Kann ich die Masse einer Münze aus dem Geräusch ihres Falls berechnen?

Also beschloss ich, es auszuprobieren. Ich habe Audacity verwendet, um ca. 5 Sekunden Ton aufzunehmen, der entstand, als ich jeweils 10 Mal einen Penny, Nickel, Dime und Quarter auf meinen Tisch fallen ließ. Ich habe dann die spektrale Leistungsdichte des Schalls berechnet und folgende Ergebnisse erhalten:

Ich habe auch 5 Sekunden aufgezeichnet, in denen ich keine Münze 10 Mal fallen gelassen habe, um eine Hintergrundmessung zu erhalten. Im Diagramm habe ich alle 50 Spuren übereinander aufgetragen, wobei jede Linie halbtransparent ist.

Es gibt mehrere Besonderheiten, die es wert sind, beachtet zu werden. Erstens gibt es einige sehr deutliche Spitzen, nämlich die 16-kHz- und 9-kHz-Viertelspitzen sowie die 14-kHz-Nickelspitze. Aber es scheint nicht so, als ob die Frequenzen einer einfachen Beziehung wie der folgen$\propto m^{-1/3}$Skalierung des Ergebnisses in der Größenordnung, das Floris vorschlägt.

Aber ich hatte eine andere Idee. Größtenteils könnten wir grob davon ausgehen, dass die als Schall abgestrahlte Gesamtenergie ein fester Bruchteil der Gesamtenergie der Kollision wäre. Die genauen Details des als Schall abgestrahlten Anteils würden sicherlich von vielen Variablen abhängen, die sich unserer Kontrolle im Detail entziehen, aber zum größten Teil für eine Reihe von Standardmünzen (die alle verschiedene, ähnliche Metalle sind) und eine bestimmte Tabelle , würde ich erwarten, dass dieser Bruchteil ziemlich konstant ist.

Da die Energie einer Münze, wenn sie aus einer festen Höhe fällt, proportional zu ihrer Masse ist, würde ich erwarten, dass die Schallenergie auch proportional zu ihrer Masse ist. Also, das habe ich getan. Ich habe die spektralen Leistungsdichten integriert und in eine lineare Beziehung bezüglich der Masse gebracht. Ich habe erhalten:

Ich habe eine Bayes-Anpassung durchgeführt, um eine Schätzung der Fehler zu erhalten. Auf der linken Seite zeichne ich die gemeinsame spätere Wahrscheinlichkeitsverteilung für die$\alpha$Intercept-Parameter und die$\beta$Steigungsparameter, und auf der rechten Seite zeichne ich die beste Anpassungslinie, sowie$2\sigma$Konturen um ihn herum zu beiden Seiten. Für meine Vorstufen habe ich Jeffreys Vorstufen genommen.

Das Modell scheint ziemlich gut abzuschneiden. Angenommen, Sie kennen die Höhe, aus der die Münzen fallen, und haben sie bereits auf den jeweiligen Tisch und die Geräuschbedingungen im betrachteten Raum kalibriert, scheint es, als ob eine Aufzeichnung des Geräusches, das die Münze machte, gemacht wurde Als sie fiel, konnten Sie erwarten, die Masse der Münze auf etwa ein 2-Gramm-Fenster abzuschätzen.

Aus Gründen der Genauigkeit habe ich die folgenden Münzen verwendet:

• Penny: 1970
• Nickel: 1999
• Groschen: 1991
• Quartal: 1995

Bearbeiten: Skalierung reduzieren

Wenn wir Floris folgen, können wir überprüfen, wie genau das Modell ist$f \sim E^{1/2} m^{-1/3} \eta^{-1}$ist. Wir werden die bereitgestellten Daten verwenden und unsere beobachtete Leistungsdichte gegen eine skalierte Frequenz auftragen$f m^{1/3} \eta E^{-1/2}$. Wir erhalten:

was ziemlich gut aussieht. Um ein wenig besser zu sehen, wie gut sie sich überlappen, reproduziere ich die Handlung, füge jedoch einen Versatz zwischen jeder der Münzen ein:

Es ist ziemlich beeindruckend, wie gut die Spektren übereinstimmen. Was die sekundären Spitzenwerte für das Viertel und Nickel betrifft, siehe Floris' nachträglichen Einfall.

Landematerial

Jemand in den Kommentaren fragte, was passiert, wenn wir das Ding ändern, auf das die Münzen fallen. Also habe ich einige Drops gemacht, bei denen die Münzen nicht direkt auf den Tisch, sondern auf ein Stück Papier auf dem Tisch gefallen sind. Wenn Sie mich fragen, klangen diese beiden Fälle sehr unterschiedlich, aber ihre Spektren sind sehr ähnlich. Dies war für das Quartal. Sie werden feststellen, dass die Papierspuren deutlich unter den Tabellenspuren liegen.

Münzmaterialien

Die tatsächliche Zusammensetzung der Münze scheint einen ziemlich großen Einfluss zu haben. Als nächstes probierte ich drei verschiedene Pennies aus, die jeweils fünfmal fielen. Ein 1970er Messing-Penny, ein 2013er Zink-Penny und ein 1956er Bronze-Penny.

Große Münzen

In der Hoffnung, die zweite Harmonische besser aufzulösen, habe ich einige andere größere Münzen ausprobiert:

Beachten Sie, dass der Präsidentendollar eine schön aufgelöste zweite Harmonische hat. Beachten Sie auch, dass die Susan-B-Dollars nicht nur wie Vierteldollars aussehen und sich so anfühlen, sie klingen auch so.

Wiederholbarkeit

Schließlich machte ich mir Sorgen darüber, wie wiederholbar das alles war. Könnten Sie tatsächlich hoffen, einige dieser Spektren zu messen und dann bei jedem Geräusch einer fallenden Münze festzustellen, welche Münzen vorhanden waren, oder vielleicht wie in der Spektroskopie die Verhältnisse der im Fall vorhandenen Münzen zu bestimmen? Das letzte, was ich versuchte, war, 10 Pfennige auf einmal fallen zu lassen und 10 Nickel auf einmal, um zu sehen, wie gut die Spektren aufgelöst waren.

Man kann zwar sagen, dass wir den Penny Peak immer noch gut auflösen können, aber es scheint, dass Nickel in der realen Welt viele Variationen aufweisen. Weitere Informationen zu Nickel finden Sie in der zweiten Antwort von Floris.

Wenn Sie die Abmessungen und das Material eines Objekts haben, können Sie sowohl die Masse als auch die normalen Schwingungsmodi berechnen. Nur die Masse reicht nicht aus - eine große Papiermünze hat eine andere Grundfrequenz als eine kleine Wolframkugel.

Eine Zusammenfassung von allem, was unten steht - das Ergebnis mehrerer Bearbeitungen und einschließlich einer netten Interaktion mit der anderen Antwort von alemi:

Die Beziehung zwischen der Grundfrequenz des "Ping" einer Münze und ihrer Masse ist (ungefähr) gegeben durch

$$m \propto \frac{t\sqrt{E}}{f^{1/3}D}$$ wo

$E$= Elastizitätsmodul
$t$= Dicke
$m$= Masse der Münze
$D$= Durchmesser der Münze
$f$= Grundfrequenz

Hier sind die Details, wie ich dorthin gekommen bin ...

Geht man davon aus, dass alle „Münzen“ das gleiche Seitenverhältnis (Verhältnis von Durchmesser zu Dicke) haben und aus dem gleichen Material bestehen, dann lässt sich tatsächlich der Zusammenhang zwischen Grundfrequenz und Masse berechnen. Aus der Dimensionsanalyse, wenn wir davon ausgehen, dass die Frequenz eine Funktion von ist

• $\eta$: Seitenverhältnis (dimensionslos: anfänglich für alle konstant angenommen, ignoriert)
• $D$: Durchmesser ($\text{m}$)
• $\rho$Dichte ($\text{kg}/\text{m}^3$)
• $E$: Modul ($\text{kg}/\text{m s}^2$)

Dann die Kombination des Obigen, die uns Einheiten von gibt$1/s$ist

$$f = \text{const} \cdot \frac{1}{D} \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

Kombinieren Sie dies mit der Masse des Objekts, die proportional dazu ist$\rho D^3$, dann vorausgesetzt$\rho$konstant ist (damit wir es aus der Gleichung herausnehmen können), erhalten wir

$$f = \text{const} \cdot m^{-1/3}E^{1/2}\\ m = \text{const} \cdot E^{3/2}f^{-3}$$

Mit anderen Worten - die Masse nimmt bei Münzen mit gleichem Material und Seitenverhältnis mit der dritten Potenz der Frequenz ab.

Aber so funktionieren US-Münzen nicht. Von der US-Mint-Website habe ich Folgendes extrahiert:

                                               Aspect
coin      mass  diameter thickness  material    ratio
penny    2.500    19.05     1.52       Zn*      12.53
nickel   5.000    21.21     1.95      Cu-Ni     10.88
dime     2.268    17.91     1.35      Cu-Ni     13.27
quarter  5.670    24.26     1.75      Cu-Ni     13.86
old 1c.  3.11     19.05     1.52     Bronze.    12.53
* copper plated...

Das Material ist also nicht immer gleich und das Seitenverhältnis auch nicht. Das wird es ein bisschen schwierig machen, die Beziehung zu beweisen oder zu widerlegen.

Trotzdem – probieren wir es aus. Aus den experimentellen Daten ( @alemis Antwort ) lese ich die Grundfrequenzen wie folgt:

penny    12.6
nickel   12.4
dime     12.8
quarter   9.2

Die interessanten beiden sind jetzt das Viertel und das Zehncentstück, da sie das gleiche Material und das ähnlichste Seitenverhältnis haben (13,3 vs. 13,9, also nur 5 % Unterschied). Aus dem Verhältnis ihrer Massen (2,500) würden wir erwarten, dass das Verhältnis der Frequenzen 0,74 ($2.5^{-1/3}$). Und das beobachtete Verhältnis beträgt 0,72. Das ist wirklich ziemlich nah...

Anders ausgedrückt - wenn Sie die Frequenzen für den Cent und das Viertel kennen und die Masse des Viertels aus dem Cent abschätzen müssten, würden Sie erhalten

$$\begin{align}\\ m &= 2.268 * \left(\frac{12.8}{9.2}\right)^3\\ &= 6.11\end{align}$$

das ist ein Fehler von etwa 7 % oder weniger als 0,5 g. Ich denke, das ist spektakulär, wenn man bedenkt, dass zwischen dem Cent und dem Viertel ein Unterschied von Faktor 2,5 besteht.

Von diesem Ergebnis ermutigt, beschloss ich zu sehen, ob ich angesichts ihres unterschiedlichen Seitenverhältnisses und Materials eine Einigung für die vier Münzen erzielen könnte. Da sowohl Bronze- als auch Cu-Ni-Legierungen einen weiten E-Modul-Bereich aufweisen, musste ich etwas raten (alle Werte in GPa):

material  range (GPa)  value (GPa)
bronze      96 - 120      110
Cu-Ni      120 - 156      120

Als nächstes musste ich mich mit dem Seitenverhältnis befassen. Nachdem ich darüber nachgedacht hatte, war es plausibel, dass ein größeres Seitenverhältnis (dünnere Münze) eine niedrigere Frequenz haben würde, also beschloss ich zu sehen, was passiert, wenn ich die Frequenz davon abhängig mache$1/\eta$. Dies führte zu folgender „erwarteter Häufigkeit“-Formel:

$$\text{expected} = \frac{\sqrt{E}}{m^{1/3}\eta}$$

Wenn ich dies mit der neuen Masse für den Penny (3,11 g) errechnete, erhielt ich das folgende Diagramm für die Beziehung für jede der Münzen:

In diesem Diagramm sind die roten Sterne die Zahlen (skaliert, um in dasselbe Diagramm zu passen), die ohne Berücksichtigung des Seitenverhältnisses erhalten worden wären; die blauen Kreise entsprechen den Werten mit dem$1/\eta$Beziehung berücksichtigt. Dies verbesserte eindeutig die Passform. Ziemlich überzeugend angesichts der relativ lauten Daten ...

NACHGEDANKEN

In den Tonaufnahmen, die @alemi gezeigt hat, sind mehrere Frequenzen sichtbar. Einige davon lassen sich leicht erklären, indem man sich die vielfältigen Modi einer einfachen kreisförmigen Platte ansieht – siehe zum Beispiel Waller, 1938 Proc. Phys. Soc. 50 70 .

Zwei Bilder aus dieser Veröffentlichung: Erstens die Vibrationsmodi:

Und als nächstes ihre relativen Häufigkeiten:

Dies zeigt, dass die erste Harmonische 1,7x höher ist als die Grundfrequenz. Wenn wir uns die Daten ansehen, sehen wir, dass das in der Tat ungefähr richtig ist: Tatsächlich sehen wir für das Viertel sogar die zweite Harmonische (bei 2,3x der Grundwelle).

Etwas kniffliger ist die Frage nach der Aufspaltung der Grundfrequenz. Wenn Sie jemals mit einer leeren Kaffeetasse gespielt haben, ist Ihnen vielleicht aufgefallen, dass sich die Tonhöhe ändert, wenn Sie auf den Rand tippen, je nachdem, ob Sie direkt gegenüber dem Griff oder um 45 Grad versetzt davon tippen. Dies liegt daran, dass es zwei symmetrische Modi gibt – einen, bei dem der Griff ein Knoten ist, und einen, bei dem er ein Antiknoten ist. Letzteres hat eine etwas niedrigere Frequenz.

Ähnliches kann mit dem Nickel passieren: Wenn Sie sich das Bild eines Nickels vor 2005 ansehen, werden Sie sehen, dass es mehr Material in Nord-Süd- und Ost-West-Richtung gibt. Das bedeutet, dass es zwei Vibrationsmodi gibt: den mit blauen Knoten und den mit roten Knoten:

Wenn die blauen Linien die Knoten sind, ist die Frequenz offensichtlich etwas höher.

LITERATUR

Ich habe ein Papier gefunden, in dem dies ausführlicher erörtert wird - im Großen und Ganzen stimmt es mit allem oben Gesagten überein und kam sogar zu sehr ähnlichen Werten für die Frequenzen (gemessen und modelliert). Sie können es unter http://me363.byu.edu/sites/me363.byu.edu/files/Emerson_Steed_CoinIdentification.pdf lesen

Interessanterweise konnten die Autoren den Klang des Pennys nicht einfangen, obwohl ihr Modell eine Frequenz nahe der von @alemi gemessenen (13,1 kHz) vorschlug. Sie zeigten den ersten Vibrationsmodus als an

Dies ist eine schöne farbenfrohe 3D-Darstellung des Modus, der im Waller-Papier von 1938 beschrieben wurde.

Dies ist keine Werbung.

Unter der Rubrik „versuchen Sie das zu Hause“ wollte ich noch eine Sache teilen, die ich entdeckt habe, nachdem ich meine vorherige Antwort geschrieben hatte – aber sie hat so nichts mit dieser Antwort zu tun, dass ich dachte, es wäre besser, dies als separaten Beitrag zu schreiben.

Dabei habe ich zwei interessante Dinge entdeckt. Erstens, wenn Sie eine Münze auf einer harten Oberfläche drehen, "klingelt" sie mit den charakteristischen Frequenzen, die @alemi während eines Tropfens beobachtet hat. Zweitens bekommt man für drei Dollar eine App aufs iPhone, die das schön visualisiert. Normalerweise schließe ich ein Produkt nicht an (meine einzige Beziehung zum Hersteller der App besteht darin, dass ich es gekauft habe …), aber hier bin ich … Die App heißt „SignalSpy“; Es ist erst seit ein paar Tagen im App Store und hat noch keine Bewertungen. Es hat vier verschiedene Modi: Oszilloskop, Spektrum, Pegel und Spektrogramm. Obwohl alle vier Modi interessant sind, fand ich, dass das Spektrogramm für diese Experimente am besten funktionierte. Hier ist ein Beispiel für einen Screenshot, den ich gemacht habe, als ich vier verschiedene Goldmünzen gedreht habe (die niederländische 10-Gulden-Münze - dieselbe Münze, aber unterschiedliche Jahreszahlen):

In diesem Diagramm bewegt sich die Zeitachse nach links – neue Spektren erscheinen also rechts und die ältesten Spektren „rollen“ links ab. Sie können sehen, dass ich ein paar verschiedene Münzen gedreht habe - die letzten vier Bänder sind die vier verschiedenen Münzen, die nacheinander gedreht wurden. Die meisten Dinge sind ziemlich wiederholbar: Die Grundfrequenz ist ein helles Band um 8,2 kHz, es gibt ein schwaches Band bei 11, dann eine Ansammlung von Bändern um 17,5 - 19 kHz.

Damit dieses Experiment richtig funktionierte, stellte ich das Telefon in einem ruhigen Raum auf eine Granitarbeitsplatte. Ich drehte die Münzen etwa 6 Zoll von der Unterkante des Telefons (wo sich das Mikrofon auf dem iPhone 5 befindet) - je näher und das "Grollen" der Münze, die auf der Oberfläche rollt, dominiert das Spektrum. Bei dieser Entfernung erhielt ich gut aufgelöste modale Frequenzen.

Ich habe dieses Experiment mit 31 verschiedenen Münzsorten wiederholt - der Vorteil, viel unterwegs zu sein. Einige Münzen sind erstaunlich konsistent – ​​der 10-Yen, der kanadische 2-Dollar, der halbe Schekel, … – während andere sehr variabel sind. Derjenige, der wirklich auffiel, war das US-Nickel. Insbesondere das zuvor beobachtete "Modensplitting" ist ziemlich rätselhaft. Bei manchen Nickels taucht es überhaupt nicht auf; bei anderen ist es sehr bedeutsam. Dies deutet darauf hin, dass meine frühere Erklärung (Modi in Bezug auf das Relief auf der Münze) nicht die ganze Geschichte sein kann. Und ja, ich habe überprüft, ob die Ausrichtung der Vorderseite und des Gebäudes (Monticello) bei allen Münzen gleich ist.

Ich habe versucht zu messen, ob es einen Unterschied in der Rundheit (eine elliptische Form würde eine Modusaufspaltung verursachen) oder in der Ebenheit (wenn die Münze nicht flach ist, würden Sie eine Modusaufspaltung erwarten) gab. Innerhalb der Genauigkeit meines digitalen Messschiebers (nominell 0,01 mm) konnte ich keinen offensichtlichen Effekt feststellen, den ich auf beides zurückführen könnte, aber ich werde versuchen, dieses Experiment zu wiederholen, wenn ich Zugang zu genaueren Messgeräten habe – beides um Maße und Gewichte zu messen. Das kann aber noch eine Weile dauern.

Lassen Sie mich Ihnen zeigen, wie die Spektren einer Sammlung von Nickel (ungefähr nach dem Grad der Aufspaltung sortiert) aussehen:

Ich habe nicht alle 20 Münzen schnell hintereinander gedreht – tatsächlich ist dies eine Zusammenstellung mehrerer Screenshots, die ich mit meinem Telefon gemacht habe, und ich habe die größere Skala auf der linken Seite hinzugefügt, um die Messung der Spitzenpositionen zu erleichtern.

Ich habe eine interessante Tatsache über das Nickel entdeckt - laut Gesetz darf sein Gewicht ziemlich schwanken - bei einer Nennmasse von 5.000 Gramm hat es eine erlaubte Toleranz von 0,194 Gramm (siehe http://www.law.cornell. edu/uscode/text/31/5113 ). Ich hatte nicht die Gelegenheit, die detaillierten Spezifikationen aller von mir gemessenen Münzen zu erhalten - wenn ich dies tue, werde ich meine obige Formel auswerten und sehen, ob die Formel, die ich zuvor abgeleitet hatte, für eine Vielzahl von Größen und Materialien gilt. Ich hoffe, dass die Seitenverhältnisse so unterschiedlich sind, dass ich untersuchen kann, ob die "linear in$\eta$„Vermutung ist wahr oder nicht.

Ich teile dies in der Hoffnung, dass andere anfangen zu experimentieren - dies ist ein wirklich einfaches und cooles Experiment. Die App funktioniert auch auf dem iPad.

Ich möchte nichts von den vorherigen großartigen Antworten wegnehmen, aber die Antwort "einfach und auf den Punkt" ist ein sehr qualifiziertes Ja.

Mit qualifiziert meine ich, dass man die Zusammensetzung, Dicke, den Durchmesser (oder die Form), die Dichteverteilung, das Herstellungsland usw. der Münze kennen muss. Wenn wir Annahmen und Einschränkungen treffen, wird es möglich, die Masse der Münze zu berechnen (für einige Grad der Genauigkeit), von seiner "Ping"-Frequenz. Die zu verwendende Formel ist die von Floris bereitgestellte.

Ich denke, dass die Hauptfrage irgendwie mit der Energiegleichung zusammenhängt$E=m c^2=\hbar \nu$. Meine Antwort hängt wiederum mit der Frage 3D-elastische Wellen in einem Glas zusammen . Mein erster Eindruck war, dass die Münze nach der Kollision eine gewisse elastische Verformung aufweist und dass diese Verformung mit Hilfe von Eigenfunktionen analysiert werden kann. Tatsächlich werden mehreren getesteten Tassen und Gläsern Spektrogramme mit den höchsten Picks in Bezug auf Eigenmoden gezeigt, wie in Abbildung 1 gezeigt.

Aber Münzen folgen dieser Regel eigentlich nicht. Geräusche vom Aufprall einer Münze auf ein Holz-, Metall- oder Steinobjekt haben im Vergleich zum Hauptmodus eine sehr niedrige Frequenz, wie in der @alemi-Antwort gezeigt. Auch können wir Tonspuren verwenden, um Münzen zu unterscheiden, es ist nicht so genau wie bei Tassen oder Gläsern. Trotzdem könnten wir einige Münzdetektoren diskutieren, um den Klang mehr auf die einzelne Münze bezogen zu machen. Als Detektor können wir zum Beispiel eine Metallbox wie eine Dose verwenden. Wenn wir eine Münze in eine Dose stecken und schütteln, erzeugt sie für jede Münze einen sehr spezifischen Klang. Ich habe zum Beispiel 3 kanadische Münzen - Quarter, 1 Dollar von 2018 und 2 Dollar von 2005 in einer leeren Dose von Akbar Ceylon Tee getestet. In Abbildung 2 sind 3 sehr unterschiedliche Tonspuren dargestellt

Daraus können wir schließen, dass jede Münze einen spezifischen Klang erzeugt, der jedoch nicht nur mit der Masse zusammenhängt. In Abbildung 3 gezeigte Ausrüstung, die ich für mein Experiment verwendet habe - leere Dose, Computer und Münzen. Beachten Sie, dass kanadische 1-Dollar- und 2-Dollar-Münzen ein sehr spezielles Design haben - siehe Abbildung 3. Trotzdem versuche ich, Eigenwerte mit meinem hier veröffentlichten Code zu berechnen - siehe Abbildung 4. Die ersten 3 Modi für Viertel und Loonie sind sehr ähnlich (Werte in Hz sind über den Abbildungen gezeigt), während die Massen unterschiedlich sind - 4,4 g bzw. 6,27 g. Aus diesem Grund können wir Geräusche von Stößen nicht nur verwenden, um sie zu unterscheiden. Auf der anderen Seite haben sie in einer Dose einen anderen Klang - siehe Abbildung 2.

Münzen unterschiedlicher Zusammensetzung und Form geben unterschiedliche Töne von sich. Betrachten wir eine ähnliche Form und Zusammensetzung einer Münze und ändern nur ihre Masse. Auch fällt es aus gleicher Höhe und auf gleicher Oberfläche. Lassen Sie die Münze metallisch (Eisen) sein.

Wenn es auf die Oberfläche fällt, erzeugt es Geräusche. Je schwerer die Münze ist, desto mehr potentielle Energie wird nach dem Gesetz der Energieerhaltung in kinetische Energie umgewandelt und wird daher beim Aufschlagen stärker.

Daher müssen Sie nur seine Amplitude in Dezibel messen, um seinen Klang zu kennen.

PS: Sie können auch die Dauer des Tons verwenden, da sie auch vibrieren und Ton für unterschiedliche Zeitintervalle erzeugen

PS2: Eine wechselnde Zusammensetzung der Münze erzeugt unterschiedliche Frequenzen, die wiederum leicht gemessen und dann anhand der Amplitude kalibriert werden können.