Die technischen Aspekte der Quantisierung elastischer Wellen verstehen

Ich lese Kittels Solid State-Buch und habe eine Reihe von "einfachen" Fragen zu Phononen. Er beginnt mit dem Hamiltonian

H = ∑ S = 1 N [ 1 2 M P S 2 + 1 2 C ( Q S + 1 − Q S ) 2 ]
und versucht dies durch die Einführung der Koordinaten zu entkoppeln:
Q k = 1 N ∑ S Q S e − J k S A
Π k = 1 N ∑ S P S e J k S A
Da Kittel periodische Randbedingungen auferlegte ( Q S + N = Q S ), dann muss der Wellenvektor die Form haben k = 2 π N / N A Wo N = 0 , 1 , 2 , . . . , N / 2 .

Mein erstes Problem ist, wie Kittel behauptete:

∑ R e − J ( k − k ' ) R A = ∑ R e − 2 π J ( N − N ' ) R / N = N δ ( k , k ' )
Kittel sagt, dies sei ein „Standardergebnis“, aber ich verstehe nicht, warum diese Summe stimmt?

Als nächstes behauptet Kittel später:

ich ℏ ∂ ∂ T Q k = [ Q k , H ]
aber ich dachte, dass die "richtige" Beziehung war:
ich ℏ ∂ ∂ T ⟨ Q k ⟩ = ⟨ [ Q k , H ] ⟩ + ich ℏ ⟨ ∂ Q k ∂ T ⟩
Warum verwenden wir keine Durchschnittswerte und ignorieren den zweiten Term?

Meine letzte Frage ist weniger technisch, sondern eher ein Warum. Kittel gelangt schließlich zu den Energieeigenwerten, indem er dies behauptet, da wir zeigen können

Q k ¨ + w k 2 Q k = 0
dann haben wir einen harmonischen Oszillator. Etwas an diesem Argument nervt mich, seit ich sehe Q k als nichts Reales: Es ist nur eine Koordinatentransformation von Q k , das interessiert uns. Wie mache ich diesen logischen Sprung?

Ich denke, die meisten Ihrer Fragen zu Q k lässt sich beantworten, indem man das „Heisenberg-Bild“ der Quantenmechanik googelt. Kittel verwendet NICHT die übliche, auf Schrödinger-Gleichungen basierende Quantenmechanik, bei der sich die Wellenfunktion mit der Zeit entwickelt. Er verwendet die Heisenberg-Darstellung, in der sich stattdessen Operatoren mit der Zeit entwickeln.

Antworten (1)

In Bezug auf Ihren ersten Punkt ist diese Gleichung die Orthogonalitätsbeziehung für die komplexen Exponentialfunktionen als Grundlage für periodische Funktionen auf einer diskreten Menge. (Dies entspricht der Sinus- und Kosinusbasis, die in mehr Fourier-Reihen verwendet wird, da die Sinus- und Kosinuswerte einfache lineare Kombinationen komplexer Exponentiale sind.) Beweise für Orthogonalitätsbeziehungen, die diskrete Summen beinhalten, sind schwierig und werden von Physikern normalerweise als selbstverständlich angesehen. Sie sind jedoch oft analog zu Orthogonalitätsbeziehungen mit Integralen anstelle von Summen. Zum Beispiel mit den Funktionen e ich k X als Grundlage für beliebige quadratintegrierbare Funktionen auf der reellen Geraden dient die Orthogonalitätsrelation

∫ − ∞ + ∞ D X e − ich ( k − k ' ) X = 2 π δ ( k , k ' )
was aus der Inversionsformel der Fourier-Transformation bewiesen werden kann. Tatsächlich nimmt man die Grenze als A → 0 Aber N A → ∞ , Ihre Formel reduziert sich auf das integrale Ergebnis.

Dass Sie mit dieser Beziehung sowie Ihrer dritten Frage nicht vertraut sind, deutet darauf hin, dass Sie mit Fourier-Reihenzerlegungen möglicherweise nicht vertraut sind. (Ihre widersprüchliche Verwendung von " J " die imaginäre Einheit darzustellen deutet auch darauf hin, dass Sie einen elektrotechnischen Hintergrund haben.) Es gibt viele Ressourcen zu diesem Thema, gedruckt und online – diese kurzen Notizen, zum Beispiel , können Ihnen eine nützliche Einführung geben.

Zu Ihrer zweiten Frage, der Gleichung

D Ö D T = 1 ich ℏ [ Ö , H ]
ist die Heisenberg-Bewegungsgleichung für den Operator Ö (ohne explizite Zeitabhängigkeit). Auf diese Weise wurde die Zeitabhängigkeit erstmals in der Quantenmechanik ausgedrückt , als das Feld von Heisenberg entwickelt wurde. Nun ist es üblicher, Schrödingers Formulierung der Theorie zu verwenden , in der die Zustände der Theorie von der Zeit abhängen, während Operatoren dies normalerweise nicht tun. Im Schrödinger-Bild gilt die Gleichung, die Sie mit den Erwartungswerten zitiert haben (ein Ergebnis, das als Ehrenfests Theorem bekannt ist ), aber im Heisenberg-Bild gilt die Gleichung, ohne Erwartungen zu berücksichtigen.

Während das Schrödinger-Bild normalerweise nützlicher ist, kann das Heisenberg-Bild bequemer sein, wenn der Fokus auf Operatoren liegt. Kittel verwendet in diesem Fall die Heisenberg-Version, weil er die Operatoralgebra für die Phononenmoden entwickelt. Die Phononenschwingungen verhalten sich wie einfache harmonische Oszillatoren, die in der Quantenmechanik am einfachsten unter Verwendung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren untersucht werden können. Was die Vernachlässigung des letzten Terms in der Bewegungsgleichung des Operators angeht, ∂ Q k / ∂ T , Kittel hat es einfach schon fallen gelassen, seit dem Q k Der Quadraturoperator, wie Sie ihn aufgeschrieben haben, hängt nicht explizit von der Variablen ab T .

Zu Ihrer dritten Frage, der Variable Q k stellt sicherlich etwas Reales dar. Es stellt die Amplitude von Photonenschwingungen dar, die einen Wellenvektor haben k mit einer bestimmten Phase. Die konjugierte Impulsvariable Π k ist proportional zur Amplitude für Schwingungen, die sind 90 ∘ außer Phase.

Also wenn Ö keine explizite Zeitabhängigkeit hat, warum ignorieren wir dann die ∂ Ö / ∂ T Begriff, aber nicht die D Ö / D T ?
@AyumuKasugano Die partielle Ableitung ∂ Ö / ∂ T bedeutet die Ableitung, die sich aus der expliziten Zeitabhängigkeit ergibt. Siehe zum Beispiel hier: physicalforums.com/threads/…
Die technischen Aspekte der Quantisierung elastischer Wellen verstehen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v