Vorschläge für ein nichtlineares Beispiel für ein kleines Forschungsprojekt zur numerischen Lösung von ODEs?

Ich bin Student im ersten Jahr und mache eine kleine Forschungserweiterung zur numerischen Lösung von ODEs. Ich habe das ODE-Hauptstudium an meiner Universität sowie Physik absolviert. Der zweite Teil des Projekts besteht darin, eine Methode (in meinem Fall lineare Mehrschrittverfahren) zur Lösung eines Systems unserer Wahl zu verwenden und einen Bericht darüber zu schreiben. Ich habe mit meiner Betreuerin gesprochen und sie sagte, dass ein nichtlineares Beispiel aufschlussreich wäre, da ich mich in Zukunft für Plasmaphysik interessiere. Außerdem würde ich gerne etwas mit Flüssigkeiten machen.

Das Problem ist, dass ich keine Ahnung habe, wo/wie ich ein bestimmtes Beispiel eines Systems finden kann, das von einer nichtlinearen ODE modelliert wird (ich habe viele nichtlineare PDE-Beispiele gefunden). Also habe ich mich gefragt, ob mir jemand ein Beispiel nennen oder anleiten könnte oder wie man ein Beispiel findet.

Ich bin mir bewusst, dass diese Art von Frage verpönt sein kann, aber ich habe eine Weile erfolglos gesucht (und in anderen Foren gepostet), also dachte ich, ich würde es versuchen.

Antworten (3)

Die Bewegung eines gewöhnlichen Pendels, dh eines Gewichts an einer Schnur, ist ein Beispiel für eine nichtlineare ODE. Sie haben wahrscheinlich in der Schule gelernt, dass es linear ist, aber das ist nur eine Annäherung für kleine Amplituden.

Ich würde sagen, das ist Pflicht.
Ja, wir haben uns dieses Beispiel bereits im Unterricht angesehen, als wir etwas über nichtlineare Gleichungen gelernt haben. Das war die erste Idee, die mir in den Sinn kam, aber ich möchte etwas machen, das etwas einzigartiger und auch relevant für Strömungsdynamik und so weiter ist. Sollte ich kein weiteres Beispiel finden, werde ich sicherlich ein Pendel oder ähnliches (umgekehrt? doppelt?) in Betracht ziehen.
@Rife168 Probieren Sie ein realistisches Modell eines gedämpften, angetriebenen physikalischen Pendels für eine Herausforderung aus.

Wer sich für die Plasmaphysik interessiert, kann versuchen, die Debye-Hückel-Gleichung zu verstehen . Ich bin mir nicht sicher, ob die Wikipedia-Seite die beste Ressource für den Anfang ist. Meistens linearisieren die Leute diese Gleichung, um die Debye-Länge zu finden (diese Länge hat viele Väter , aber ich erinnere mich weder an wen noch an wie viele :-), aber es könnte einige interessante Dinge mit dem nichtlinearen Problem zu tun haben (oder zumindest die Störung höherer Ordnung). Es ist das Problem der Dichte abgeschirmter freier Ladungen in einem Plasma.

Dies ist natürlich nur in 1D eine ODE (beachten Sie dennoch die Möglichkeit, die radiale Komponente zu diskutieren, wenn Kreissymmetrie angenommen wird). Ich bin mir nicht sicher, ob es für Plasma relevanter ist, aber das ist das einzige mir bekannte nichtlineare Plasma- oder Flüssigkeitsbeispiel, das kein System partieller Differentialgleichungen ist.

Spaß haben.

Dieses einfachste nichtlineare ODE-Problem und eines, das selten richtig gehandhabt wird, ist eines mit Stufenfunktionen wie der Modellierung von Reibung. Ein einfaches Feder-Masse-System auf einer Reibungsebene bietet die Möglichkeit, beides auszuprobieren

  • Passen Sie die numerischen Schritte an die Diskontinuität an
  • Pflügen Sie über die Diskontinuität
  • Passen Sie den Status direkt oder mit Iterationen an, bevor der nächste Schritt zulässig ist
  • Erstellen Sie als Näherung eine glatte Funktionsform der Unstetigkeit

X ¨ = − ω 2 X − μ M G X ˙ | X ˙ |

Siehe Beispiel 6 hier für eine visuelle und eine Lösung durch Inspektion.

Vorschläge für ein nichtlineares Beispiel für ein kleines Forschungsprojekt zur numerischen Lösung von ODEs?
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