Reduzierter kk\mathbf{k}-Vektor in der ersten Brillouin-Zone

Question

Reduzierter kk\mathbf{k}-Vektor in der ersten Brillouin-Zone

DavidC.

Die ersten Grenzen der Brillouin-Zone liegen an den Wellenvektoren $\mathbf{k}= \pm \pi / a$ , sodass eine normale Dispersionskurve etwa so aussieht:

Es ist üblich, die zu identifizieren $\mathbf{k}$ Vektoren mit drei Koordinaten: $(k_x, k_y, k_z)$ . Diese Koordinaten ergeben sich aus der Verwendung reduzierter Wellenvektorkoordinaten, wie in Dove Introduction to Lattice Dynamics , Seite 23 angegeben:

Es ist allgemeine Praxis, den Wellenvektor als normalisiert durch den ersten reziproken Gittervektor zu definieren, der entlang der Richtung des Wellenvektors liegt. Dies ergibt einen sogenannten reduzierten Wellenvektor . Für unser eindimensionales Beispiel hat der reduzierte Wellenvektor einen Wert von $1/2$ an der Brillouin-Zonengrenze, erhalten durch Teilen des Wellenvektors $a^*/2$ durch den reziproken Gittervektor. Daher werden wir, wie die meisten anderen Forscher auch, normalerweise Dispersionskurven mit reduzierten Wellenvektoren zwischen 0 und 1/2 zeigen, wobei wir anmerken, dass für nicht primitive Einheitszellen einige der Zonengrenzen mit reduzierten Wellenvektorwerten von 1 auftreten.

Ich habe Probleme, den reduzierten Wellenvektor zu erhalten, zum Beispiel an der ersten Brillouin-Zonengrenze, $\mathbf{k} = \pi / a$ Ich verstehe nicht, warum dieser Punkt im reziproken Raum liegt $a^*/2$ .

Noah

Was ist

a *

$a*$ Hier?

DavidC.

@Michael Wenn

a

$a$ ist der direkte Raumgittervektor,

a^{*}

$a^{*}$ ist der reziproke Raumgittervektor

Nasu

Dann sollte es klar sein. Die Grenze der Brillouin-Zone verläuft durch den Mittelpunkt des reziproken Gittervektors der Länge a*. Siehe wieder Wigner-Seitz-Zelle. Die BZ ist die WS-Zelle im reziproken Raum.

Noah

Geht es bei dieser Frage eigentlich darum, warum die erste Brillouin-Zonengrenze auf halbem Weg zum ersten reziproken Gitterpunkt liegt (jedenfalls in Richtung der dichtesten Packung)?

DavidC.

@Michael Ja... (vielen Dank für die ganze Mühe)

Garyp

Keine Antwort, aber beachten Sie, dass die Größe der BZ ist

(a^{*} / 2) - (- a^{*} / 2) = a^{*}

$(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$

Noah

Ich habe meine Antwort bearbeitet, lassen Sie mich wissen, wenn noch etwas unklar ist.

Antworten (1)

Reduzierter kk\mathbf{k}-Vektor in der ersten Brillouin-Zone

@Michael Wenn $a$ ist der direkte Raumgittervektor, $a^{*}$ ist der reziproke Raumgittervektor
Dann sollte es klar sein. Die Grenze der Brillouin-Zone verläuft durch den Mittelpunkt des reziproken Gittervektors der Länge a*. Siehe wieder Wigner-Seitz-Zelle. Die BZ ist die WS-Zelle im reziproken Raum.
Geht es bei dieser Frage eigentlich darum, warum die erste Brillouin-Zonengrenze auf halbem Weg zum ersten reziproken Gitterpunkt liegt (jedenfalls in Richtung der dichtesten Packung)?
Keine Antwort, aber beachten Sie, dass die Größe der BZ ist $(a^*/2)-(-a^*/2) = a^*$
Ich habe meine Antwort bearbeitet, lassen Sie mich wissen, wenn noch etwas unklar ist.

Noah · Answer 1

Dies ist einfach eine Neuskalierung der Achsen in $k$ -Raum. Da in Ihrem 1D-Beispiel der erste reziproke Gitterpunkt bei liegt $2\pi/a$ , Dividieren des Punktes an der Brillouin-Zonengrenze durch diesen Wert ergibt $1/2$ , wie es im Text steht. Also der Punkt $a^*/2$ ist nicht , wie Sie angenommen haben, die Position der Brillouin-Zonengrenze in reduzierten Einheiten, sondern die Grenze in den nicht reduzierten Einheiten.

ich nehme an $a^* \equiv 2\pi/a$ die Länge des reziproken Gittervektors ist, da dies in diesem Zusammenhang sinnvoll wäre.

Bearbeiten 1

Bei Phononen liegt der Grund, warum die Brillouin-Zonengrenze auf halbem Weg zum ersten reziproken Gitterpunkt liegt, darin, dass die kürzeste Wellenlänge, die man haben kann, ein Vorzeichenwechsel von einem Atom zum anderen ist. Stellen Sie sich eine Atomkette vor, bei der das erste oben, das zweite unten und das dritte wieder oben ist. Es gibt keine kürzere Wellenlänge als diese. Wir wissen auch, dass die Lösungen (im einfachsten Fall) ebene Wellen sind, was bedeutet (1D) $s(x) = \mathfrak{Re}(A\cdot e^{ikx})$ , Wo $s(x)$ ist die Amplitude des Atoms an der Position $x$ Und $A$ ist die maximale Amplitude der Schwingung. Damit dies das Vorzeichen von Standort zu Standort ändert, $k\overset{!}{=}\pi/a$ , was Sie leicht überprüfen können.

Wie man die erste Brillouin-Zone konstruiert, kann man in jedem Festkörperphysik-Buch nachlesen. Sie ziehen einfach Linien vom Ursprung zu jedem reziproken Gitterpunkt und halbieren sie mit einer Ebene senkrecht zur Linie. Jeder Punkt, den Sie erreichen können, ohne eine dieser Ebenen zu überqueren, befindet sich in der ersten Brillouin-Zone, und die Ebenen selbst sind die Grenzen.

Bearbeiten 2

Die Brillouin-Zone ist so konstruiert, dass es ausreicht, alle zu berücksichtigen $k$ -Punkte darin, da gezeigt werden kann, dass sie äquivalent zu Punkten außerhalb sind. Wir wissen, dass die Wellen Blochform haben

S (X) = e^{ich k A} u (X)

$s(x) = e^{ika} u(x)$ Wo

u (x)

$u(x)$ hat die Periodizität des Gitters. Aus diesem Ausdruck können wir sehen, dass

k a

$ka$ gibt Ihnen die Phasenänderung von einem Gitterplatz zum nächsten. Wenn jetzt

k a

$ka$ ist größer als

π

$\pi$ , sagen

π + Δ

$\pi+\Delta$ , dieser Punkt auf der

k

$k$ -Achse ist äquivalent zu

- π + Δ

$-\pi+\Delta$ , Weil

e^{i (π + Δ)} = e^{i (π + Δ - 2 π)} = e^{i (- π + Δ)}

$e^{i(\pi+\Delta)}=e^{i(\pi+\Delta -2\pi)}=e^{i(-\pi+\Delta)}$ . Das sehen wir uns also an

k

$k$ -zeigt bis zu

π / a

$\pi/a$ ist für alle Eigenschaften ausreichend, da die Punkte außen einen äquivalenten Punkt innen haben. Und durch Konstruktion des reziproken Gitters (sein erster Punkt in positiver Richtung ist bei

2 π / a

$2\pi/a$ ), das ist genau bei

a^{*} / 2

$a^*/2$ .

In meinem 1D-Beispiel liegt der erste reziproke Gitterpunkt nicht bei $2 \pi /a$ , aber bei $\pi /a$
Der "Vektor" selbst ist $\frac{2\pi}{a}$ . Die Brillouin-Zone endet bei der Hälfte dieses Wertes.
Nein ... In 1D, Angesichts der $a$ Vektor im direkten Raum, der im reziproken Raum ist $a^{*}$ und hat eine Länge von $2 \pi /a$ ; denn so werden reziproke Vektoren konstruiert ( $2 \pi \cdot \text{inverse of length}$ )
@DavidC. Sie haben es selbst gesagt, die Brillouin-Zonengrenze ist erreicht $\pi/a$ aber wenn Brillouin-Zonen konstruiert werden, ist dies der halbe Weg zum ersten reziproken Gitterpunkt.
@noah Ich stimme zu, dass für eine Kette von Atomen, in der eines "oben" und eines "unten" ist (stellen Sie sich das als kugelförmig vor $s$ Orbitale, deren Wellenfunktion das Vorzeichen ändert), ist erfüllt, wenn $k = \pi / a$ , wie es in der Hoffmann-Veröffentlichung ( onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/ange.198708461/pdf ), Abbildung 7, sehr gut erklärt ist. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Zonengrenze im reziproken Raum bei liegt $a^{*} / 2$
Sie scheinen die Idee abzulehnen, dass diese Tatsache einfach aus der Konstruktion der Brillouin-Zone und des reziproken Gitters folgt. Ich habe versucht, dies in der zweiten Bearbeitung zu erklären.
@noah And by construction of the reciprocal lattice (its first point in the positive direction is at 2π/a), this is precisely at a∗/2.Im Realraum ist der erste Gitterpunkt in positiver Richtung bei $a$ . Im reziproken Raum liegt der erste Gitterpunkt in positiver Richtung bei $a^{*} = 2 \pi / a$
Du wiederholst nur meine Aussage. $\pi/a$ liegt bei der Hälfte $2\pi/a$ , also ist die Grenze bei $a^*/2$

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