Die Jacobi-Matrix verstehen

Betrachten wir ein eindimensionales Beispiel:

Erinnere dich daran$f(x) = \dot{x}$, So$f$kodiert die zeitliche Entwicklung von$x$. Wenn$f < 0$, Dann$x$wird sich nach links bewegen. Wenn$f > 0$, Dann$x$wird sich nach rechts bewegen. Wenn$f = 0$,$x$wird sich überhaupt nicht bewegen, deshalb$f(x_0) = 0$ist die Gleichgewichtsbedingung.

Sehen Sie sich nun an, was passiert, wenn Sie die Gleichgewichte stören$x_i$leicht nach rechts: Wenn$f'(x_i) < 0$, dann, in einer kleinen Umgebung von$x_i$,$f(x) < 0$für$x > x_0$in dieser Umgebung, dh rechts von einem Gleichgewicht mit$f'(x_i) < 0$,$x$bewegt sich nach links - kehrt zum Gleichgewicht zurück! Umgekehrt, wenn$f'(x_i) > 0$, Dann$f(x) > 0$für alle$x$in der kleinen Umgebung nach rechts, d. h. nach einem kleinen Schubs nach rechts$x$wird sich noch weiter nach rechts bewegen und das Gleichgewicht verlassen!

Die gleiche Argumentationslinie kann auf Störungen nach links angewendet werden, was insgesamt zeigt, dass, wenn$f'(x_i) < 0$, dann eine kleine Störung herum$x_i$wird immer wieder einziehen$x_i$, und wenn$f'(x_i) > 0$, dann wird eine kleine Störung immer größer und entfernt sich von$x_i$.

Der mehrdimensionale Fall ist weniger anschaulich, aber die Intuition ist die gleiche – negative Eigenwerte der Jacobi-Kurve bedeuten, dass die Zeitentwicklung zurück ins Gleichgewicht zeigt, positive Eigenwerte, dass sie vom Gleichgewicht wegzeigt .

1. $f=-kx$ist dagegen stabil$f=kx$ist instabil.
2. Normalerweise können Sie eine Matrix umschreiben$A$als$A=PDP^{-1}$Wo$P$ist eine Matrix von Eigenvektoren und$D$ist eine Diagonalmatrix von Eigenwerten.
3. Wenn$F=Ax$, dann durch das obige,$(P^{-1}F)=D(P^{-1}x)$. Jetzt hast du$n$unabhängige Gleichungen genau von der Form$f=kx$oder$f=-kx$. Wenn einer von ihnen ist wie$f=kx$, wird die Lösung bei einer winzigen Störung ins Unendliche explodieren.

Zum Beispiel:$\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & 0 \\ \end{array} \right)=A$

Nur vom Anschauen der$PDP^{-1}$Diagonalisierung, kann ich sagen - wenn$F=Ax$, dann irgendwelche$x$in die Richtung gehen$(2,-1)$wird dazu neigen, vom Ursprung weggeschoben zu werden, und alle$x$in die Richtung gehen$(2,1)$wird tendenziell zum Ursprung zurückgedrängt. Du solltest verstehen$P^{-1}x$als Basiswechsel in ein Koordinatensystem, in dem die Achsen einige sind$n$willkürliche Richtungen, die als Kraftlinien wirken.

Hier ist eine Darstellung dieses Systems$F=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & 0 \\ \end{array} \right)x$.