, aber sehr sehr interessant aussieht)
Nein nein Nein; Mein springender Punkt ist, dass Zustände einfach trennbar sind oder nicht. Einige verschränkte Zustände sind "verschränkter" als andere (wie beispielsweise anhand der Anzahl der Singularwerte ungleich Null in der SVD der Matrix mit reduzierter Dichte für die zweiteilige Verschränkung beurteilt), aber es bringt absolut keinen Vorteil, den Zustand zu schreiben als "abtrennbarer Teil" und als "nicht abtrennbarer Teil". Dieses Miyaki-Papier sieht eigentlich ziemlich ordentlich aus – achten Sie jedoch genau darauf, wie er Staaten schreibt.
Erweiterung des Mehrteilchen-Zustandsvektors als Summe von n verschränkten Zuständen
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