Theorie hinter Mustern auf Chladni-Platten?

Question

Theorie hinter Mustern auf Chladni-Platten?

Wellen
Physik
Akustik
Resonanz
Vibrationen

Beni Bogosel

In diesem Video von vibrierenden Chladni-Platten können wir sehen, wie sich kleine Sandpartikel zu verschiedenen interessanten Mustern ausrichten (auch im Bild unten gezeigt), die einigen bestimmten Schwingungen entsprechen.

Was ist die Theorie hinter dieser Tatsache? Stehen die erzeugten Muster im Zusammenhang mit den Laplace-Eigenfunktionen der Form? Wenn ja, wie hängen sie zusammen und welche Bedeutung hat der Quellpunkt der Schwingung?

www.physics.ucla.edu/demoweb/demomanual/acoustics/effects_of_sound/chladniarray.jpg

QMechaniker

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Theorie hinter Mustern auf Chladni-Platten?

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Chris Müller · Answer 1

Was Sie auf der quadratischen Platte sehen, sind die Resonanzmoden der Struktur. Jedem dieser Modi ist eine bestimmte Frequenz zugeordnet, die angerufen wird, wenn die Platte mit dieser Frequenz betrieben wird. Diese Resonanzmoden wirken wie stehende Wellen auf einer Schnur : Einige Teile der Platte bewegen sich stark, während andere Teile stillstehen. Der Sand wird von den sich stark bewegenden Teilen (den Knoten) weggeprallt und verbleibt an den Stellen, an denen sich die Platte überhaupt nicht bewegt (den Bäuchen).

Auf Ihre konkreten Fragen gehe ich in umgekehrter Reihenfolge näher ein.

Welche Bedeutung hat der Quellpunkt der Schwingung?

Fast keine (mit einigen Einschränkungen). Wenn Sie die Platte an einem ihrer Knoten antreiben (ein Punkt, an dem sie sich viel bewegt), dann werden Sie den Resonanzmodus stärker anregen, als wenn Sie sie an einem Punkt antreiben, der sich in der Nähe eines Anti-Knotens befindet. Dies wirkt sich jedoch nur auf die Amplitude aus, nicht auf die Form des Modus.

Eine Einschränkung ist, dass, wenn die Struktur viel innere Reibung (Dämpfung) aufweist, sich die Modusstruktur leicht ändert und die Höhe der Knoten abnimmt, wenn Sie sich weit vom Quellpunkt entfernen.

Stehen die erzeugten Muster im Zusammenhang mit den Laplace-Eigenfunktionen der Form?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit Laplace-Eigenfunktionen meinen. Wie im folgenden Abschnitt beschrieben, sind die Lösungen Eigenfunktionen der zweidimensionalen Wellengleichung . Der Ausgangspunkt für die Lösung beginnt mit den sogenannten Fourier-Eigenfunktionen, aber die Randbedingungen (die bei einem an den Enden frei beweglichen Blatt kompliziert sind) verändern diese Lösungen in etwas völlig anderes.

Was ist die Theorie hinter dieser Tatsache?

Dieser Zeitschriftenartikel hat eine systematische Ableitung genau der Situation, nach der Sie fragen. Diese Notiz hat eine leichter zu analysierende Ableitung der ähnlichen Situation einer gestreckten rechteckigen Membran. Ich kann hier die Grundlagen des Membrangehäuses durchgehen und bei Bedarf darauf hinweisen, wo es sich von Ihrem Fall unterscheidet.

Wenn Sie ein elastisches Material betrachten und die Kräfte auf ein unendlich kleines Stück des Materials als Funktion seiner Höhe aufschreiben, stellen Sie fest, dass die Gleichung, die die Höhe eines jeden Stücks beschreibt, die zweidimensionale Wellengleichung ist;

\frac{\partial^{2} u (x, j, t)}{\partial t^{2}} = \frac{T}{ρ} (\frac{\partial^{2} u (x, j, t)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u (x, j, t)}{\partial j^{2}}),

$\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial t^2}=\frac{T}{\rho}\left(\frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u(x,y,t)}{\partial y^2}\right),$

wo $T$ ist die Spannung der Oberfläche (Krafteinheiten pro Länge) und $\rho$ ist die Massendichte (Masseneinheiten pro Fläche). Eine einfachere Schreibweise dieser Gleichung, die sich besser für eine Lösung durch Trennung der Variablen eignet, ist

c^{2} \nabla^{2} u = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} u

$c^2\nabla^2 u=\frac{\partial^2}{\partial t^2}u$ wo

c^{2} = \frac{T}{ρ}

$c^2=\frac{T}{\rho}$ . Bei einem starren Material wie Ihrer Situation ist dieser Koeffizient gegeben durch

c^{2} = \frac{m ω^{2}}{D}

$c^2=\frac{m\omega^2}{D}$ wo

D

$D$ ist die zylindrische Steifigkeit des Materials,

ω

$\omega$ ist die Resonanzfrequenz, und

m

$m$ ist die Masse.

Unter Verwendung der Trennung von Variablen können wir diese Gleichung in drei unabhängige eindimensionale Differentialgleichungen zerlegen;

\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d t^{2}} G (t) + (c v)^{2} G (t) & = 0 \\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} H (x) + k^{2} H (x) & = 0 \\ \frac{d^{2}}{d j^{2}} Q (j) + p^{2} Q (j) & = 0 \\ p^{2} + k^{2} & = v^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d^2}{dt^2}G(t)+(c\nu)^2G(t)&=0\\ \frac{d^2}{dx^2}H(x)+k^2H(x)&=0\\ \frac{d^2}{dy^2}Q(y)+p^2Q(y)&=0\\ p^2+k^2&=\nu^2, \end{align}$ wo

u (x, y, t) = G (t) H (x) Q (y)

$u(x,y,t)=G(t)H(x)Q(y)$ . Die Lösungen dieser Gleichungen können als Fourier-Eigenfunktionen betrachtet werden; dh

\sin

$\sin$ ,

\cos

$\cos$ ,

\sinh

$\sinh$ , und

\cosh

$\cosh$ .

Wie bei allen physikalischen Problemen müssen wir die Randbedingungen spezifizieren, um physikalisch sinnvolle Lösungen zu erhalten. Als Beispiel hat eine an den Rändern eingespannte Gummibahn die Randbedingungen

u (\pm a, j) = 0 & u (x, \pm b) = 0

$u(\pm a, y)=0\qquad\&\qquad u(x,\pm b)=0$ wo

2 a

$2a$ und

2 b

$2b$ sind die

x

$x$ und

y

$y$ Abmessungen des Blattes bzw. Diese Bedingungen besagen, dass sich das Blech an den Rändern, an denen es geklemmt ist, nicht auf und ab bewegen kann. Diese Situation ist ziemlich einfach zu lösen und wird in der oben erwähnten Anmerkung ausgearbeitet.

Ihre Situation ist etwas schwieriger, da die Kanten völlig frei beweglich sind. In diesem Fall müssen Sie in die Randbedingungen einbeziehen, dass die Platte ein starres Objekt ist, das nicht unter Spannung stehen muss, um gestützt zu werden. Sie sind aus dem oben erwähnten Artikel entnommen

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + v_{p} \frac{\partial^{2} u}{\partial j^{2}} & = \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} + (2 - v_{p}) \frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial j^{2}} = 0 @ x = \pm a \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial j^{2}} + v_{p} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & = \frac{\partial^{3} u}{\partial j^{3}} + (2 - v_{p}) \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2} \partial j} = 0 @ j = \pm b, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial x^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x\partial y^2}=0\qquad @ x=\pm a\\ \frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\nu_p\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=\frac{\partial^3u}{\partial y^3}+(2-\nu_p)\frac{\partial^3u}{\partial x^2\partial y}=0\qquad @ y=\pm b, \end{align}$ wo

ν_{p}

$\nu_p$ ist ein Materialparameter, der als Poisson-Zahl bekannt ist und beschreibt, wie stark sich ein Material in einer Richtung ausdehnt, wenn es in die andere komprimiert wird.

Das Schöne an der Lösung der Wellengleichung durch Trennung der Variablen ist, dass die gefundenen Lösungen einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen für das Problem bilden. Darüber hinaus sagen Ihnen ihre Eigenwerte die Resonanzfrequenz jedes bestimmten Modus. Das folgende Bild zeigt die Lösungen zweiter, dritter und vierter Ordnung für Ihre Gleichung (aus dem referenzierten Zeitschriftenartikel). Wenn Sie diese Moden mit dem Sand auf der Platte anregen, wird der Sand von den Höhepunkten weggeprallt und bleibt an den sich nicht bewegenden Punkten, die als Knotenlinien bezeichnet werden . Diese Knotenlinien sind die Stellen, an denen die Lösung im Diagramm unten noch Null ist.

Einige Eigenmoden von SV Bosakov. "Eigenfrequenzen und modifizierte Eigenmoden einer rechteckigen Platte mit freien Kanten" Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Band 73, Ausgabe 6, 2009, Seiten 688–691

Tatsächlich werden Chladni-Platten nicht durch die Wellengleichung beschrieben, also durch die Eigenfunktionen des Laplace-Operators, sondern durch die Eigenfunktionen des biharmonischen Operators , also des Laplace-Quadrats. Weitere Informationen und historische Hinweise finden Sie in einem schönen Artikel von Gander und Wanner . Selbst wenn man versucht, die Wellengleichung für eine Saite nach dem Modell „durch Saiten verbundene Massen“ herzuleiten, muss man davon ausgehen, dass sie unter Spannung steht, dh die Federn sind vorgespannt, sonst bekommt man den biharmonischen Operator und nicht die Wellengleichung.
@GregGraviton Wow, ich wusste nicht, dass Ritz so große Beiträge zur Lösung von Variationsproblemen leistet. danke, dass du diesen Artikel geteilt hast
Beachten Sie, dass der von Ihnen zitierte "Zeitschriftenartikel" einen Fehler aufweist: Die Modi erfüllen keine Randbedingungen, es sei denn $\alpha$ oder $\beta$ sind null.
Ich denke, Sie haben möglicherweise Knoten und Bäuche verwechselt.
@GregGraviton Du hast natürlich Recht, aber nicht $\Delta$ und $\Delta^2$ die gleichen Eigenfunktionen teilen?
@ user2617 Nicht unbedingt. Differentialoperatoren müssen mit Randbedingungen kombiniert werden, um ein physikalisches Problem vollständig zu beschreiben. Zum Beispiel der Ableitungsoperator $-i\partial_x$ auf dem Intervall $[0,L]$ hat unterschiedliche Spektren und Eigenfunktionen, wenn wir unterschiedliche Randbedingungen auferlegen. Insbesondere haben geeignete Randbedingungen die Form $\psi(0)=e^{i\phi}\psi(L)$ wo $e^{i\phi}$ ist eine komplexe Phase, die ausgewählt werden muss. Die Eigenfunktionen hängen von dieser Wahl ab. Die Randbedingungen für den biharmonischen Operator sind komplizierter als für den Laplace-Operator.

Ben Paul Thurston · Answer 2

Das Ritz-Papier ist ziemlich ausführlich, aber das einfache Mitnehmen ist diese Formel für die ganzen Zahlen m und n, die dort aufgetragen sind, wo sie implizit gleich 0 ist.

Es war eine Formel, die ich aus dem Experimentieren mit den Formeln, die ich in den oben genannten Quellen gefunden habe, zusammengesetzt habe, ich habe sie nicht von Grund auf neu abgeleitet, sorry.

Benutzer8736288 · Answer 3

Die Theorie der Vibrationsplatten ist etwas komplizierter als die für die Vibration von Membranen verwendete, wie aus einer früheren Antwort hervorgeht. Dies setzt jedoch eine dünne Platte voraus (die Scherung wird ebenso wie in der Euler-Bernouilli-Balkentheorie vernachlässigt). Die Theorie wurde von Sophie Germain, Poisson und schließlich von Kirchhoff entwickelt. Die Kirchhoff-Plattentheorie sollte also das sein, wonach Sie suchen. Beachten Sie insbesondere die anwendbare Randbedingung an einer freien Kante, die von Kirchhoff abgeleitet wurde (in einer früheren Antwort angegeben): Sie ist nicht sehr intuitiv! Tatsächlich sind analytische Lösungen nur für einige gegebene Geometrien und vorgegebene Randbedingungen bekannt. Ich würde die folgende Referenz empfehlen: Leissa, AW (1969). Vibration von Platten. Ohio State University Columbus. Eine weitere allgemeine Referenz für die Theorie: Graff, KF (1975). Wellenbewegung in elastischen Festkörpern. Veröffentlichung von: Oxford University Press.

Theorie hinter Mustern auf Chladni-Platten?

Beni Bogosel

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Geremia

ederag

wahrscheinlich_jemand

Benutzer2617

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Benutzer8736288

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