Verstehen, was die Bose-Einstein-Verteilung ist

Verteilung bedeutet nicht automatisch eine probabilistische Verteilung - vielmehr spricht man bei der Fermi-Dirac- und Bose-Einstein- Statistik von Verteilungen über Energie/Frequenz . Man kann zB leicht sehen, dass sie nicht normalisiert werden, wenn sie durch Energie integriert werden.

Die Fermi-Dirac-Verteilung kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass der Zustand der gegebenen Energie besetzt oder leer ist, aber diese Interpretation ist problematisch bei der Bose-Einstein-Verteilung, die Werte größer als 1 annehmen kann.

Das würde ich nicht sagen$D\left(\omega\right)$berücksichtigt die Anzahl der Phononen; Ich würde sagen, es erklärt die Anzahl der Schwingungsmoden (Phononen) bei einer bestimmten Energie. Ein Phonon ist eine Energieeinheit in einem Schwingungsmodus. Dann,$\left<n\right>$ist die durchschnittliche Anzahl von Phononen in einem bestimmten Schwingungsmodus (was Samuel Weir sagte).

Der Integrand ist also die Energie eines Phonons$\hbar \omega$mal die durchschnittliche Anzahl dieser Phononen in einem Modus$\left<n\right>$mal die Modendichte bei dieser Energie$D\left(\omega\right)$.

Für eine gegebene Schwingungsfrequenz$\omega$, ist die mittlere Energie dieser Schwingungsmode:

$$E_\omega = \frac{1}{Z} \sum_{n=0}^\infty \left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar \omega \, e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} \tag{1}$$ Wo$Z$ist die Wahrscheinlichkeitsnormalisierung (auch als Partitionsfunktion bekannt) $$Z = \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega}\sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta n \hbar \omega} \right\}=e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega} \frac{1}{1-e^{-\beta\hbar \omega}}=\frac{1}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}} \tag{2}$$

Verwenden von Gleichung (2), um Gleichung (1) auszudrücken als

$$\begin{align*} E_\omega &= -\frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}\\ &= -\frac{\partial }{\partial \beta} \left\{ -\ln \left(e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2} \right)\right\} \\ &=\frac{e^{\beta\hbar \omega/2}+e^{-\beta\hbar \omega/2}}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}}\frac{1}{2}\hbar \omega = \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right)\frac{1}{2}\hbar \omega \end{align*}$$ Daher für eine feste$\omega$, der durchschnittliche Schwingungsmodus von Phonon$\langle n \rangle$: $$\langle n \rangle = \frac{E_\omega}{\hbar\omega} = \frac{1}{2} \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right).$$

Dann betrachten wir alle verschiedenen Schwingungsfrequenzen

$$U = \int_0^{\omega_D} E_\omega D(\omega) d\omega \tag{3}$$ Wo$D(\omega)$ist die Zustandsdichte als Anzahl der Schwingungsmoden dazwischen$\omega$Und$\omega + d\omega$.

Anscheinend wird das Debye-Modell übernommen, das als akustischer Modus bekannt ist.$^1$Es wird von einer linearen Streuung ausgegangen

$$\omega = v_s k.$$ Wo$v_s$ist die Schallgeschwindigkeit.

Daher die 1-d-Dichte wenn Zustand

$$D(\omega) = \frac{L}{2\pi}\frac{dk}{d\omega}= \frac{L}{2\pi v_s}$$ $L$ist die Länge des Systems.

In Gl. (3), es gibt einen weiteren Parameter,$\omega_D$, die Debye-Frequenz, definiert als obere Grenze der Grenzfrequenz, um die Gesamtzahl der Moden gleich der Gesamtzahl der Oszillatoren (Atome oder Anzahl der Zellen) zu machen.

$$N = \int_0^{\omega_D} D(\omega) d\omega = \int_0^{\omega_D} \frac{L}{2\pi v_s} d\omega = \frac{L}{2\pi v_s} \omega_D.$$

Deshalb

$$\omega_D = 2\pi v_s \frac{N}{L}.$$

*1. The other well known model is the Einstein model, which is easier

$$D(\omega) = \delta(\omega - \omega_o).$$ auch bekannt als der optische Modus von Phonon.