Bedeutung des chemischen Potentials für ein Bosongas

Question

Bedeutung des chemischen Potentials für ein Bosongas

Bosonen
Physik
Chemisches Potential
Statistische Mechanik

el psy Congroo

Das hat mir mein Dozent gesagt $\mu$ , das chemische Potential , ist null oder negativ und fungiert im folgenden Beispiel mathematisch als Normalisierungskonstante. Aber gibt es irgendeine physikalische Einsicht darüber, warum Bosongas null oder negativ sein kann?

Ich denke, es liegt an der Tatsache, dass das Photonengas aus dem Nichts auftauchen kann (dh Vakuumfluktuation).

f_{B E} (ε) = \frac{1}{e^{(ε - μ) / (k_{B} T)} - 1}

$f_{BE}(\varepsilon)=\dfrac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/(k_B T)}-1}$

Nanit

Im Photonengas ist das chemische Potential immer Null. In anderen Fällen bin ich mir nicht sicher, warum Ihr Dozent gesagt hat, dass es immer nicht positiv sein muss. Es stimmt , dass das chemische Potential kleiner sein muss als die Energie des niedrigsten Niveaus (kleiner als das niedrigste

ε

$\varepsilon$ ). Abhängig von Potentialen und dergleichen kann diese niedrigste Energie positiv oder negativ sein.

Rivka

Ich empfehle dieses Papier: G. Cook und RH Dickerson, Understanding the Chemical Potential, 1995 aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17844 Die Autoren erklären auf einfache und klare Weise die physikalische Bedeutung des chemischen Potentials in verschiedenen Systemen, darunter ideales Bose-Gas.

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Bedeutung des chemischen Potentials für ein Bosongas

Im Photonengas ist das chemische Potential immer Null. In anderen Fällen bin ich mir nicht sicher, warum Ihr Dozent gesagt hat, dass es immer nicht positiv sein muss. Es stimmt , dass das chemische Potential kleiner sein muss als die Energie des niedrigsten Niveaus (kleiner als das niedrigste $\varepsilon$ ). Abhängig von Potentialen und dergleichen kann diese niedrigste Energie positiv oder negativ sein.
Ich empfehle dieses Papier: G. Cook und RH Dickerson, Understanding the Chemical Potential, 1995 aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17844 Die Autoren erklären auf einfache und klare Weise die physikalische Bedeutung des chemischen Potentials in verschiedenen Systemen, darunter ideales Bose-Gas.

Inmaurer · Answer 1

Das chemische Potential kann man sich als Akzeptanz des Systems für neue Partikel vorstellen – wie viel Arbeit man aufwenden muss, um ein neues Partikel in das System zu stecken.

Da Sie beliebig viele Bosonen in einem bestimmten Zustand festhalten können, akzeptiert das System immer neue Teilchen. Im schlimmsten Fall müssen Sie null Arbeit leisten, um ein Boson (entsprechend $\mu=0$ ), und oft nimmt das System gerne ein neues Teilchen auf (entsprechend $\mu<0$ ).

Im Gegensatz dazu kann man nur ein Fermion in einen bestimmten Zustand versetzen. Wenn Sie ein Fermion mit einer bestimmten Energie haben und es einem System hinzufügen möchten, in dem der Zustand dieser Energie bereits besetzt ist, muss das System musikalische Stühle spielen, um dies zu erreichen. Möglicherweise müssen Sie dieses Fermion dort hineinschieben, in diesem Fall wird das System nicht glücklich darüber sein; du müsstest etwas arbeiten ( $\mu>0$ ).

Im Fall von Photonen nimmt das System jede Energie, die Sie ihm geben, aber es belohnt Sie nicht dafür; es ist einfach egal. $\mu=0$ . Es wäre seltsam, wenn $\mu$ negativ, weil es dadurch alle Photonen (Energie) aufsaugen würde, die es in die Finger bekommen könnte.

Bearbeiten Sie als Antwort auf die Frage im Kommentar:

Warum ist $\mu$ die Energie, die benötigt wird, um in einem anderen Teilchen zu stecken? Arbeiten wir mit einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung, weil es einfacher ist. (Ehrlich gesagt bin ich mir nicht sicher, wie ich es mit Bose-Einstein oder Fermi-Dirac machen soll, aber ich werde darüber nicht den Schlaf verlieren; Sie können damit Spaß haben.) Angenommen, Sie haben Energiezustände $\epsilon_i$ , $N$ Teilchen und $E$ Gesamtenergie. Sie haben dann zwei Normalisierungsbedingungen:

N = \sum_{ich} n (ϵ_{ich}) = \sum_{ich} e^{a + β ϵ_{ich}}

$N=\sum_in\left(\epsilon_i\right)=\sum_ie^{\alpha+\beta\epsilon_i}$

E = \sum_{ich} ϵ_{ich} n (ϵ_{ich}) = \sum_{ich} ϵ_{ich} e^{a + β ϵ_{ich}}

$E=\sum_i\epsilon_in\left(\epsilon_i\right)=\sum_i\epsilon_ie^{\alpha+\beta\epsilon_i}$

(Diese Schreibweise gefällt mir besser; $\beta=\left(k_bT\right)^{-1}$ , und $\alpha=-\beta\mu$ )

Wir wollen zeigen, dass das chemische Potential die Änderung der Systemenergie bei Erhöhung der Teilchenzahl ist: $\frac{\partial E}{\partial N}=-\mu$ . (Warum das Minuszeichen? So ist es definiert. Es gibt viele seltsame Definitionen in Statistik.)

Los gehts:

N = e^{a} \sum_{ich} e^{β ϵ_{ich}}

$N=e^\alpha\sum_ie^{\beta\epsilon_i}$

e^{a} = \frac{N}{Z}

$e^\alpha=\frac{N}{Z}$

wo $Z=\sum_ie^{\beta\epsilon_i}$ . Beachten Sie, dass $\frac{\partial Z}{\partial\beta}=\sum_i\epsilon_ie^{\beta\epsilon_i}$

Dann

E = \frac{N}{Z} \sum_{ich} ϵ_{ich} e^{β ϵ_{ich}}

$E=\frac{N}{Z}\sum_i\epsilon_ie^{\beta\epsilon_i}$

E = \frac{N}{Z} \frac{\partial Z}{\partial β}

$E=\frac{N}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\beta}$

E = - N \frac{\partial}{\partial β} \ln Z

$E=-N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}$

\frac{\partial E}{\partial N} = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Z

$\frac{\partial E}{\partial N}=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}$

Alles zusammen in Bezug auf $\mu$

e^{- β μ} = \frac{N}{Z}

$e^{-\beta\mu}=\frac{N}{Z}$

- β μ = \ln N - \ln Z

$-\beta\mu=\ln{N}-\ln{Z}$

- \ln Z = \ln N - β μ

$-\ln{Z}=\ln{N}-\beta\mu$

- \frac{\partial}{\partial β} \ln Z = - μ

$-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{Z}=-\mu$

\frac{\partial E}{\partial N} = - μ

$\frac{\partial E}{\partial N}=-\mu$ QED

Ja, ich verstehe, was du meinst, aber kannst du mir sagen, warum man sich das chemische Potenzial als die Arbeit vorstellen kann, die man leisten muss, um ein neues Teilchen mathematisch in das System einzufügen?
Folgt nicht direkt aus dem ersten Gesetz: $dE= -P dV + T dS - \mu dN$ oder wurde diese Modifikation nach Motivation aus der statistischen Mechanik durchgeführt?
Aber war es nicht umgekehrt? dh $dE=−PdV+TdS+\mu dN$ und $\mu= +\frac{\partial E}{\partial N}$ ...
Ich denke, ich müsste ein Lehrbuch überprüfen; die Definitionen umfassen zufällige Plus- und Minuszeichen. So oder so, die $dE$ Ausdruck riecht nach empirischer Thermodynamik, nicht nach statistischer Mechanik. Das musst du herleiten $dE$ Ausdruck, wenn Sie wirklich sehen wollen, wo das ist $\mu$ kommt von; IIRC, das $dE$ Der Ausdruck gilt speziell für ein ideales Gas – nicht für jedes System.
Das ist ein wenig pingelig, aber die dritte Zeile von unten sollte lauten $\ln Z = \ln N + \beta \mu$ .
Ich habe Ihre Antwort gelesen ... nun ... ich habe nicht abgelehnt oder so ... aber bei Ihren Berechnungen gibt es viele Dinge, die keinen Sinn ergeben (zumindest für mich). Und es fehlen mehrere Minuszeichen. Wenn ich falsch liege, könnten Sie auf meine Fehler hinweisen, falls dies der Fall ist? Ich würde gerne wissen, ob ich falsch liege. (1) Die Normalisierungsbedingung ergibt für mich keinen Sinn. Um $N$ , sind Sie sicher, dass Sie die Anzahl der Ensembles nicht mit der Anzahl der Teilchen des Systems verwechseln?
(2) Irgendetwas scheint an der Art und Weise, wie Sie das chemische Potential definiert und in Ihren Berechnungen verwendet haben, falsch zu sein. Zum Beispiel für ein ideales Gas: $U(N,V,T) = 3/2 Nk_B T$ was durch Ihre Formel implizieren würde $\mu = -3/2 k_B T$ (was falsch ist). Richtig wird die Definition erst, wenn man zwischen konstanter Entropie und Volumen unterscheidet. Sie scheinen Temperatur und Volumen konstant zu halten. Eigentlich ist es ein bisschen schwer (für mich), herauszufinden, was Sie tun.
(3) Es ist $e^{-b\epsilon_i}$ , nicht $e^{+\beta\epsilon}$ , vorausgesetzt, Sie haben definiert $\beta = +(k_BT)^{-1}$ (4) Es gibt kein neues Minuszeichen von der Transformation $Z$ zu einem $\ln Z$ während durch differenziert werden $beta$ . (5) Sie können nicht differenzieren $E$ durch $N$ so, gegeben $\ln Z$ hängt auch davon ab $N$ , und Sie müssten die Produktregel verwenden. Dies ist jedoch nicht ganz klar, wenn man bedenkt, wie Sie die Partitionsfunktion ausgedrückt haben.
Diese Antwort ist so schön. Es hat mir geholfen. Vielen Dank.
Was ist, wenn wir ein Ion ohne ein Elektron haben, indem wir ihm ein Elektron hinzufügen, wird das System stabiler, was bedeutet $du<0$ ,aber seit $\mu >0$ für ein Elektron wird es implizieren $du>0$ . Aber das ist ein Widerspruch.

Gipfel · Answer 2

Ich denke, Sie können das chemische Nullpotential als Effekt des Auftauchens von Photonen betrachten. Sowohl das chemische Potential als auch die Temperatur erscheinen aufgrund der Energieerhaltung bzw. der Teilchenzahl als unbestimmte Multiplikatoren. Für Photon gibt es keine Erhaltung der Teilchenzahl und damit des entsprechenden unbestimmten Multiplikators, dh des chemischen Potentials ( $\mu/kT$ um genau zu sein) ist für alle Energiezustände ebenfalls Null.

Anders gesagt, da die Anzahl der Teilchen für jedes Energieniveau unbestimmt ist, wird die Gleichgewichtskonfiguration durch die Minimierung der freien Energie beschrieben, $\partial A / \partial N_i =0$ . Wenn alle $N_i$ unabhängig voneinander sind (als Ergebnis der spontanen Erzeugung und Zerstörung von Photonen), dies impliziert $\mu_i=0$ für alle $i$ .

Ich verstehe, ich glaube, ich verstehe, was Sie mit Ihrem ersten Punkt meinen. Wenn die Anzahl der Teilchen nicht erhalten bleibt, müssen wir uns nicht um den unbestimmten Multiplikator (die Einschränkung der Gesamtzahl) kümmern. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was Sie mit der Minimierung freier Energie meinen, ich verstehe nicht wirklich, warum die Leute den Begriff freie Energie definiert haben und wofür das verwendet wurde. Jedenfalls ist deine Antwort hilfreich. Vielen Dank!
danke @elpsyCongroo. Gleichgewicht ist definiert als ein Zustand, der minimaler Energie oder maximaler Entropie entspricht. Sie können also das Gleichgewicht erhalten, indem Sie entweder die freie Energie minimieren oder die Entropie maximieren. Abhängig von den Konstanten Ihres Prozesses finden Sie möglicherweise unterschiedliche freie Energie (Gibbs ( $G$ ) oder Helmholtz ( $A$ )), um für praktische Zwecke nützlicher zu sein. Sie sind durch Legendre-Transformationen verbunden. Das Gleichgewicht kann also als verschwindende erste Ableitung der freien Energie definiert werden, die keiner Änderung der momentanen Konfiguration entspricht.

Benutzer47505 · Answer 3

Um etwas genauer zu sein: Das chemische Potential eines nicht wechselwirkenden Bose-Gases muss die Energie der Grundzustands-Einzelteilchenenergie dieses Gases überschreiten. Wenn es (wie gesagt, in $^4\rm He$ ) abstoßende Wechselwirkungen zwischen den Teilchen, kann das chemische Potential beliebig sein.

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